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高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试课堂检测
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试课堂检测，共7页。
[体系构建]
[核心速填]
1．开普勒行星运动定律
(1)开普勒第二定律表明，对于同一颗在椭圆轨道上运动的行星，离太阳越近，速度越大．
(2)开普勒第三定律的表达式为eq \f(a3,T2)＝k，表明太阳系八大行星中，离太阳越近的行星，周期越小．
2．万有引力定律
(1)表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2).
(2)适用条件
①质点；②真空中．
3．万有引力理论的成就
(1)计算天体表面的重力加速度：不考虑地球自转，mg＝Geq \f(Mm,R2)，故地球表面的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)，该结论可以推广到其他星球．
(2)计算天体的质量：由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，即已知天体做圆周运动的周期和半径，就可以求出中心天体的质量M.
(3)发现未知天体：如海王星的发现．
4．宇宙航行
(1)第一宇宙速度：数值为7.9 km/s，是发射人造卫星的最小速度，也是卫星绕地球做圆周运动的最大速度．
(2)地球卫星的v、ω、T、a与r的关系．
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，r越大，v越小．
②由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小．
③由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，r越大，T越大．
④由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，r越大，a越小．
1.两个半径——天体半径和卫星轨道半径
(1)天体半径：在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小．
(2)卫星的轨道半径：是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径．
(3)关系：一般情况下，天体卫星的轨道半径总大于该天体的半径．当卫星贴近天体表面运动时，可近似认为轨道半径等于天体半径．
2．三种速度——运行速度、发射速度和宇宙速度
三种速度的比较，见下表：
3.两种周期——自转周期和公转周期
(1)自转周期：是天体绕自身某轴线转动一周所用的时间，取决于天体自身转动的快慢．
(2)公转周期：是天体绕中心天体做圆周运动一周的时间，由eq \f(GMm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离，与运行天体自身质量无关．
(3)联系：一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天．它们之间没有直接联系，在应用中要注意区别．
4．两种轨道——圆形轨道和椭圆轨道
(1)圆形轨道：卫星沿圆形轨道运行时，万有引力全部用来产生向心加速度．卫星的加速度、向心加速度相同，可由Geq \f(Mm,r2)＝ma得到．
(2)椭圆轨道：卫星沿椭圆轨道运行时，万有引力一方面改变卫星运行速度的方向，另一方面改变卫星运行的速度大小．由Geq \f(Mm,r2)＝ma得到的是卫星运行的合加速度，而非卫星的向心加速度．
5．两类运行——稳定运行和变轨运行
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力．由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r)).由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小．
(2)变轨运行
①制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即Geq \f(Mm,r2)＞meq \f(v2,r)，卫星做向心运动，轨道半径将变小，所以要使卫星的轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动．
②加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即Geq \f(Mm,r2)＜meq \f(v2,r)，卫星做离心运动，轨道半径将变大，所以要使卫星的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．
【例1】 为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
C [设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒定律，eq \f(T\\al(2,P),T\\al(2,Q))＝eq \f(R\\al(3,P),R\\al(3,Q))＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，故选C正确．]
1．(多选)2020年，中国长征火箭家族将迎来一位新成员——长征八号运载火箭．长征八号的成功研究更加有利于开展空间科学技术试验研究，包括研究日地空间、行星际空间、恒星空间环境的物理、化学特性及其演化过程；研究天体的结构特性及其形成和演化过程．现假设探测到两个未命名行星A、B，已知行星A、B的密度相等，下列说法正确的是( )
A．行星A的近地卫星的周期与行星B的近地卫星的周期相等
B．行星A的同步卫星的线速度与行星B的同步卫星的线速度相等
C．行星A、B表面的重力加速度与行星半径的比值相等
D．行星A的第一宇宙速度与行星B的第一宇宙速度相等
AC [根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，M＝eq \f(4,3)πR3ρ，解得T＝eq \r(\f(3π,Gρ))，则行星A的近地卫星的周期与行星B的近地卫星的周期相等，选项A正确；根据v＝eq \r(\f(GM,r))＝eq \r(\f(\f(4,3)πGR3ρ,r))因两颗行星的半径及同步卫星的高度不同，则同步卫星的线速度不同，选项B错误；根据Geq \f(Mm,R2)＝mg
解得eq \f(g,R)＝eq \f(GM,R3)＝eq \f(\f(4,3)πR3ρG,R3)＝eq \f(4,3)πρG，选项C正确；根据第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(\f(4,3)πGR3ρ,R))＝Req \r(\f(4,3)πρG)，则两行星的第一宇宙速度不同，选项D错误；故选A、C.]
