2024年高中物理新教材同步学案 必修第二册 第7章 专题强化　天体运动的分析与计算 (含解析)

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专题强化　天体运动的分析与计算[学习目标]　1.掌握处理星体绕中心天体做圆周运动的基本思路(重点)。2.掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系(重难点)。3.会分析天体运动中的“最远”和“最近”问题(重难点)。一、天体运动参量的分析与计算1．一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r。2．根据1中的关系式推导向心加速度大小an、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系。eq \f(GMm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(man→an＝\f(GM,r2)→an∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))一定四定，越高越慢(选填“快”或“慢”)。3．忽略地球自转时，mg＝Geq \f(Mm,R2)，整理可得：GM＝gR2，当GM未知时，可用gR2替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”。1．在同一圆轨道上运行的不同卫星，它们的v、ω、T、an有何特点？答案　卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小。2．同一轨道上的同向绕行的两卫星是否有可能相撞？答案　不可能。同一轨道上同向绕行的两卫星，线速度大小相等，相对静止，故不可能相撞。例1　(2022·通化市高一期末)如图所示，是在同一轨道平面上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动。关于各物理量的关系，下列说法不正确的是(　　)A．线速度大小vA>vB>vCB．周期TA>TB>TCC．向心加速度大小aA>aB>aCD．角速度ωA>ωB>ωC答案　B解析　由题意可得eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)＝meq \f(4π2,T2)R＝mω2R＝ma，则a＝eq \f(GM,R2)，v＝eq \r(\f(GM,R))，ω＝eq \r(\f(GM,R3))，T＝eq \r(\f(4π2R3,GM))，由题图可知RAvB>vC，aA>aB>aC，ωA>ωB>ωC，故选B。例2　(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)A．轨道周长之比为2∶3B．线速度大小之比为eq \r(3)∶eq \r(2)C．角速度大小之比为2eq \r(2)∶3eq \r(3)D．向心加速度大小之比为9∶4答案　C解析　轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，则eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(r地,r火))＝eq \f(\r(2),\r(3))，故B错误；由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，则eq \f(ω火,ω地)＝eq \r(\f(r地3,r火3))＝eq \f(2\r(2),3\r(3))，故C正确；由eq \f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，则eq \f(a火,a地)＝eq \f(r地2,r火2)＝eq \f(4,9)，故D错误。例3　2021年4月29日，天和核心舱的成功发射标志着中国空间站建设拉开了帷幕。若空间站质量为m，空间站距地面高度为h，地球半径为R，引力常量为G。地球表面重力加速度为g，求：(1)空间站受地球引力大小；(2)空间站环绕地球运行的周期；(3)空间站环绕地球运行的向心加速度大小。答案　(1)eq \f(gR2m,R＋h2)　(2)2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))　(3)eq \f(gR2,R＋h2)解析　(1)设地球质量为M，空间站受地球引力大小为F＝eq \f(GMm,R＋h2)，在地球表面有Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得GM＝gR2，所以F＝eq \f(gR2m,R＋h2)(2)由万有引力提供向心力得eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2h＋R,T2)；解得T＝2πeq \r(\f(R＋h3,GM))，又GM＝gR2，代入上式得T＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))(3)由万有引力提供向心力得eq \f(GMm,R＋h2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,R＋h2)，又GM＝gR2代入上式得：a＝eq \f(gR2,R＋h2)。二、卫星相距“最近”“最远”问题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示。根据上面信息回答下列问题：1.当两卫星第一次相距最远时，a比b多走半圈，如图所示。它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π，第二次：ωaΔt－ωbΔt＝2π＋π。故第n次两卫星相距最远的条件：ωat－ωbt＝eq \f(2π,T1)t－eq \f(2π,T2)t＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)。2．当两卫星再次(第一次)相距最近时，它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。第二次：ωaΔt－ωbΔt＝4π。第n次两卫星相距最近的条件：ωat－ωbt＝eq \f(2π,T1)t－eq \f(2π,T2)t＝2nπ(n＝1,2,3…)。例4　(2022·木渎高级中学高一期中)2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。(1)求飞船离地面的高度h；(2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？答案　(1)eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R　(2)eq \f(8＋2\r(2),7)T解析　(1)飞船绕地球沿圆轨道运行，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)；在地球表面，根据万有引力近似等于重力有Geq \f(Mm′,R2)＝m′g，解得飞船离地面的高度为h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R。