人教版 (2019)必修 第二册4 生活中的圆周运动精品学案及答案

这是一份人教版 (2019)必修 第二册4 生活中的圆周运动精品学案及答案，共11页。

一、火车转弯
图甲为摩托车在水平道路上转弯，图乙为火车转弯，图丙为火车轮缘与铁轨，摩托车和火车转弯向心力来源相同吗？铁路弯道处铁轨内外高度相同吗？为什么要这样设计？
答案 来源不同。摩托车转弯时由摩擦力提供向心力。外轨较高一些，若内外轨高度相同，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设计外轨高于内轨，使火车受到的重力、支持力的合力提供向心力。
1.铁路弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝meq \f(v02,R)，如图所示，则v0＝eq \r(gRtan θ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。
2．汽车转弯特点
(1)水平弯道：由静摩擦力提供向心力，汽车速度最大时，μmg＝eq \f(mvm2,R)，可得vm＝eq \r(μgR)。
(2)增大汽车安全转弯速度的有效方法
①增大转弯半径。
②把转弯处设计成外高内低(填“外高内低”或“外低内高”)路面(类似火车转弯)。
若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度，当火车不按规定速度行驶时，对铁轨有什么影响？
答案 若v>v0，轮缘受到外轨向内的挤压力， 外轨易损坏。
若v例1 (2022·黄山市高一期末)如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时火车的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在平面的倾角为θ，则下列说法不正确的是( )
A．该弯道的半径r＝eq \f(v2,gtan θ)
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车以规定的行驶速度转弯时，向心加速度大小为an＝gtan θ
答案 C
解析 依题意，当内、外轨均不会受到轮缘的挤压时，由重力和支持力的合力提供向心力，
有mgtan θ＝man＝meq \f(v2,r)
解得火车的向心加速度大小及该弯道的半径为
an＝gtan θ，r＝eq \f(v2,gtan θ)
即v＝eq \r(grtan θ)
显然规定的行驶速度与火车质量无关，故A、B、D正确；当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供火车所需向心力，则外轨将受到轮缘的挤压，故C错误。
例2 (2022·淄博市高一期中)经验丰富的司机一般不会在弯道上超车，因为汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。图中后方车辆质量m＝2.0×103 kg，行驶速度为v0＝15 m/s，水平弯道所在圆弧的半径是R＝60 m，汽车和地面的动摩擦因数μ＝0.54，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求这辆汽车转弯时需要的向心力大小F；
(2)若司机想提速到v1＝20 m/s的速度超越前车，计算并判断是否会发生侧滑。
答案 (1)7 500 N (2)会侧滑
解析 (1)汽车转弯时需要的向心力为
F＝meq \f(v02,R)＝7 500 N
(2)汽车转弯时，静摩擦力提供向心力，汽车受到的最大静摩擦力为
Ffm＝μmg＝10 800 N
若司机想提速到v1＝20 m/s的速度超越前车，则需要的向心力为
Fn′＝eq \f(mv12,R)≈13 333 N
Fn′>Ffm
汽车会发生侧滑。
二、汽车过拱形桥 航天器中的失重现象
1．汽车过拱形桥和凹形路面
2．航天器中的失重现象
(1)在近地圆形轨道上，航天器(包括卫星、飞船、空间站)的重力提供向心力，满足关系：mg＝meq \f(v2,R)，则v＝eq \r(gR)。
(2)质量为m′的航天员，受到的座舱的支持力为FN，则m′g－FN＝eq \f(m′v2,R)。
当v＝eq \r(gR) 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。航天器内的任何物体都处于完全失重状态。
汽车在桥面最高点即将飞离桥面时所受支持力恰好为0，此时只有重力提供向心力，即mg＝eq \f(mv2,R)，得v＝eq \r(gR)，若超过这个速度，汽车做什么运动？
答案 平抛运动。
例3 (2023·安庆市高一期中)在“天宫二号”中工作的航天员可以自由悬浮在空中，处于失重状态，下列分析正确的是( )
A．失重就是航天员不受力的作用
B．失重的原因是航天器离地球太近，从而摆脱了地球引力的束缚
C．失重是航天器独有的现象，在地球上不可能存在失重现象
D．正是由于引力的存在，才使航天员有可能做环绕地球的圆周运动
答案 D
