高中物理第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试导学案

物理观念:能了解万有引力定律的内涵,会计算人造卫星的环绕速度,知道第二宇宙速度和第三宇宙速度;能用万有引力定律解释一些天体运动问题;具有与万有引力定律相关的运动与相互作用的观念。

科学思维:能将一些熟悉的天体运动抽象成匀速圆周运动模型;能分析一些简单的天体运动问题,通过推理获得结论;能用与万有引力定律相关的证据解释一些天象;能对一些错误认识提出有依据的质疑。

科学探究:能了解卡文迪什实验的重要性,并能提出问题;能体会卡文迪什扭秤实验方案设计的巧妙之处,能感受到科学定律的预测作用;能认识到测定物理常量在科学研究中的重要性;能撰写与万有引力定律相关的调研报告,能与同学交流。

科学态度与责任:能认识发现万有引力定律的过程及重要重义,认识科学定律对人类探索未知世界的作用;知道科学包含大胆的想象和创新;有探索太空、了解太空的兴趣,能为牛顿力学对航天技术发展的重大贡献而振奋。

1.行星的运动

[课标引领]

一、地心说与日心说

二、开普勒定律

行星绕太阳运动的轨道如图所示,行星绕太阳运动的轨道是圆吗?

答案:不是,是椭圆。

1.三大定律

2.行星运动的近似处理

行星的轨道与圆十分接近,在中学阶段的研究中可按圆轨道处理,则开普勒三定律可以近似表述为:

1.判断

(1)宇宙的中心是太阳,所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。(　×　)

(2)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动。(　×　)

(3)在中学阶段可认为地球围绕太阳做圆周运动。(　√　)

2.某同学认为尽管太阳系里所有的行星和行星的卫星环绕的轨道各不相同,但其椭圆轨道半长轴a的三次方跟它公转周期T的二次方之比等于同一个常量k。你认为对吗?

答案:不对,常量k仅与中心天体有关,而与环绕天体无关,中心天体不同的系统k值不同。

探究点　对开普勒行星运动定律的理解及应用

(1)如图所示是地球绕太阳公转及四季的示意图,由图可知地球在春分日、夏至日、秋分日和冬至日四天中哪一天绕太阳运动的速度最大?哪一天绕太阳运动的速度最小?

答案:冬至日;夏至日。由题图可知,冬至日地球在近日点附近,夏至日在远日点附近,由开普勒第二定律可知,冬至日地球绕太阳运动的速度最大,夏至日地球绕太阳运动的速度最小。

(2)如图所示是“金星凌日”的示意图,观察图中地球、金星的位置,地球和金星哪一个的公转周期更长?

答案:地球。由题图可知,地球到太阳的距离大于金星到太阳的距离,根据开普勒第三定律可得,地球的公转周期更长一些。

1.开普勒第一定律解决了行星的轨道问题

行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,如图(甲)所示。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的,太阳处在椭圆的一个焦点上,如图(乙)所示,即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。因此开普勒第一定律又叫轨道定律。

2.开普勒第二定律解决了行星绕太阳运动的速度大小问题

(1)如图所示,如果时间间隔相等,由开普勒第二定律知,行星与太阳的连线扫过的面积SA=SB,因此开普勒第二定律又叫面积定律。可见离太阳越近,行星在相等时间内经过的弧长越长,即行星的速率越大。

(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点。同一行星在近日点速度最大,在远日点速度最小。

3.开普勒第三定律解决了行星周期的长短问题

(1)如图所示,由=k知椭圆轨道半长轴越长的行星,其公转周期越长,因此开普勒第三定律又叫周期定律。常量k与行星无关,只与太阳

有关。

(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动,也适用于卫星绕地球的运动,其中常量k与卫星无关,只与地球有关,也就是说k值大小由中心天体决定。

命题角度1　对开普勒三定律的认识

[例1] 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知(　C　)

A.太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

解析:太阳位于木星运行轨道的焦点位置,选项A错误;根据开普勒第二定律可知,对每一个行星而言,太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等,行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化,不能直接比较火星和木星的运行速度的大小,选项B、D错误;根据开普勒第三定律可知,木星与火星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方,选项C正确。

命题角度2　开普勒三定律的应用

[例2] 某火箭将一个太空探测器发射到太空。太空探测器正在远离地球,处于一个环绕太阳的椭圆形轨道上,如图所示。远日点距离太阳大约为3.9亿千米,地球和太阳之间的平均距离约为1.5亿千米。太空探测器的环绕运动周期为(可能用到的数据:=2.236,=

2.47)(　B　)

A.约18个月 B.约29个月

C.约36个月 D.约40个月

解析:探测器运行轨道的半长轴R探测器= 亿千米=2.7亿千米,地球的公转周期为12个月,由开普勒第三定律有 =,解得

T探测器≈29个月,故A、C、D错误,B正确。

(4)绕同一中心天体运动的轨道分别为椭圆、圆的天体,k值相等,即==k。

[题组训练]

1.如图,O表示地球,P表示一个绕地球沿椭圆轨道做逆时针方向运动的人造卫星,AB为长轴,CD为短轴。在卫星绕地球运动一周的时间内,从A到B的时间为tAB,同理从B到A、从C到D、从D到C的时间分别为tBA、tCD、tDC。下列关系式正确的是(　D　)

