还剩25页未读，
继续阅读
物理4 生活中的圆周运动教学设计
展开
这是一份物理4 生活中的圆周运动教学设计，共28页。
1．巩固向心力和向心加速度的知识。
2．会在具体问题中分析向心力的来源。
3．会利用牛顿第二定律解决生活中比较简单的圆周运动问题。
1.火车转弯
(1)运动特点：火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有eq \(□,\s\up3(01))向心加速度，由于其质量巨大，需要很eq \(□,\s\up3(02))大的向心力。
(2)轨道设计：弯道处外轨略eq \(□,\s\up3(03))高(选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向是eq \(□,\s\up3(04))斜向弯道内侧，它与重力G的合力指向eq \(□,\s\up3(05))圆心。若火车以规定的速度行驶，转弯时所需的向心力几乎完全由eq \(□,\s\up3(06))重力G和支持力FN的合力来提供。
2．汽车过拱形桥
3．航天器中的失重现象
(1)向心力分析：航天员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，eq \(□,\s\up3(15))mg－FN＝meq \f(v2,R)，所以FN＝eq \(□,\s\up3(16))meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g－\f(v2,R)))，故宇航员处于eq \(□,\s\up3(17))失重状态。
(2)完全失重状态：当v＝eq \(□,\s\up3(18))eq \r(gR)时，座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于完全失重状态。
4．离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或eq \(□,\s\up3(19))逐渐远离圆心的运动。
(2)原因：向心力突然eq \(□,\s\up3(20))消失或合力不足以提供eq \(□,\s\up3(21))所需的向心力。
(3)应用：洗衣机eq \(□,\s\up3(22))脱水，纺织厂使棉纱、毛线、纺织品干燥，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆，分离血液等。
(4)危害：汽车转弯时，若eq \(□,\s\up3(23))最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，汽车会做离心运动而造成事故。高速转动的砂轮、飞轮，若超过最大转速，会做离心运动致使破裂，造成事故。
判一判
(1)铁轨弯道处外高内低，是为了方便火车转弯。( )
(2)若弯道处重力与支持力的合力恰好提供火车做圆周运动的向心力，则火车处于平衡状态。( )
(3)水平路面上，车辆转弯时，静摩擦力提供向心力。( )
提示：(1)√ 铁轨外高内低使火车受到的重力与支持力的合力指向圆心，为火车提供向心力。
(2)× 火车做圆周运动，受力不平衡，并不处于平衡状态。
(3)√ 水平路面上，重力与支持力沿竖直方向，只能由静摩擦力提供向心力。
想一想
洗衣机脱水的原理是什么？
提示：洗衣机脱水时，由于高速转动，水滴需要较大的向心力才能与衣服一起做圆周运动。当转速足够大时，衣服已无法向水滴提供足够大的附着力(作为向心力)，水滴便做离心运动，离开衣服，于是衣服被脱水。
课堂任务 火车转弯
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图甲所示，如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？
提示：如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮会极易受损。
活动2：实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点？若火车的速度为v，轨道平面与水平面之间的夹角θ应满足什么样的关系，轨道才不受挤压？
提示：如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是垂直轨道平面指向弯道的内侧，它的水平分力为火车转弯提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压。要使轨道不受挤压，需要重力和支持力的合力提供向心力，则Fn＝F＝mgtanθ＝meq \f(v2,R)，所以θ应满足tanθ＝eq \f(v2,gR)，其中R为弯道半径。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
1．弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如图所示，即mgtanθ＝meq \f(v\\al(2,0),R)，则v0＝eq \r(gRtanθ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。
2．速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v>v0时，火车对外轨有挤压作用。
(3)当火车行驶速度v3．注意事项
(1)合力的方向：因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合力应沿水平面指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
例1 有一列质量为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
(1)内外轨一样高火车靠什么提供向心力？
提示：外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。
(2)要使铁轨受到的侧压力为零，需要满足什么条件？
提示：需要重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
[规范解答] (1)m＝100 t＝1×105 kg，v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：F＝meq \f(v2,r)＝1×105×eq \f(202,400) N＝1×105 N。由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小为1×105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtanθ＝meq \f(v2,r)，由此可得tanθ＝eq \f(v2,rg)＝0.1。
[完美答案] (1)1×105 N (2)0.1
火车转弯或汽车转弯问题实际都是水平面内的匀速圆周运动问题，解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源，然后利用合力提供向心力求解。
eq \a\vs4\al([变式训练1]) (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处( )
A．路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
答案 AC
解析 当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，A正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，并不一定会向内侧滑动，B错误；当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力指向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，C正确；由mgtanθ＝meq \f(v\\al(2,0),r)可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误。
课堂任务 汽车过拱形桥和航天器中的失重现象
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图甲、乙是汽车行驶中的两种情景，在拱形桥、凹形路面上如图所示的位置什么力给汽车提供向心力？汽车对桥面或路面的压力有什么特点？
提示：不管是拱形桥还是凹形路面在如图所示位置竖直方向都是受重力和支持力，它们的合力提供向心力。但是，拱形桥的圆心在下、凹形路面的圆心在上，也就是汽车过拱形桥最高点时向心力向下，过凹形路面最低点时向心力向上，则汽车过拱形桥时重力大于支持力，过凹形路面时重力小于支持力。所以汽车过拱形桥时对桥面的压力小于重力，过凹形路面时对路面的压力大于重力。
活动2：汽车在过拱形桥、凹形路面时有超重、失重现象吗？
提示：汽车过拱形桥最高点时，加速度向下，是失重；汽车过凹形路面最低点时，加速度向上，是超重。
活动3：如果汽车过拱形桥最高点时，支持力为零会出现什么情况？
提示：如果汽车的速度达到一定大小，支持力为零，处于完全失重状态，汽车将离开桥面做平抛运动，会有安全隐患。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．汽车过拱形桥