解析 航天器和航天员在太空中受到的引力提供向心力，使航天器和航天员做环绕地球的圆周运动，故A错误，D正确；失重时航天员仍然受到地球引力作用，故B错误；失重是普遍现象，任何物体只要有方向向下的加速度，均处于失重状态，故C错误。
例4 (2023·常德市高一期中)质量为3×103 kg的汽车，以36 km/h的速度通过圆弧半径为50 m的凸形桥，则：
(1)汽车到达桥最高点时，求桥所受的压力大小，此时汽车处于超重还是失重？
(2)如果设计为凹桥，半径仍为50 m，汽车仍以36 km/h的速度通过，求在最低点时汽车对桥的压力大小，此时汽车处于超重还是失重？(g＝10 m/s2)
答案 (1)2.4×104 N 失重 (2)3.6×104 N 超重
解析 (1)汽车到达桥最高点时，速度v＝36 km/h＝10 m/s，竖直方向受重力和支持力，
二力的合力提供向心力有mg－FN＝eq \f(mv2,R)
则支持力为FN＝mg－eq \f(mv2,R)
可得FN＝2.4×104 N
汽车受到的支持力与对桥的压力是相互作用力，所以桥所受的压力大小为2.4×104 N，小于汽车的重力，所以汽车处于失重状态；
(2)最低点时对汽车有FN－mg＝eq \f(mv2,R)
可得FN＝eq \f(mv2,R)＋mg＝3.6×104 N
汽车受到的支持力与对桥的压力是相互作用力，所以桥所受的压力大小为3.6×104 N，大于重力，所以汽车处于超重状态。
三、离心运动
1．定义：做圆周运动的物体沿切线方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。
2．物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力。
3．离心运动、近心运动的判断
物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(meq \f(v2,r)或mω2r)的大小关系决定。(如图所示)
(1)当F合＝0时，物体沿切线方向做匀速直线运动；
(2)当0(3)当F合＝mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动；
(4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做近心运动。
4．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。
(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能过高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。
例5 (2022·宜宾市高一期末)在水平公路上行驶的汽车，当汽车以一定速度运动时，车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图所示的圆形路径(虚线)运动，当汽车行驶速度突然增大，则汽车的运动路径可能是( )
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
答案 B
解析 当汽车行驶速度突然增大时，最大静摩擦力不足以提供其需要的向心力，则汽车会发生离心运动，即汽车的运动路径可能沿着轨迹Ⅱ，故选B。
课时对点练
考点一 交通工具的转弯问题
1.(2022·青岛二中开学考试)摩托车转弯时容易发生侧滑(速度过大)或侧翻(车身倾斜角度不当)，所以除了控制速度外车手要将车身倾斜一个适当角度，使车轮受到路面沿转弯半径方向的静摩擦力与路面对车支持力的合力沿车身方向(过重心)。某摩托车沿水平路面以恒定速率转弯过程中车身与路面间的夹角为θ，已知人与摩托车的总质量为m，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。则此次转弯中的向心力大小为( )
A.eq \f(mg,tan θ) B．mgtan θ
C．μmgtan θ D.eq \f(μmg,tan θ)
答案 A
解析 在水平路面上转弯，向心力由沿半径方向的静摩擦力Ff提供，在竖直方向支持力与重力平衡，FN＝mg，已知支持力与摩擦力的合力沿车身方向，所以Ff＝eq \f(mg,tan θ)，故选A。
2.如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为( )
A．50 m B．100 m C．150 m D．200 m
答案 A
解析 汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，即10 m/s，径向阻力最大为重力的0.2倍，则Ff＝0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即Ff＝eq \f(mv2,R)，代入数据解得最小转弯半径为R＝eq \f(v2,0.2g)＝eq \f(100,2) m＝50 m，故选A。
3.如图所示，火车轨道转弯处外高内低，当火车行驶速度等于规定速度时，所需向心力仅由重力和轨道支持力的合力提供，此时火车对内、外轨道无侧向挤压作用。已知火车内、外轨之间的距离为1 435 mm，高度差为143.5 mm，转弯半径为400 m，由于内、外轨轨道平面的倾角θ很小，可近似认为sin θ＝tan θ，重力加速度g取10 m/s2，则在这种情况下，火车转弯时的规定速度为( )