1．双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星．
2．双星问题的特点
(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(2)两星的运动周期、角速度相同．
(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.
3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2.
由此得出：
(1)轨道半径之比与双星质量之比相反：eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1).
(2)线速度之比与双星质量之比相反：eq \f(v1,v2)＝eq \f(m2,m1).
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和
m1＋m2＝eq \f(4π2L3,GT2).
【例2】 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起．如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的( )
A．质量之比mA∶mB＝2∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C．线速度大小之比vA∶vB＝2∶1
D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
A [双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，F＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，选项A正确，B、D错误；由v＝ωr可知，线速度大小之比vA∶vB＝1∶2，选项C错误．]
2．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的eq \f(1,7)
B．角速度大小约为卡戎的eq \f(1,7)
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
A [冥王星与卡戎间的引力提供它们运动的向心力，向心力相等，D项错；双星系统角速度相等，B项错．
设冥王星的质量为M，轨道半径为r1，卡戎星的质量为m，轨道半径为r2，两星间距离为r.
对于冥王星：eq \f(GMm,r2)＝Mω2r1①
对于卡戎星：eq \f(GMm,r2)＝mω2r2②
由①÷②可得：eq \f(r1,r2)＝eq \f(m,M)＝eq \f(1,7)，所以，A项对．
线速度v＝ωr，同样可推知C项错．]
天体运动中易混概念的比较
比较项
概念
大小
影响因素
运行速度
卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度
v＝eq \r(\f(GM,r))
轨道半径r越大，v越小
发射速度
在地面上发射卫星的速度
大于或等于
7．9 km/s
卫星的发射高度越高，发射速度越大
宇宙速度
实现某种效果所需的最小卫星发射速度
7.9 km/s
11．2 km/s
16．7 km/s
不同卫星发射要求决定
双星模型
[体系构建]
[核心速填]
1．开普勒行星运动定律
(1)开普勒第二定律表明，对于同一颗在椭圆轨道上运动的行星，离太阳越近，速度越大．
(2)开普勒第三定律的表达式为eq \f(a3,T2)＝k，表明太阳系八大行星中，离太阳越近的行星，周期越小．
2．万有引力定律
(1)表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2).
(2)适用条件
①质点；②真空中．
3．万有引力理论的成就
(1)计算天体表面的重力加速度：不考虑地球自转，mg＝Geq \f(Mm,R2)，故地球表面的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)，该结论可以推广到其他星球．
(2)计算天体的质量：由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，即已知天体做圆周运动的周期和半径，就可以求出中心天体的质量M.
(3)发现未知天体：如海王星的发现．
4．宇宙航行
(1)第一宇宙速度：数值为7.9 km/s，是发射人造卫星的最小速度，也是卫星绕地球做圆周运动的最大速度．
(2)地球卫星的v、ω、T、a与r的关系．
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，r越大，v越小．
②由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小．
③由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，r越大，T越大．
④由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，r越大，a越小．
1.两个半径——天体半径和卫星轨道半径
(1)天体半径：在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小．
(2)卫星的轨道半径：是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径．
(3)关系：一般情况下，天体卫星的轨道半径总大于该天体的半径．当卫星贴近天体表面运动时，可近似认为轨道半径等于天体半径．
2．三种速度——运行速度、发射速度和宇宙速度
三种速度的比较，见下表：
3.两种周期——自转周期和公转周期
(1)自转周期：是天体绕自身某轴线转动一周所用的时间，取决于天体自身转动的快慢．
(2)公转周期：是天体绕中心天体做圆周运动一周的时间，由eq \f(GMm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离，与运行天体自身质量无关．
(3)联系：一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天．它们之间没有直接联系，在应用中要注意区别．
4．两种轨道——圆形轨道和椭圆轨道
(1)圆形轨道：卫星沿圆形轨道运行时，万有引力全部用来产生向心加速度．卫星的加速度、向心加速度相同，可由Geq \f(Mm,r2)＝ma得到．
(2)椭圆轨道：卫星沿椭圆轨道运行时，万有引力一方面改变卫星运行速度的方向，另一方面改变卫星运行的速度大小．由Geq \f(Mm,r2)＝ma得到的是卫星运行的合加速度，而非卫星的向心加速度．
5．两类运行——稳定运行和变轨运行