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝meq \f(v2,R)，即FN＝mg－meq \f(v2,R)，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面压力为FN′＝mg－meq \f(v2,R)。由此可知汽车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越小。当汽车对桥面的压力为零时，处于完全失重状态，即mg＝meq \f(v\\al(2,m),R)，得vm＝eq \r(gR)，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面做平抛运动，发生危险。
2．汽车过凹形路面
汽车在最低点满足关系：FN－mg＝meq \f(v2,R)，即FN＝mg＋meq \f(v2,R)，由牛顿第三定律可知，汽车对路面压力FN′＝mg＋meq \f(v2,R)。由此可知汽车对路面的压力大于车的重力，汽车处于超重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越大，故凹形路面易被压垮，因而现实生活中拱形桥多于凹形桥。
3．绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态
航天器绕地球做匀速圆周运动，其重力提供绕地球运动的向心力，而其重力加速度也就成为向心加速度，这个加速度也是向下的，故处于完全失重状态。
以在近地轨道运行的航天器为例，其轨道半径近似等于地球半径R：
(1)质量为M的航天器：航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝Meq \f(v2,R)，则v＝eq \r(gR)。
(2)质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系：mg－FN＝eq \f(mv2,R)。当v＝eq \r(gR)时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态。
例2 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形桥面，路面和桥面的圆弧半径均为20 m。如果路面和桥面允许承受的压力均不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对路面和桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
(1)汽车过凹形路面和凸形桥面时做什么样的运动？
提示：汽车过凹形路面、凸形桥面时做竖直平面内的圆周运动。
(2)汽车过凹形路面和凸形桥面的向心力如何求解？
提示：据牛顿第二定律，过凹形路面最低点时，Fn＝FN－mg＝meq \f(v2,R)；过凸形桥最高点时，Fn＝mg－FN＝meq \f(v2,R)。
[规范解答] (1)汽车在凹形路面底部时，对路面压力最大。
由牛顿第三定律得，此时路面对车的支持力FN＝3.0×105 N，
由牛顿第二定律得：FN－mg＝meq \f(v2,R)
代入数据解得v＝10 m/s。
(2)汽车在拱形桥面顶部时，对桥压力最小。
由牛顿第二定律得：mg－FN′＝meq \f(v2,R)
代入数据解得FN′＝1.0×105 N
由牛顿第三定律知压力等于1.0×105 N。
[完美答案] (1)10 m/s (2)1.0×105 N
解决汽车过凹形路面和拱形桥的问题的一般步骤
对于汽车过凹形路面和拱形桥的问题，明确汽车的运动情况是解题的关键。具体的解题步骤是：
(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。
(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力的来源。
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
eq \a\vs4\al([变式训练2]) 一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m 的一段凸形桥面，g＝10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于零时，车的速度大小是多少？
答案 (1)1.78×104 N (2)30 m/s
解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，竖直方向受力分析如图所示：
由牛顿第二定律得
mg－FN＝meq \f(v2,R)
故桥面对车的支持力大小
FN＝mg－meq \f(v2,R)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2000×10－2000×\f(102,90))) N≈1.78×104 N，
根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104 N。
(2)对桥面的压力等于零时，轿车受到的支持力为零，向心力Fn＝mg＝meq \f(v′2,R)
所以此时轿车的速度大小
v′＝eq \r(gR)＝eq \r(10×90) m/s＝30 m/s。
课堂任务 竖直平面内的圆周运动模型
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：甲、乙、丙三幅图物体在轨道顶点受绳、轨道或杆的弹力有什么特点？
提示：甲图中物体受绳或轨道的弹力向下，而且只能是向下。乙图中处于轨道的外轨道，受到的弹力只能是向上的支持力，不可能向下。丙图中，杆对小球的力或者是管道对小球的力可以向上或向下甚至为零。
活动2：甲图中要满足什么条件小球才能过最高点？
提示：由于所受弹力只能向下，向下的力至少等于重力，故向心力必须不小于重力小球才能过最高点。
活动3：乙、丙图中小车或小球过顶点需要什么条件？
提示：乙、丙图中轨道或杆给小车或小球的力都可以向上，故只要过顶点前速度不为零就行。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．竖直平面内的圆周运动模型
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型。一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力的，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
2．三种模型对比
例3 长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到( )
A．6.0 N的拉力 B．6.0 N的压力
C．24 N的拉力 D．24 N的压力
(1)小球在竖直平面内运动，怎么理解达到最高点的速度v＝eq \r(gL)？
提示：小球在竖直平面内运动，如果达到最高点的速度为v＝eq \r(gL)，说明此时刚好是重力充当向心力，也就是说v＝eq \r(gL)是由mg＝meq \f(v2,L)得来的。
(2)通过最高点时，细杆什么时候会受到小球的拉力？什么时候会受到小球的压力？
提示：当小球在最高点的速度v>eq \r(gL)时，细杆会受到小球的拉力；当小球在最高点的速度v[规范解答] 设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg＝meq \f(v\\al(2,0),L)
得v0＝eq \r(gL)＝eq \r(10×0.50) m/s＝eq \r(5) m/s。
由于v＝2.0 m/s由牛顿第二定律mg－N＝meq \f(v2,L)，
得N＝mg－meq \f(v2,L)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3.0×10－3.0×\f(2.02,0.50))) N＝6.0 N
由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0 N的压力，B正确。
[完美答案] B
竖直面内圆周运动的求解思路
(1)确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
(2)确定临界点：v临＝eq \r(gr)，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是表现为支持力还是拉力的临界点。
(3)分析求解：对物体在最高点或最低点等进行受力分析，列方程求解。当物体在最高点或最低点时有F合＝F向＝meq \f(v2,r)＝mω2r。
eq \a\vs4\al([变式训练3－1]) (多选)如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端有固定轴O，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦转动，已知小球通过最高点P时，速度的大小为vP＝eq \r(2gL)，已知小球通过最低点Q时，速度的大小为vQ＝eq \r(6gL)，则小球的运动情况为( )
A．小球到达圆周轨道的最高点P时受到轻杆向上的弹力
B．小球到达圆周轨道的最低点Q时受到轻杆向上的弹力