(2)根据开普勒第三定律有eq \f(rA3,TA2)＝eq \f(rB3,T2)，又rA＝2rB，解得TA＝2eq \r(2)T，设经过t时间它们再一次相距最近，则有eq \f(2π,T)t－eq \f(2π,TA)t＝2π，解得t＝eq \f(8＋2\r(2),7)T。专题强化练1．(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　)A．质量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的万有引力大小答案　C解析　根据Geq \f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq \f(GM,r2)，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及所受地球的万有引力大小均不相同，故选C。2．(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是(　　)A．火星公转的线速度比地球的大B．火星公转的角速度比地球的大C．火星公转的半径比地球的小D．火星公转的加速度比地球的小答案　D解析　由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))，结合C选项解析，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝eq \f(2π,T)可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq \f(GM,r2)，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。3．(多选)(2022·通榆一中高一期末)北京时间2022年6月5日，“神舟十四号”载人飞船进入预定轨道，飞行组状态良好，发射取得圆满成功。飞船把3位航天员送入空间站“天和”核心舱，该核心舱运行的轨道可视为圆形，其运动半径为地球半径的k倍，已知地球的质量为M ，半径为 R ，引力常量为 G ，则(　　)A．核心舱绕地球运动的线速度大小为eq \f(GM,kR)B．核心舱绕地球运动的线速度大小为eq \r(\f(GM,kR))C．核心舱绕地球运动的周期为eq \r(\f(4π2k3R3,GM))D．核心舱绕地球运动的周期为eq \r(\f(k3R3,4π2GM))答案　BC解析　空间站“天和”核心舱运行的轨道可视为圆形，万有引力提供向心力，由Geq \f(Mm,kR2)＝meq \f(v2,kR)得核心舱绕地球运动的线速度大小为v＝eq \r(\f(GM,kR))，A错误，B正确；由Geq \f(Mm,kR2)＝m(eq \f(2π,T))2kR得核心舱绕地球运动的周期为T＝eq \r(\f(4π2k3R3,GM))，C正确，D错误。4．(多选)据报道，在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，它绕恒星橙矮星运行，被命名为“开普勒438b”。假设该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳质量的q倍。则该行星与地球的(　　)A．轨道半径之比为eq \r(3,p2q)B．轨道半径之比为eq \r(3,p2)C．线速度大小之比为eq \r(3,\f(q,p))D．线速度大小之比为eq \f(1,p)答案　AC解析　行星公转的向心力由万有引力提供，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，则该行星与地球的轨道半径之比为eq \f(r行,r地)＝eq \r(3,\f(M矮,M太)·\f(T行2,T地2))＝eq \r(3,qp2)，故A正确，B错误；根据v＝eq \f(2πR,T)，有eq \f(v行,v地)＝eq \f(r行,r地)·eq \f(T地,T行)＝eq \r(3,\f(q,p))，故C正确，D错误。5．(2022·长春市高一阶段练习)木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中木卫一、木卫二、木卫三的公转周期之比约为1∶2∶4。设三颗卫星各自仅受木星引力作用，且运行轨道均为圆周。关于这三颗卫星，下列说法正确的是(　　)A．木卫一是三颗卫星中运行速率最大的B．木卫三是三颗卫星中运行角速度最大的C．木卫一和木卫二的线速度大小之比约为1∶2D．木卫一和木卫三的轨道半径之比约为8∶1答案　A解析　根据ω＝eq \f(2π,T)，又T1∶T2∶T3＝1∶2∶4，联立，可得ω1∶ω2∶ω3＝4∶2∶1，可知，木卫三是三颗卫星中运行角速度最小的，故B错误；卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可得eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，根据T1∶T2∶T3＝1∶2∶4，可得木卫一、木卫二和木卫三的轨道半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶eq \r(3,4)∶2eq \r(3,2)，故D错误；根据v＝eq \f(2πr,T)，可得v1∶v2∶v3＝2∶eq \r(3,4)∶eq \r(3,2)，故A正确，C错误。6．(2022·河北卷)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为(　　)A．2eq \r(2) B．2 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)答案　C解析　地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和公转都是由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得公转的线速度大小为v＝eq \r(\f(GM,r))，其中中心天体的质量之比为2∶1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为eq \r(2)，故选C。7.如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)A．甲的向心加速度比乙的小B．甲的运行周期比乙的小C．甲的角速度比乙的大D．甲的线速度比乙的大答案　A解析　甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力。由牛顿第二定律有Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(4π2,T2)r＝mω2r＝meq \f(v2,r)，可得an＝eq \f(GM,r2)，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，v＝eq \r(\f(GM,r))。