A.tBA>tAB B.tBA<tAB 

C.tCD>tDC D.tCD<tDC

解析:由卫星做椭圆运动的对称性得tAB=tBA,故A、B错误;由开普勒第二定律可知,卫星在近地点时运动快,在远地点时运动慢,所以 tCD<tDC,故C错误,D正确。

2.飞船沿半径为R的圆周绕地球运动,其周期为T。如果飞船要返回地面,可在轨道上某点A处,将速率降低到适当数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动,椭圆轨道和地球表面在B点相切,如图所示。如果地球半径为R0,求飞船由A点运动到B点所需要的时间。

审题指导

解析:飞船沿椭圆轨道返回地面,由题图可知,飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半,椭圆轨道的半长轴为,设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′,根据开普勒第三定律有

=

解得T′=T=

所以飞船由A点到B点所需要的时间为t==。

答案:

1.(多选) 关于开普勒行星运动定律的公式 =k,以下理解正确的是(　AD　)

A.k是一个与行星质量无关的量

B.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a地,周期为T地;月球绕地球运转轨道的半长轴为a月,周期为T月,则=

C.T表示行星运动的自转周期

D.T表示行星运动的公转周期

解析:k是一个与行星无关的常量,与恒星的质量有关,故A正确;公式=k中的k与中心天体质量有关,中心天体不一样,k值不一样;地球公转的中心天体是太阳,月球公转的中心天体是地球,k值不一样,故B错误;T代表行星运动的公转周期,故C错误,D正确。

2.关于行星绕太阳运动的下列说法正确的是(　C　)

A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B.行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处

C.离太阳越近的行星运动周期越短

D.所有行星的轨道的半长轴的二次方跟它的公转周期的三次方的比值都相等

解析:根据开普勒第一定律可知,所有行星都在不同的椭圆轨道上绕太阳运动,太阳位于椭圆的焦点上,A、B错误;根据开普勒第三定律,所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等,则离太阳越近的行星运动周期越短,C正确,D错误。

3.某人造地球卫星绕地球运行的椭圆轨道如图所示,F1和F2是椭圆轨道的两个焦点,卫星在A点的速率比在B点的大,则地球位于(　A　)

A.F2 B.O C.F1 D.B

解析:根据开普勒第二定律,地球和卫星的连线在相等的时间内扫过的面积相等,因为卫星在A点的速率比在B点的速率大,所以地球位于F2,故选A。

4.某科幻电影中,为了让地球逃离太阳系,人们在地球上建造特大功率发动机,使地球完成一系列变轨操作。地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨,进入椭圆轨道Ⅱ。在椭圆轨道Ⅱ上运行到B点……最终摆脱太阳束缚。对于该逃离过程,下列轨道示意图可能正确的是(　A　)

解析:根据开普勒第一定律可得,太阳在椭圆轨道的一个焦点上,由题意可知B点是椭圆轨道的远日点,地球在做离心运动。A正确,B、C、D错误。

5.如图所示,某行星沿椭圆轨道运行,远日点离太阳的距离为a,近日点离太阳的距离为b,过远日点时行星的速率为va,则过近日点时的速率vb为(　C　)

A.vb=va B.vb=va

C.vb=va D.vb=va

解析:若行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A′点,则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形,其面积SA=;若行星从轨道的B点也经时间t运动到B′点,则与太阳的连线扫过的面积 SB=;根据开普勒第二定律得=,即vb=va,C正确。

6.如图所示是“九星连珠”的示意图。若太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道,地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米,结合下表可知,火星与太阳之间的平均距离约为(　B　)

A.1.2亿千米 B.2.3亿千米

C.4.6亿千米 D.6.9亿千米

解析:由表可知T地=1.0 年,T火=1.88年,由=得r火=≈2.3亿千米,故B正确。

7.(多选)在天文学上,春分、夏至、秋分、冬至将一年分为春、夏、秋、冬四季。如图所示,从地球绕太阳的运动规律入手,下列判断正确的是(　AD　)

A.在冬至日前后,地球绕太阳的运行速率较大

B.在夏至日前后,地球绕太阳的运行速率较大

C.春夏两季与秋冬两季时间相等

D.春夏两季比秋冬两季时间长

解析:冬至日前后,地球位于近日点附近,夏至日前后,地球位于远日点附近,由开普勒第二定律可知地球在近日点速率最大,选项A正确,B错误;春、夏两季平均速率比秋、冬两季平均速率小,又因所走路程基本相等,故春、夏两季时间长,选项C错误,D正确。

8.位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜,通过FAST可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时,测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面,则可知木星的公转周期为(　A　)

A.(1+k2)年 B.(1+k2)年

C.(1+k2)年 D.年

解析:太阳、地球、木星的位置关系如图所示,设地球与太阳的距离为R1,木星与太阳的距离为R2,由地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍可得=+(kR1)2,由开普勒第三定律得=,地球公转周期为一年,得T2=(1+k2年,故B、C、D错误,A正确。

9.土星直径为119 300 km,是太阳系统中第二大行星,自转周期只需10 h 39 min,公转周期为29.4年,距离太阳1.432×109 km。土星最引人注目的是绕着其赤道的巨大光环。在地球上人们只需要一架小型望远镜就能清楚地看到光环,环的外沿直径约为274 000 km。请由上面提供的信息,估算地球距太阳有多远。(保留三位有效数字)

解析:土星和地球均绕太阳运动,中心天体相同,根据开普勒第三定律有=,其中T地=1年,T土=29.4年,R土=1.432×109 km,代入数据得R地≈1.49×108 km。

答案:1.49×108 km