C．小球到达圆周轨道的最高点P时不受轻杆的作用力
D．若小球到达圆周轨道的最高点P速度增大，则在P点受到轻杆向下的弹力增大
答案 BD
解析 小球在P点的速度vP＝eq \r(2gL)>eq \r(gL)，所以小球在P点受到的弹力向下，且随着vP增大，受到向下的弹力增大，A、C错误，D正确。在最低点Q点，由于重力向下，合力即向心力向上，故弹力一定向上，B正确。
eq \a\vs4\al([变式训练3－2]) (多选)如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管运动，设小球经过最高点P时的速度为v，则( )
A．v的最小值为eq \r(gL)
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由eq \r(gL)逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由eq \r(gL)逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
答案 BD
解析 由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fn＝meq \f(v2,L)，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝eq \r(gL)时，圆管弹力为零，故v由eq \r(gL)逐渐减小时，轨道对球向上的支持力增大，v由eq \r(gL)逐渐增大时，轨道对球向下的压力也增大，C错误，D正确。
例4 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm，g取10 m/s2。求：
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小。
(1)如何理解在最高点水不流出来的情形？
提示：如果桶在最高点的速度为0或较小，那么水就会在重力作用下流出来，所以桶在最高点必须有一个最小速度，即临界速度，只要当桶在最高点的速度大于或等于临界速度时，水才不会流出来。
(2)绳模型中最高点的临界速度是多少？
提示：绳模型中物体通过最高点，至少受重力作用，所
以向心力最小等于重力。由mg＝meq \f(v2,r)求出临界速度v＝eq \r(gr)。
[规范解答] (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。此时有：mg＝meq \f(v\\al(2,0),l)
则所求速率即为桶的最小速率：v0＝eq \r(gl)≈2.24 m/s。
(2)在最高点水桶的速率v＝3 m/s>2.24 m/s，水桶能过最高点，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，
则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝meq \f(v2,l)
代入数据可得：FN＝4 N
由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：FN′＝4 N。
[完美答案] (1)2.24 m/s (2)4 N
绳模型和杆模型中物体做的都是变速圆周运动，在最高点和最低点时都是由物体在竖直方向所受的合力提供向心力。
eq \a\vs4\al( )
eq \a\vs4\al([变式训练4]) 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案 B
解析 “水流星”在最高点的速度v＝4 m/s＝eq \r(gL)，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。
课堂任务 离心运动的理解和应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：F合表示什么意思？F合＝mω2r时物体做什么运动？
提示：F合是一个物体受到的所有外力的合力。当F合＝mω2r时，合外力等于所需的向心力，物体做匀速圆周运动。
活动2：F合＝0表示什么意思？F合＝0时，物体会怎样运动？
提示：F合＝0表示物体受到的所有外力的合力为零，相当于不受力，这里相当于物体做圆周运动的向心力突然消失。向心力消失后，物体不再转弯，将沿切线方向飞出做离心运动，如图中线条1。
活动3：如果物体受的合外力不足以提供所需的向心力或者合外力大于需要的向心力，物体又会怎样运动？
提示：如果物体受的合外力不足以提供所需的向心力，物体会远离圆心做离心运动，如图中线条2。如果合外力大于需要的向心力，物体就会做近心运动，如图中线条3。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．离心运动的理解
(1)若F合＝mω2r或F合＝eq \f(mv2,r)，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mω2r或F合>eq \f(mv2,r)，物体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”，也就是“提供过度”。
(3)若F合2．几种常见的离心运动
例5 (多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
(1)物体做离心运动的条件是什么？
提示：物体所受沿轨迹半径方向的合力突然为零或沿轨迹半径方向的合力小于所需要的向心力。
(2)离心运动一定是直线运动吗？
提示：不一定。离心运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。
[规范解答] 若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做近心运动，A错误。若拉力突然变小，小球将做离心运动，又由于力与速度有一定的夹角，故小球将沿轨迹Pb做曲线运动，B正确，D错误。若拉力突然消失，小球将沿着P点处的切线Pa做离心运动，C正确。
[完美答案] BC
离心现象的三点注意事项
(1)离心现象并不是由于存在离心力而产生的，而是由于物体所受的力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力引起的，是惯性的一种表现形式。
(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。
(3)物体的质量越大、线速度越大(或角速度越大)时，物体做圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。
eq \a\vs4\al([变式训练5]) 如图所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
答案 B
解析 摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将在线速度方向与原圆周运动轨迹之间做离心曲线运动，C、D错误。
A组：合格性水平训练
1．(离心运动的理解)关于离心运动，下列说法中正确的是( )
A．物体一直不受外力作用时，可能做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化便将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或数值变小时将做离心运动
答案 D
解析 物体一直不受外力作用，物体应保持静止状态或匀速直线运动状态，A错误；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力等于向心力，当外界提供的向心力增大时，物体所需的向心力并没有增大，物体将做近心运动，B错误；做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化，物体可能仍做圆周运动，例如变速圆周运动，也可能做近心运动或离心运动，C错误；根据离心运动的条件可知，D正确。
2．(航天器中的失重现象)(多选)航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是( )
A．航天员仍受重力作用
B．航天员受的重力提供其做匀速圆周运动的向心力
C．航天员处于超重状态
D．航天员对座椅的压力为零
答案 ABD
解析 航天飞机在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提供航天飞机绕地球做匀速圆周运动的向心力，航天员的加速度与航天飞机的相同，也是重力提供向心力，即mg＝meq \f(v2,R)，A、B正确；此时航天员不受座椅弹力，即对座椅无压力，处于完全失重状态，D正确，C错误。
3．(竖直平面内的圆周运动)秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千( )
A．在下摆过程中 B．在上摆过程中
C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
答案 D
解析 当秋千摆到最低点时速度最大，由F－mg＝meq \f(v2,l)知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，D正确。
