专题01 解三角形（单选题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题01 解三角形（单选题）
1．在直角中，，点在边上，，．且的面积为8，则（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020届高三（5月份）数学（理科）模拟试题
【答案】B
【分析】本题首先可以根据得出，然后根据得出以及，再然后根据得出，最后根据是直线三角形即可得出结果．
【解析】因为．
所以，，
所以，
所以，，
因为是直角三角形，所以，故选B．
【名师点睛】本题考查解三角形相关公式的灵活应用，考查正弦定理、余弦定理以及三角函数的诱导公式，考查的公式有、以及，考查化归与转化思想，是中档题．
2．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，．且， 则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科
【答案】C
【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小．根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围．
【解析】依题意，由正弦定理得，
所以，，由于三角形是锐角三角形，所以．
由．所以
，
由于，所以，
所以．故选C
【名师点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，两角差的正弦公式，属于中档题．
3．设中角，，所对的边分别为，，，下列式子一定成立的是（ ）．
A．
B．
C．．
D．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期适应性月考（二）
【答案】C
【分析】A项不妨令，可判断错误；B项由余弦定理判断错误；C先采用边化角得，再结合同角三角函数代换关系将正弦化余弦可求证；D项结合角化边得，再结合余弦定理两式代换可判断错误
【解析】对A，令，可判断等式不成立，故A错误；
对B，由余弦定理可得，故B错误；
对于C选项，由可得，
即，
整理得，移项可得C选项，故C正确；
对于D选项，由，有，，而，
可得，故D错误，故选C．
【名师点睛】本题考查由正弦定理和余弦定理进行公式推导证明，考查了数学运算的核心素养，属于中档题
4．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）
A．9 B．
C． D．
【试题来源】山西省运城市2021届高三上学期9月调研（理）
【答案】C
【分析】先根据题意得，，进而得，，，，，进而得，，故，再根据为线段上的点得，最后结合基本不等式求解即可得答案．
【解析】因为，所以，因为的面积为，所以，
所以，所以，，，
由于，所以，所以，
所以由余弦定理得：，即．
所以，
因为为线段上的点（点不与点，点重合），
所以，根据题意得 ，所以
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以．故选C．
【名师点睛】本题考查基本不等式求最值，正余弦定理解三角形，平面向量的数量积运算与共线定理得推理，考查综合分析与处理问题能力，是难题．
5．在中，，，则的外接圆半径为（ ）
A．30 B．
C．20 D．15
【试题来源】天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理）
【答案】D
【分析】结合已知条件，由正弦定理即可求的外接圆半径．
【解析】若外接圆半径为，由正弦定理知：，
所以，故选D
【名师点睛】本题考查了正弦定理，由结合已知边角求外接圆半径，属简单题．
6．已知在中，角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理）
【答案】B
【分析】根据题中条件，由余弦定理，可直接得出结果．
【解析】因为，
由余弦定理可得，．故选B．
【名师点睛】本题主要考查由余弦定理进行边角互化，属于基础题型．
7．已知在中，角，，的对边分别为，，，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理）
【答案】A
【分析】根据题中条件，由正弦定理，可直接得出结果．
【解析】由得，
又，由正弦定理可得，则．故选A．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型．
8．周长为9的三角形三边长，，长度依次相差1，最大内角和最小内角分别记为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省聊城市九校2020-2021学年高二上学期第一次开学联考
【答案】C
【分析】计算出，，长度，找到最大角和最小角，利用余弦定理解决．
【解析】由题意得：，
，即，，，，，
，故选C．
【名师点睛】此题考余弦定理的应用，属于简单题．
9．的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市部分区2019-2020学年高一下学期期末联考
【答案】B
【分析】根据正弦定理建立方程可得选项．
【解析】由正弦定理得，解得，故选B．
【名师点睛】本题考查运用正弦定理解三角形，属于基础题．
10．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午时到达一座灯塔的南偏西距塔海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这艘船航行的速度为（）

A．海里/时 B．海里/时
C．海里/时 D．海里/时
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】A
【解析】，
在 中有
海里/时，选A．
11．如图，一个物体受到两个拉力和的作用，已知，，两力方向的夹角为，若和的合力为，且，则的取值范围为（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】百师联盟2021届高三开学摸底联考文科数学全国卷III试题
【答案】B
【解析】
如图所示，由余弦定理得：
，
解得，所以．故选B．
12．如图所示，为了测量某一隧道两侧A、B两地间的距离，某同学首先选定了不在直线AB上的一点C（中∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c），然后确定测量方案并测出相关数据，进行计算．现给出如下四种测量方案；①测量∠A，∠C，b；②测量∠A，∠B，∠C；③测量a，b，∠C；④测量∠A，∠B，a，则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（ ）