由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故选A。8．(2023·安徽高一校联考)神舟十四号载人飞船于2022年6月5日成功发射并按照预定程序与空间站进行自主快速交会对接。若空间站在距地面高度为h＝400 km的近地圆轨道运行，另一卫星A在距地面高度为H＝7 200 km圆轨道运行，地球半径为R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g，则(　　)A．空间站的向心加速度大小为eq \f(1,16)gB．空间站的周期与卫星A的周期之比为1∶eq \r(8)C．空间站的向心加速度与卫星A的向心加速度大小之比为2∶1D．空间站的线速度与卫星A的线速度大小之比为2∶1答案　B解析　万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，有Geq \f(Mm,R＋h2)＝ma，解得：a＝eq \f(GM,R＋h2)，地球表面重力加速度g＝eq \f(GM,R2)，解得a＝(eq \f(16,17))2g＝eq \f(256,289)g，A错误；由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，a＝eq \f(GM,r2)，v＝eq \r(\f(GM,r))，可得，eq \f(T′,TA)＝eq \r(\f(R＋h3,R＋H3))＝eq \f(1,\r(8))，eq \f(a,aA)＝eq \f(R＋H2,R＋h2)＝eq \f(4,1)，eq \f(v′,vA)＝eq \r(\f(R＋H,R＋h))＝eq \f(\r(2),1)，B正确，C、D错误。9．(2023·连云港市统考期末)2022年11月1日，梦天实验舱成功对接天和核心舱前向端口，标志中国空间站可以根据需要扩展规模。若中国空间站离地面高度为h，地球半径为R，地表重力加速度为g，引力常量为G，轨道可视为圆周，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是(　　)A．中国空间站不受重力作用B．根据题知条件，不能够求出中国空间站绕地球飞行的周期C．根据题知条件，可以求出地球的质量为eq \f(gR＋h2,G)D．根据题知条件，中国空间站的线速度的大小为eq \r(\f(gR2,R＋h))答案　D解析　中国空间站绕地球做圆周运动，处于完全失重状态，但仍然受地球吸引力即重力作用，故A错误；设地球质量为M，在地球表面，根据Geq \f(Mm,R2)＝mg，可得地球的质量M＝eq \f(gR2,G)，故C错误；根据万有引力提供向心力可得Geq \f(Mm′,R＋h2)＝m′eq \f(v2,R＋h)＝m′eq \f(4π2,T2)(R＋h)，解得中国空间站的线速度的大小v＝eq \r(\f(gR2,R＋h))，中国空间站绕地球飞行的周期T＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))，故D正确，B错误。10．设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造地球卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r<5R，运行方向与地球的自转方向相同，在某时刻，该人造地球卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为(地球静止轨道卫星轨道半径约为7R)(　　)A．2π(eq \r(\f(gR2,r3))－ω0) B.eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))＋ω0)C．2πeq \r(\f(r3,gR2)) D.eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)答案　D解析　根据Geq \f(Mm,r2)＝mω2r知ω＝eq \r(\f(GM,r3))，轨道半径越大，卫星运行角速度越小，而地球静止轨道卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同，且地球静止轨道卫星的轨道半径约为7R，人造地球卫星的轨道半径r<5R，故该人造地球卫星运行的角速度比地球上建筑物随地球转动的角速度大，因此再次出现在该建筑物正上方时，说明卫星已经比建筑物多转动了一圈，故θ卫－θ地＝2π，θ卫＝ω1t，θ地＝ω0t，根据eq \f(GMm,R2)＝mg，可得GM＝gR2，联立得t＝eq \f(2π,ω1－ω0)＝eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)，故D项正确。11．a、b两颗卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：(1)a、b两颗卫星周期分别是多少；(2)a、b两颗卫星线速度大小之比是多少；(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？答案　(1)2πeq \r(\f(R,g))　16πeq \r(\f(R,g))　(2)2　(3)eq \f(8π,7)eq \r(\f(R,g))解析　(1)卫星做匀速圆周运动，F引＝F向，对地面上质量为m0的物体有Geq \f(Mm0,R2)＝m0g，对a卫星有eq \f(GMma,R2)＝maeq \f(4π2,Ta2)R，解得Ta＝2πeq \r(\f(R,g))对b卫星有eq \f(GMmb,4R2)＝mbeq \f(4π2,Tb2)·4R，解得Tb＝16πeq \r(\f(R,g))(2)卫星做匀速圆周运动，F引＝F向，对a卫星有eq \f(GMma,R2)＝eq \f(mava2,R)，解得va＝eq \r(\f(GM,R))，对b卫星有Geq \f(Mmb,4R2)＝mbeq \f(vb2,4R)，解得vb＝eq \r(\f(GM,4R))，所以eq \f(va,vb)＝2(3)由题可知，eq \f(2π,Ta)t－eq \f(2π,Tb)t＝π，解得t＝eq \f(8π,7)eq \r(\f(R,g))。12.(2022·山东卷)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为(　　)A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 答案　C解析　地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律有eq \f(GMm,R2)＝mg，可得GM＝gR2，根据题意可知，卫星的运行周期为T′＝eq \f(T,n)，根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有eq \f(GMm′,R＋h2)＝m′eq \f(4π2,T′2)(R＋h)；联立以上式子解得h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4n2π2))－R，故选C。