4.(拱形桥问题)在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，如图所示，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是( )
A．玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B．玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小
答案 D
解析 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－FN＝meq \f(v2,R)，即FN＝mg－meq \f(v2,R)5.(汽车转弯问题)在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽车的运动可看做是半径为R的圆周运动。设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g，要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A. eq \r(\f(gRh,L)) B. eq \r(\f(gRh,d))
C. eq \r(\f(gRL,h)) D. eq \r(\f(gRd,h))
答案 B
解析 设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝meq \f(v2,R)，又由数学知识可知tanθ＝eq \f(h,d)，联立解得v＝eq \r(\f(gRh,d))，B正确。
6.(轻绳模型)(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为eq \r(gl)
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
答案 CD
解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝eq \r(gl)，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。
7.(轻绳模型)如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B.eq \r(gR) C.eq \r(2gR) D.eq \r(3gR)
答案 C
解析 由题意知，乘客受到座椅的压力F＝mg，则F＋mg＝2mg＝meq \f(v2,R)，故最高点处速度大小v＝eq \r(2gR)，C正确。
8．(拱形桥问题)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于eq \r(gR)
答案 A
解析 由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝meq \f(v\\al(2,1),R)，解得FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)只在小汽车通过桥顶时成立，而在其上桥过程中不成立，C错误；由mg－FN＝meq \f(v\\al(2,1),R)，FN≥0，解得v1≤eq \r(gR)，D错误。
9.(轻杆模型)如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。小球运动到最高点时速度为v＝eq \r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
A.eq \f(1,2)mg的拉力 B.eq \f(1,2)mg的压力
C．零 D.eq \f(3,2)mg的压力
答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，mg＝meq \f(v′2,R)，解得v′＝eq \r(gL)，而 eq \r(\f(1,2)gL)10.(拱形桥问题)如图所示，是一座半径为40 m的圆弧形拱形桥。一质量为1.0×103 kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10 m/s，则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力为多大？汽车对桥面的压力是多少？(取g＝10 m/s2)
答案 2.5 m/s2 2.5×103 N 7.5×103 N
解析 汽车的向心加速度
an＝eq \f(v2,r)＝eq \f(102,40) m/s2＝2.5 m/s2。
汽车的向心力
Fn＝ma＝1.0×103×2.5 N＝2.5×103 N。
在桥的最高点，汽车的向心力由重力和桥的支持力的合力提供，如图所示，Fn＝mg－FN，
则FN＝mg－Fn＝1.0×103×10 N－2.5×103 N＝7.5×103 N，
根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力
F压＝FN＝7.5×103 N。
11．(汽车转弯问题)某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为100 m，一赛车和车手的总质量为100 kg，轮胎与地面间的最大静摩擦力为600 N。(g取10 m/s2)
(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧滑？
(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，赛车的速度多大时，车手感觉不到自己有相对车侧向运动的趋势？
答案 (1)不会侧滑 (2)24 m/s
解析 (1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。赛车做圆周运动所需的向心力为Fn＝meq \f(v\\al(2,0),R)＝400 N<600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑。
(2)由题意得车手不受座椅侧向的摩擦力，于是车手只受支持力和重力，由牛顿第二定律知mgtanθ＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(gRtanθ)≈24 m/s。
B组：等级性水平训练
12.(火车转弯问题)(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压，如图。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
A．减小内外轨的高度差 B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径 D．增大弯道半径
答案 AC
解析 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fn＝mgtanθ＝meq \f(v2,R)，故v＝eq \r(gRtanθ)，若使火车经过弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。
13.(轻杆模型)(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度是eq \r(Rg)
B．小球通过最高点时的最小速度为零
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
答案 BD
解析 圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，故小球通过最高点的最小速度为零，A错误，B正确。小球在水平线ab以下时，合外力必须有指向圆心方向的分力提供向心力，故外侧管壁一定对小球有作用力，C错误，D正确。
14.(轻杆模型)长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕轻杆另一端O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小。(g＝10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s。
答案 (1)16 N (2)44 N
解析 以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，
则有mg＋F＝meq \f(v2,L)。
(1)代入数据v1＝1 m/s，
可得F1＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v\\al(2,1),L)－g))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,0.5)－10)) N＝－16 N，
即A受到杆的支持力为16 N。
根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N。
(2)代入数据v2＝4 m/s，
可得F2＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v\\al(2,2),L)－g))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(42,0.5)－10)) N＝44 N，