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力．由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r)).由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小．
(2)变轨运行
①制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即Geq \f(Mm,r2)＞meq \f(v2,r)，卫星做向心运动，轨道半径将变小，所以要使卫星的轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动．
②加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即Geq \f(Mm,r2)＜meq \f(v2,r)，卫星做离心运动，轨道半径将变大，所以要使卫星的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．
【例1】 为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
C [设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒定律，eq \f(T\\al(2,P),T\\al(2,Q))＝eq \f(R\\al(3,P),R\\al(3,Q))＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，故选C正确．]
1．(多选)2020年，中国长征火箭家族将迎来一位新成员——长征八号运载火箭．长征八号的成功研究更加有利于开展空间科学技术试验研究，包括研究日地空间、行星际空间、恒星空间环境的物理、化学特性及其演化过程；研究天体的结构特性及其形成和演化过程．现假设探测到两个未命名行星A、B，已知行星A、B的密度相等，下列说法正确的是( )
A．行星A的近地卫星的周期与行星B的近地卫星的周期相等
B．行星A的同步卫星的线速度与行星B的同步卫星的线速度相等
C．行星A、B表面的重力加速度与行星半径的比值相等
D．行星A的第一宇宙速度与行星B的第一宇宙速度相等
AC [根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，M＝eq \f(4,3)πR3ρ，解得T＝eq \r(\f(3π,Gρ))，则行星A的近地卫星的周期与行星B的近地卫星的周期相等，选项A正确；根据v＝eq \r(\f(GM,r))＝eq \r(\f(\f(4,3)πGR3ρ,r))因两颗行星的半径及同步卫星的高度不同，则同步卫星的线速度不同，选项B错误；根据Geq \f(Mm,R2)＝mg
解得eq \f(g,R)＝eq \f(GM,R3)＝eq \f(\f(4,3)πR3ρG,R3)＝eq \f(4,3)πρG，选项C正确；根据第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(\f(4,3)πGR3ρ,R))＝Req \r(\f(4,3)πρG)，则两行星的第一宇宙速度不同，选项D错误；故选A、C.]
1．双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星．
2．双星问题的特点
(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(2)两星的运动周期、角速度相同．
(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.
3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2.
由此得出：
(1)轨道半径之比与双星质量之比相反：eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1).
(2)线速度之比与双星质量之比相反：eq \f(v1,v2)＝eq \f(m2,m1).
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和
m1＋m2＝eq \f(4π2L3,GT2).
【例2】 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起．如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的( )
A．质量之比mA∶mB＝2∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C．线速度大小之比vA∶vB＝2∶1
D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
A [双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，F＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，选项A正确，B、D错误；由v＝ωr可知，线速度大小之比vA∶vB＝1∶2，选项C错误．]
2．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的eq \f(1,7)
B．角速度大小约为卡戎的eq \f(1,7)
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
A [冥王星与卡戎间的引力提供它们运动的向心力，向心力相等，D项错；双星系统角速度相等，B项错．
设冥王星的质量为M，轨道半径为r1，卡戎星的质量为m，轨道半径为r2，两星间距离为r.
对于冥王星：eq \f(GMm,r2)＝Mω2r1①
对于卡戎星：eq \f(GMm,r2)＝mω2r2②
由①÷②可得：eq \f(r1,r2)＝eq \f(m,M)＝eq \f(1,7)，所以，A项对．
线速度v＝ωr，同样可推知C项错．]
天体运动中易混概念的比较
比较项
概念
大小
影响因素
运行速度
卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度
v＝eq \r(\f(GM,r))
轨道半径r越大，v越小
发射速度
在地面上发射卫星的速度
大于或等于
7．9 km/s
卫星的发射高度越高，发射速度越大
宇宙速度
实现某种效果所需的最小卫星发射速度
7.9 km/s
11．2 km/s
16．7 km/s
不同卫星发射要求决定
双星模型
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