A．36 km/h B．54 km/h
C．72 km/h D．98 km/h
答案 C
解析 由题知sin θ＝eq \f(1,10)。在规定速度下，火车转弯时只受重力和支持力作用，由牛顿第二定律有mgtan θ＝eq \f(mv02,R)，可得v0＝eq \r(gRtan θ)＝eq \r(gRsin θ)＝20 m/s＝72 km/h，A、B、D错误，C正确。
考点二 汽车过桥问题
4.(多选)城市公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时( )
A．汽车所需的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供
B．车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力
C．桥对车的支持力小于汽车的重力
D．为了防止爆胎，车应高速驶过
答案 AB
解析 由题意得，汽车通过凹形桥的最低点时所需要的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供，即FN－mg＝eq \f(mv2,r)，即桥对车的支持力大于汽车的重力，即车处于超重状态，则为了防止爆胎，车应减速驶过，故A正确，C、D错误；因为车内乘员也处于超重状态，则座位对其支持力大于其重力，由牛顿第三定律得，车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力，故B正确。
5.一个质量为m的物体(体积可忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．若v0＝eq \r(gR)，则物体对半球顶点无压力
B．若v0＝eq \f(1,2)eq \r(gR)，则物体对半球顶点的压力大小为eq \f(1,2)mg
C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力大小为eq \f(1,2)mg
D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
答案 A
解析 设物体在半球顶点受到的支持力为FN，若v0＝eq \r(gR)，由mg－FN＝meq \f(v02,R)，得FN＝0，根据牛顿第三定律，物体对半球顶点无压力，A正确；若v0＝eq \f(1,2)eq \r(gR)，由mg－FN′＝meq \f(v02,R)，得FN′＝eq \f(3,4)mg，根据牛顿第三定律，物体对半球顶点的压力大小为eq \f(3,4)mg，B错误；若v0＝0，物体对半球顶点的压力大小为mg，C、D错误。
考点三 航天器中的失重现象 离心运动
6．下列行为可以在绕地球做匀速圆周运动的“天宫二号”舱内完成的有( )
A．用台秤称量重物的质量
B．用水杯喝水
C．用沉淀法将水与沙子分离
D．给小球一个很小的初速度，小球就能在细绳拉力作用下在竖直面内做圆周运动
答案 D
解析 重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤测量重物的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动，故D正确。
7.(多选)“科技让生活更美好”，洗衣机脱水原理就来自于圆周运动知识，如图所示。在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则( )
A．加大脱水筒转动的线速度，脱水效果会更好
B．加大脱水筒转动的角速度，衣服对筒壁的压力增大
C．水会从脱水筒甩出是因为水滴做离心运动
D．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服受到的重力提供
答案 ABC
解析 加大脱水筒转动的线速度，需要的向心力变大，当不足以提供向心力时，水滴就会做离心运动，脱水效果会更好，故A正确；衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由筒壁对衣服的弹力提供，加大脱水筒转动的角速度，需要提供的向心力变大，筒壁对衣服的弹力也增大，根据牛顿第三定律，衣服对筒壁的压力就增大，故B正确，D错误；水会从脱水筒甩出是因为衣服对水的附着力不足以提供水滴做圆周运动的向心力，水滴做离心运动，故C正确。
8．(多选)(2022·临夏高一期末)如图所示，某一玩具汽车以速度v＝2 m/s先后匀速驶过凹形路面最低点(如图甲)和拱形桥最高点(如图乙)，汽车质量m＝10 kg，其半径均为R＝0.4 m，g取10 m/s2，下列说法中正确的是( )
A．图甲中汽车对路面的压力大小等于200 N
B．图乙中汽车对桥面的压力大小等于100 N
C．图甲中当汽车行驶的速度大小一定时，若路面的半径越大，则汽车对路面的压力越大
D．图乙中当汽车行驶的速度大小一定时，若汽车在桥顶时对桥面的压力始终大于0，则桥面的半径越大，汽车对桥面的压力越大