即A受到杆的拉力为44 N。
根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N。
1．巩固向心力和向心加速度的知识。
2．会在具体问题中分析向心力的来源。
3．会利用牛顿第二定律解决生活中比较简单的圆周运动问题。
1.火车转弯
(1)运动特点：火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有eq \(□,\s\up3(01))向心加速度，由于其质量巨大，需要很eq \(□,\s\up3(02))大的向心力。
(2)轨道设计：弯道处外轨略eq \(□,\s\up3(03))高(选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向是eq \(□,\s\up3(04))斜向弯道内侧，它与重力G的合力指向eq \(□,\s\up3(05))圆心。若火车以规定的速度行驶，转弯时所需的向心力几乎完全由eq \(□,\s\up3(06))重力G和支持力FN的合力来提供。
2．汽车过拱形桥
3．航天器中的失重现象
(1)向心力分析：航天员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，eq \(□,\s\up3(15))mg－FN＝meq \f(v2,R)，所以FN＝eq \(□,\s\up3(16))meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g－\f(v2,R)))，故宇航员处于eq \(□,\s\up3(17))失重状态。
(2)完全失重状态：当v＝eq \(□,\s\up3(18))eq \r(gR)时，座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于完全失重状态。
4．离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或eq \(□,\s\up3(19))逐渐远离圆心的运动。
(2)原因：向心力突然eq \(□,\s\up3(20))消失或合力不足以提供eq \(□,\s\up3(21))所需的向心力。
(3)应用：洗衣机eq \(□,\s\up3(22))脱水，纺织厂使棉纱、毛线、纺织品干燥，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆，分离血液等。
(4)危害：汽车转弯时，若eq \(□,\s\up3(23))最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，汽车会做离心运动而造成事故。高速转动的砂轮、飞轮，若超过最大转速，会做离心运动致使破裂，造成事故。
判一判
(1)铁轨弯道处外高内低，是为了方便火车转弯。( )
(2)若弯道处重力与支持力的合力恰好提供火车做圆周运动的向心力，则火车处于平衡状态。( )
(3)水平路面上，车辆转弯时，静摩擦力提供向心力。( )
提示：(1)√ 铁轨外高内低使火车受到的重力与支持力的合力指向圆心，为火车提供向心力。
(2)× 火车做圆周运动，受力不平衡，并不处于平衡状态。
(3)√ 水平路面上，重力与支持力沿竖直方向，只能由静摩擦力提供向心力。
想一想
洗衣机脱水的原理是什么？
提示：洗衣机脱水时，由于高速转动，水滴需要较大的向心力才能与衣服一起做圆周运动。当转速足够大时，衣服已无法向水滴提供足够大的附着力(作为向心力)，水滴便做离心运动，离开衣服，于是衣服被脱水。
课堂任务 火车转弯
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图甲所示，如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？
提示：如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮会极易受损。
活动2：实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点？若火车的速度为v，轨道平面与水平面之间的夹角θ应满足什么样的关系，轨道才不受挤压？
提示：如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是垂直轨道平面指向弯道的内侧，它的水平分力为火车转弯提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压。要使轨道不受挤压，需要重力和支持力的合力提供向心力，则Fn＝F＝mgtanθ＝meq \f(v2,R)，所以θ应满足tanθ＝eq \f(v2,gR)，其中R为弯道半径。
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
1．弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如图所示，即mgtanθ＝meq \f(v\\al(2,0),R)，则v0＝eq \r(gRtanθ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。
2．速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v>v0时，火车对外轨有挤压作用。
(3)当火车行驶速度v
(1)合力的方向：因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合力应沿水平面指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
例1 有一列质量为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
(1)内外轨一样高火车靠什么提供向心力？
提示：外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。
(2)要使铁轨受到的侧压力为零，需要满足什么条件？
提示：需要重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
[规范解答] (1)m＝100 t＝1×105 kg，v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：F＝meq \f(v2,r)＝1×105×eq \f(202,400) N＝1×105 N。由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小为1×105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtanθ＝meq \f(v2,r)，由此可得tanθ＝eq \f(v2,rg)＝0.1。
[完美答案] (1)1×105 N (2)0.1
火车转弯或汽车转弯问题实际都是水平面内的匀速圆周运动问题，解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源，然后利用合力提供向心力求解。
eq \a\vs4\al([变式训练1]) (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处( )
A．路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
答案 AC
解析 当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，A正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，并不一定会向内侧滑动，B错误；当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力指向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，C正确；由mgtanθ＝meq \f(v\\al(2,0),r)可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误。
课堂任务 汽车过拱形桥和航天器中的失重现象
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图甲、乙是汽车行驶中的两种情景，在拱形桥、凹形路面上如图所示的位置什么力给汽车提供向心力？汽车对桥面或路面的压力有什么特点？
提示：不管是拱形桥还是凹形路面在如图所示位置竖直方向都是受重力和支持力，它们的合力提供向心力。但是，拱形桥的圆心在下、凹形路面的圆心在上，也就是汽车过拱形桥最高点时向心力向下，过凹形路面最低点时向心力向上，则汽车过拱形桥时重力大于支持力，过凹形路面时重力小于支持力。所以汽车过拱形桥时对桥面的压力小于重力，过凹形路面时对路面的压力大于重力。
活动2：汽车在过拱形桥、凹形路面时有超重、失重现象吗？
提示：汽车过拱形桥最高点时，加速度向下，是失重；汽车过凹形路面最低点时，加速度向上，是超重。
活动3：如果汽车过拱形桥最高点时，支持力为零会出现什么情况？
提示：如果汽车的速度达到一定大小，支持力为零，处于完全失重状态，汽车将离开桥面做平抛运动，会有安全隐患。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．汽车过拱形桥
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝meq \f(v2,R)，即FN＝mg－meq \f(v2,R)，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面压力为FN′＝mg－meq \f(v2,R)。由此可知汽车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越小。当汽车对桥面的压力为零时，处于完全失重状态，即mg＝meq \f(v\\al(2,m),R)，得vm＝eq \r(gR)，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面做平抛运动，发生危险。
2．汽车过凹形路面
汽车在最低点满足关系：FN－mg＝meq \f(v2,R)，即FN＝mg＋meq \f(v2,R)，由牛顿第三定律可知，汽车对路面压力FN′＝mg＋meq \f(v2,R)。由此可知汽车对路面的压力大于车的重力，汽车处于超重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越大，故凹形路面易被压垮，因而现实生活中拱形桥多于凹形桥。
3．绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态
航天器绕地球做匀速圆周运动，其重力提供绕地球运动的向心力，而其重力加速度也就成为向心加速度，这个加速度也是向下的，故处于完全失重状态。
以在近地轨道运行的航天器为例，其轨道半径近似等于地球半径R：
(1)质量为M的航天器：航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝Meq \f(v2,R)，则v＝eq \r(gR)。
(2)质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系：mg－FN＝eq \f(mv2,R)。当v＝eq \r(gR)时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态。
例2 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形桥面，路面和桥面的圆弧半径均为20 m。如果路面和桥面允许承受的压力均不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对路面和桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
(1)汽车过凹形路面和凸形桥面时做什么样的运动？
提示：汽车过凹形路面、凸形桥面时做竖直平面内的圆周运动。
(2)汽车过凹形路面和凸形桥面的向心力如何求解？
提示：据牛顿第二定律，过凹形路面最低点时，Fn＝FN－mg＝meq \f(v2,R)；过凸形桥最高点时，Fn＝mg－FN＝meq \f(v2,R)。
[规范解答] (1)汽车在凹形路面底部时，对路面压力最大。
由牛顿第三定律得，此时路面对车的支持力FN＝3.0×105 N，
由牛顿第二定律得：FN－mg＝meq \f(v2,R)
代入数据解得v＝10 m/s。
(2)汽车在拱形桥面顶部时，对桥压力最小。
由牛顿第二定律得：mg－FN′＝meq \f(v2,R)
代入数据解得FN′＝1.0×105 N
由牛顿第三定律知压力等于1.0×105 N。
[完美答案] (1)10 m/s (2)1.0×105 N
解决汽车过凹形路面和拱形桥的问题的一般步骤
对于汽车过凹形路面和拱形桥的问题，明确汽车的运动情况是解题的关键。具体的解题步骤是：
(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。
(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力的来源。
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
eq \a\vs4\al([变式训练2]) 一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m 的一段凸形桥面，g＝10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于零时，车的速度大小是多少？
答案 (1)1.78×104 N (2)30 m/s
解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，竖直方向受力分析如图所示：
由牛顿第二定律得
mg－FN＝meq \f(v2,R)
故桥面对车的支持力大小
FN＝mg－meq \f(v2,R)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2000×10－2000×\f(102,90))) N≈1.78×104 N，
根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104 N。
(2)对桥面的压力等于零时，轿车受到的支持力为零，向心力Fn＝mg＝meq \f(v′2,R)
所以此时轿车的速度大小
v′＝eq \r(gR)＝eq \r(10×90) m/s＝30 m/s。
课堂任务 竖直平面内的圆周运动模型
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：甲、乙、丙三幅图物体在轨道顶点受绳、轨道或杆的弹力有什么特点？
提示：甲图中物体受绳或轨道的弹力向下，而且只能是向下。乙图中处于轨道的外轨道，受到的弹力只能是向上的支持力，不可能向下。丙图中，杆对小球的力或者是管道对小球的力可以向上或向下甚至为零。
活动2：甲图中要满足什么条件小球才能过最高点？
提示：由于所受弹力只能向下，向下的力至少等于重力，故向心力必须不小于重力小球才能过最高点。
活动3：乙、丙图中小车或小球过顶点需要什么条件？
提示：乙、丙图中轨道或杆给小车或小球的力都可以向上，故只要过顶点前速度不为零就行。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．竖直平面内的圆周运动模型
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型。一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力的，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
2．三种模型对比
例3 长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到( )
A．6.0 N的拉力 B．6.0 N的压力
C．24 N的拉力 D．24 N的压力
(1)小球在竖直平面内运动，怎么理解达到最高点的速度v＝eq \r(gL)？
提示：小球在竖直平面内运动，如果达到最高点的速度为v＝eq \r(gL)，说明此时刚好是重力充当向心力，也就是说v＝eq \r(gL)是由mg＝meq \f(v2,L)得来的。
(2)通过最高点时，细杆什么时候会受到小球的拉力？什么时候会受到小球的压力？
提示：当小球在最高点的速度v>eq \r(gL)时，细杆会受到小球的拉力；当小球在最高点的速度v
得v0＝eq \r(gL)＝eq \r(10×0.50) m/s＝eq \r(5) m/s。
由于v＝2.0 m/s
得N＝mg－meq \f(v2,L)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3.0×10－3.0×\f(2.02,0.50))) N＝6.0 N
由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0 N的压力，B正确。
[完美答案] B
竖直面内圆周运动的求解思路
(1)确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
(2)确定临界点：v临＝eq \r(gr)，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是表现为支持力还是拉力的临界点。
(3)分析求解：对物体在最高点或最低点等进行受力分析，列方程求解。当物体在最高点或最低点时有F合＝F向＝meq \f(v2,r)＝mω2r。
eq \a\vs4\al([变式训练3－1]) (多选)如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端有固定轴O，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦转动，已知小球通过最高点P时，速度的大小为vP＝eq \r(2gL)，已知小球通过最低点Q时，速度的大小为vQ＝eq \r(6gL)，则小球的运动情况为( )
A．小球到达圆周轨道的最高点P时受到轻杆向上的弹力
B．小球到达圆周轨道的最低点Q时受到轻杆向上的弹力
C．小球到达圆周轨道的最高点P时不受轻杆的作用力
D．若小球到达圆周轨道的最高点P速度增大，则在P点受到轻杆向下的弹力增大
答案 BD