答案 AD
解析 题图甲中在最低点时，根据牛顿第二定律有FN1－mg＝meq \f(v2,R)，解得汽车受到的支持力大小为FN1＝mg＋meq \f(v2,R)＝200 N，故题图甲中汽车对路面的压力大小等于200 N，由上述表达式可知，当汽车行驶的速度大小一定时，若路面的半径越大，则汽车对路面的压力越小，A正确，C错误；题图乙中在最高点时，根据牛顿第二定律有mg－FN2＝meq \f(v2,R)，解得汽车受到的支持力大小为FN2＝mg－meq \f(v2,R)＝0，故题图乙中汽车对桥面的压力大小等于0，由上述表达式可知，当汽车行驶的速度大小一定时，若汽车在桥顶时对桥面的压力始终大于0，则桥面的半径越大，汽车对桥面的压力越大，B错误，D正确。
9．现有一辆质量m＝9 000 kg的轿车，行驶在沥青铺设的公路上，g＝10 m/s2。
(1)如果汽车在公路的水平弯道上以30 m/s的速度转弯，轮胎与地面的径向最大静摩擦力为车重的0.6倍，若要汽车不向外发生侧滑，弯道的最小半径是多少？
(2)如果汽车驶过半径R′＝90 m的一段凸形桥面
①若汽车以20 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，则汽车的速度不能超过多少？
答案 (1)150 m (2)①5×104N ②30 m/s
解析 (1)汽车在公路的水平路面上转弯，径向的静摩擦力提供向心力，当汽车恰好不发生侧滑时Ffmax＝eq \f(mv2,Rmin)，Ffmax＝0.6mg
解得Rmin＝150 m
(2)①若汽车以20 m/s的速度通过桥面最高点时，有mg－FN＝meq \f(v′2,R′)
解得FN ＝ 5 × 104 N
由牛顿第三定律可知FN′＝FN＝5×104 N
②若汽车在过最高点时恰好不能脱离桥面，有mg＝meq \f(vmax2,R′)，解得vmax ＝ 30 m/s。
10.(2023·重庆学业考试)在场地自行车世界杯男子1公里个人计时赛中，(取重力加速度g＝10 m/s2)
(1)运动员先沿直道由静止开始加速，前24 m用时4 s，此过程可视为匀加速直线运动，求运动员在4 s末时的速度大小；
(2)若运动员在倾斜赛道上转弯过程可视为半径为12 m的水平匀速圆周运动，速度大小为16 m/s，已知运动员(包括自行车)的质量为90 kg，求此过程运动员(包括自行车)所需的向心力大小；
(3)在(2)问中，自行车车身垂直于赛道，此时自行车不受侧向摩擦力，赛道的支持力通过运动员和自行车的重心，实现匀速平稳转弯，如图，求转弯处赛道与水平面的夹角的正切值。
答案 (1)12 m/s (2)1 920 N (3)2.13
解析 (1)设运动员沿直道由静止开始加速4 s时的速度大小为v，则x＝eq \f(v,2)t
解得v＝12 m/s
(2)运动员和自行车在转弯过程中所需的向心力F＝meq \f(v12,R)
解得F＝1 920 N
(3)设赛道与水平面的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(F,mg)≈2.13
11．(多选)变重力科学实验柜为科学实验提供0.01g～2g(零重力到两倍重力范围)高精度模拟的重力环境，支持开展微重力、模拟月球重力、火星重力等不同重力水平下的科学研究。如图所示，变重力实验柜的主要装置是两套900毫米直径的离心机。离心机旋转的过程中，由于惯性，实验载荷会有一个向外飞出的趋势，对容器壁产生压力，就像放在水平地面上的物体受到重力挤压地面一样。因此，这个压力的大小可以体现“模拟重力”的大小。根据上面资料结合所学知识，判断下列说法正确的是( )
A．实验样品的质量越大，“模拟重力加速度”越大
B．离心机的转速变为原来的2倍，同一位置的“模拟重力加速度”变为原来的4倍
C．实验样品所受“模拟重力”的方向指向离心机转轴中心
D．为防止两台离心机转动时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动
答案 BD
解析 根据题意可得m(2πn)2r＝mg模，可得模拟重力加速度g模＝4π2n2r，模拟重力加速度与样品的质量无关，离心机的转速变为原来的2倍，同一位置的“模拟重力加速度”变为原来的4倍，故A错误，B正确；实验载荷因为有向外飞出的趋势，对容器壁产生的压力向外，所以模拟重力的方向背离离心机转轴中心，故C错误；根据牛顿第三定律可知，一台离心机从静止开始加速转动，会给空间站施加相反方向的力，使空间站发生转动，所以为防止两台离心机转动时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动，故D正确。项目
汽车过拱形桥
汽车过凹形路面
受力分析
桥或路面对汽车的支持力
G－FN＝meq \f(v2,R)，FN＝G－meq \f(v2,R)
FN－G＝meq \f(v2,R)，FN＝G＋meq \f(v2,R)
汽车对桥或路面的压力
FN′＝FN＝G－meq \f(v2,R)FN′＝FN＝G＋meq \f(v2,R)>G
处于超重还是失重状态
失重
超重
讨论
v增大，FN′减小；当v增大到eq \r(gR)时，FN′＝0
v增大，FN′增大