解析 小球在P点的速度vP＝eq \r(2gL)>eq \r(gL)，所以小球在P点受到的弹力向下，且随着vP增大，受到向下的弹力增大，A、C错误，D正确。在最低点Q点，由于重力向下，合力即向心力向上，故弹力一定向上，B正确。
eq \a\vs4\al([变式训练3－2]) (多选)如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管运动，设小球经过最高点P时的速度为v，则( )
A．v的最小值为eq \r(gL)
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由eq \r(gL)逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由eq \r(gL)逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
答案 BD
解析 由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fn＝meq \f(v2,L)，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝eq \r(gL)时，圆管弹力为零，故v由eq \r(gL)逐渐减小时，轨道对球向上的支持力增大，v由eq \r(gL)逐渐增大时，轨道对球向下的压力也增大，C错误，D正确。
例4 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm，g取10 m/s2。求：
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小。
(1)如何理解在最高点水不流出来的情形？
提示：如果桶在最高点的速度为0或较小，那么水就会在重力作用下流出来，所以桶在最高点必须有一个最小速度，即临界速度，只要当桶在最高点的速度大于或等于临界速度时，水才不会流出来。
(2)绳模型中最高点的临界速度是多少？
提示：绳模型中物体通过最高点，至少受重力作用，所
以向心力最小等于重力。由mg＝meq \f(v2,r)求出临界速度v＝eq \r(gr)。
[规范解答] (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。此时有：mg＝meq \f(v\\al(2,0),l)
则所求速率即为桶的最小速率：v0＝eq \r(gl)≈2.24 m/s。
(2)在最高点水桶的速率v＝3 m/s>2.24 m/s，水桶能过最高点，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，
则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝meq \f(v2,l)
代入数据可得：FN＝4 N
由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：FN′＝4 N。
[完美答案] (1)2.24 m/s (2)4 N
绳模型和杆模型中物体做的都是变速圆周运动，在最高点和最低点时都是由物体在竖直方向所受的合力提供向心力。
eq \a\vs4\al( )
eq \a\vs4\al([变式训练4]) 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案 B
解析 “水流星”在最高点的速度v＝4 m/s＝eq \r(gL)，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。
课堂任务 离心运动的理解和应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：F合表示什么意思？F合＝mω2r时物体做什么运动？
提示：F合是一个物体受到的所有外力的合力。当F合＝mω2r时，合外力等于所需的向心力，物体做匀速圆周运动。
活动2：F合＝0表示什么意思？F合＝0时，物体会怎样运动？
提示：F合＝0表示物体受到的所有外力的合力为零，相当于不受力，这里相当于物体做圆周运动的向心力突然消失。向心力消失后，物体不再转弯，将沿切线方向飞出做离心运动，如图中线条1。
活动3：如果物体受的合外力不足以提供所需的向心力或者合外力大于需要的向心力，物体又会怎样运动？
提示：如果物体受的合外力不足以提供所需的向心力，物体会远离圆心做离心运动，如图中线条2。如果合外力大于需要的向心力，物体就会做近心运动，如图中线条3。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．离心运动的理解
(1)若F合＝mω2r或F合＝eq \f(mv2,r)，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mω2r或F合>eq \f(mv2,r)，物体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”，也就是“提供过度”。
(3)若F合
例5 (多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
(1)物体做离心运动的条件是什么？
提示：物体所受沿轨迹半径方向的合力突然为零或沿轨迹半径方向的合力小于所需要的向心力。
(2)离心运动一定是直线运动吗？
提示：不一定。离心运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。
[规范解答] 若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做近心运动，A错误。若拉力突然变小，小球将做离心运动，又由于力与速度有一定的夹角，故小球将沿轨迹Pb做曲线运动，B正确，D错误。若拉力突然消失，小球将沿着P点处的切线Pa做离心运动，C正确。
[完美答案] BC
离心现象的三点注意事项
(1)离心现象并不是由于存在离心力而产生的，而是由于物体所受的力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力引起的，是惯性的一种表现形式。
(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。
(3)物体的质量越大、线速度越大(或角速度越大)时，物体做圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。
eq \a\vs4\al([变式训练5]) 如图所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
答案 B
解析 摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将在线速度方向与原圆周运动轨迹之间做离心曲线运动，C、D错误。
A组：合格性水平训练
1．(离心运动的理解)关于离心运动，下列说法中正确的是( )
A．物体一直不受外力作用时，可能做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化便将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或数值变小时将做离心运动
答案 D
解析 物体一直不受外力作用，物体应保持静止状态或匀速直线运动状态，A错误；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力等于向心力，当外界提供的向心力增大时，物体所需的向心力并没有增大，物体将做近心运动，B错误；做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化，物体可能仍做圆周运动，例如变速圆周运动，也可能做近心运动或离心运动，C错误；根据离心运动的条件可知，D正确。
2．(航天器中的失重现象)(多选)航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是( )
A．航天员仍受重力作用
B．航天员受的重力提供其做匀速圆周运动的向心力
C．航天员处于超重状态
D．航天员对座椅的压力为零
答案 ABD
解析 航天飞机在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提供航天飞机绕地球做匀速圆周运动的向心力，航天员的加速度与航天飞机的相同，也是重力提供向心力，即mg＝meq \f(v2,R)，A、B正确；此时航天员不受座椅弹力，即对座椅无压力，处于完全失重状态，D正确，C错误。
3．(竖直平面内的圆周运动)秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千( )
A．在下摆过程中 B．在上摆过程中
C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
答案 D
解析 当秋千摆到最低点时速度最大，由F－mg＝meq \f(v2,l)知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，D正确。
4.(拱形桥问题)在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，如图所示，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是( )
A．玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B．玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小
答案 D
解析 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－FN＝meq \f(v2,R)，即FN＝mg－meq \f(v2,R)
A. eq \r(\f(gRh,L)) B. eq \r(\f(gRh,d))
C. eq \r(\f(gRL,h)) D. eq \r(\f(gRd,h))
答案 B
解析 设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝meq \f(v2,R)，又由数学知识可知tanθ＝eq \f(h,d)，联立解得v＝eq \r(\f(gRh,d))，B正确。
6.(轻绳模型)(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为eq \r(gl)
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
答案 CD
解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝eq \r(gl)，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。
7.(轻绳模型)如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B.eq \r(gR) C.eq \r(2gR) D.eq \r(3gR)
答案 C
解析 由题意知，乘客受到座椅的压力F＝mg，则F＋mg＝2mg＝meq \f(v2,R)，故最高点处速度大小v＝eq \r(2gR)，C正确。
8．(拱形桥问题)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于eq \r(gR)
答案 A
解析 由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝meq \f(v\\al(2,1),R)，解得FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)只在小汽车通过桥顶时成立，而在其上桥过程中不成立，C错误；由mg－FN＝meq \f(v\\al(2,1),R)，FN≥0，解得v1≤eq \r(gR)，D错误。
9.(轻杆模型)如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。小球运动到最高点时速度为v＝eq \r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
A.eq \f(1,2)mg的拉力 B.eq \f(1,2)mg的压力
C．零 D.eq \f(3,2)mg的压力
答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，mg＝meq \f(v′2,R)，解得v′＝eq \r(gL)，而 eq \r(\f(1,2)gL)
答案 2.5 m/s2 2.5×103 N 7.5×103 N
解析 汽车的向心加速度
an＝eq \f(v2,r)＝eq \f(102,40) m/s2＝2.5 m/s2。
汽车的向心力
Fn＝ma＝1.0×103×2.5 N＝2.5×103 N。
在桥的最高点，汽车的向心力由重力和桥的支持力的合力提供，如图所示，Fn＝mg－FN，
则FN＝mg－Fn＝1.0×103×10 N－2.5×103 N＝7.5×103 N，
根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力
F压＝FN＝7.5×103 N。
11．(汽车转弯问题)某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为100 m，一赛车和车手的总质量为100 kg，轮胎与地面间的最大静摩擦力为600 N。(g取10 m/s2)
(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧滑？
(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，赛车的速度多大时，车手感觉不到自己有相对车侧向运动的趋势？
答案 (1)不会侧滑 (2)24 m/s
解析 (1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。赛车做圆周运动所需的向心力为Fn＝meq \f(v\\al(2,0),R)＝400 N<600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑。
(2)由题意得车手不受座椅侧向的摩擦力，于是车手只受支持力和重力，由牛顿第二定律知mgtanθ＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(gRtanθ)≈24 m/s。
B组：等级性水平训练
12.(火车转弯问题)(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压，如图。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
A．减小内外轨的高度差 B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径 D．增大弯道半径
答案 AC
解析 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fn＝mgtanθ＝meq \f(v2,R)，故v＝eq \r(gRtanθ)，若使火车经过弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。
13.(轻杆模型)(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度是eq \r(Rg)
B．小球通过最高点时的最小速度为零
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
答案 BD
解析 圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，故小球通过最高点的最小速度为零，A错误，B正确。小球在水平线ab以下时，合外力必须有指向圆心方向的分力提供向心力，故外侧管壁一定对小球有作用力，C错误，D正确。
14.(轻杆模型)长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕轻杆另一端O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小。(g＝10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s。
答案 (1)16 N (2)44 N
解析 以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，
则有mg＋F＝meq \f(v2,L)。
(1)代入数据v1＝1 m/s，
可得F1＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v\\al(2,1),L)－g))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,0.5)－10)) N＝－16 N，
即A受到杆的支持力为16 N。
根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N。
(2)代入数据v2＝4 m/s，
可得F2＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v\\al(2,2),L)－g))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(42,0.5)－10)) N＝44 N，
即A受到杆的拉力为44 N。
根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N。
相关教案
人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动4 生活中的圆周运动教案设计： 这是一份人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动4 生活中的圆周运动教案设计，共10页。教案主要包含了学习任务，新知探究，课堂小结，素养提升等内容，欢迎下载使用。
高中物理4 生活中的圆周运动教案： 这是一份高中物理4 生活中的圆周运动教案，共5页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。
高中人教版 (2019)4 生活中的圆周运动教案设计： 这是一份高中人教版 (2019)4 生活中的圆周运动教案设计，共2页。教案主要包含了精准讲解，重点，板书等内容，欢迎下载使用。