A．①③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
【试题来源】北京市中关村中学2021届高三十月月考测试
【答案】B
【分析】根据正弦定理以及余弦定理，即可对每个选项进行逐一判断分析，作出选择．
【解析】对①：由，可求得，再根据正弦定理，求得AB即可；
对②：由三个角无法确定三角形，故无法计算的值；
对③：根据余弦定理，即可求得的值；
对④：由，可求得，再根据正弦定理，即可求得的值．
综上所述：①③④可以求得．故选B．
【名师点睛】本题考查应用正弦定理和余弦定理，解决测距问题，属基础题目．
13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【试题来源】天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理）
【答案】A
【分析】由，利用正弦定理化简可得，再由，即可得出结果．
【解析】因为，所以由正弦定理可得 ，
所以，所以，
所以或，所以或，
又，所以，因此．
所以是直角三角形．故选A．
【名师点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
14．一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）
A．5海里 B．4海里
C．3海里 D．2海里
【试题来源】天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理）
【答案】D
【分析】根据方位角可知，利用余弦定理构造方程，即可解得结果．
【解析】记轮船最初位置为，灯塔位置为，分钟后轮船位置为，如下图所示：

由题意得：，，
由余弦定理可得，，
即：，解得或（舍），
即灯塔与轮船原来的距离为海里．故选D．
【名师点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，熟记余弦定理即可，属于基础题型．
15．的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量，．若，则C等于
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省弥勒市第一中学2019-2020学年高二下学期第四次月考（理）
【答案】B
【分析】先由题意得到，化简整理，根据余弦定理，即可得出结果．
【解析】因为向量，，，
所以，
整理得：，所以，解得．故选B
【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理与向量共线的坐标表示，即可得出结果．
16．某观察站与两灯塔的距离分别为米和米，测得灯塔在观察站西偏北，灯塔在观察站北偏东，则两灯塔间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【试题来源】福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中
【答案】A
【解析】
依题意，作出上图，因为 ，所以由余弦定理得：，故选A．
17．中，，则符合条件的三角形有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
【试题来源】福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中
【答案】B
【解析】由正弦定理可得： ，解得sinA= > ，故满足条件的角A有两个，一个钝角，一个锐角，应选B．
18．在中，，，，则的面积是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【试题来源】福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中
【答案】C
【分析】利用余弦定理可求的长度，从而可求三角形的面积．
【解析】由余弦定理可得，
故，解得或，
故三角形的面积为或，故选C．
【名师点睛】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，注意三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理，知道两边及一边所对的角，可以用余弦定理，也可以用正弦定理（结合要求解的目标确定方法），本题属于基础题．
19．在中，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市朝阳区2019~2020学年度高一下学期期末质量检测
【答案】B
【分析】由余弦定理得推论可得的值．
【解析】在中，由题意知：
，故选B
20．已知中，，，分别为角，，的对边，若，且满足，则边上的高为（ ）
A．1 B．
C． D．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考（文）
【答案】A
【分析】由余弦定理求得角后，易求得高．
【解析】因为，所以，即：，，边上的高为，故选A．
21．在中，若，，则　　
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中
【答案】A
【分析】由利用正弦定理可得，结合可得结果．
【解析】利用正弦定理化简，得：，
，，故选A．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．
22．如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知，，，，，则的长为（ ）

A． B．5
C． D．7
【试题来源】湖北省武汉市江岸区2019-2020学年高一下学期期末
【答案】A
【分析】在中，由正弦定理求出，再根据诱导公式求出，最后在中，由余弦定理计算可得；
【解析】在中，由正弦定理可得，即
所以，又，所以
在中，由余弦定理可得，
即，所以，故选A
23．已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】2020届云南师范大学附属中学高三上学期第三次月考（理）
【答案】D
【分析】根据余弦定理表示出，代入已知条件，得到的值，然后根据三角形面积公式得到答案．
【解析】由余弦定理，因为所以有，
而，，所以得，解得，
所以，故选D．
【名师点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题．
24．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则角（ ）
A． B．
C．或 D．或
【试题来源】2020届广东省华南师范大学附属中学高三年级月考（三）数学（理）
【答案】D
【解析】因为，由正弦定理得，即，
由，得，
所以或，当时，；
当时，
由余弦定理得，所以，
综上所述：或．
【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值． 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．
25．在中，内角的对边分别是 ．若，，则等于(　　)
A． B．
C． D．
【试题来源】2020届陕西省商洛市丹凤中学高三第一次模拟考试（理）
【答案】D
【解析】由，得，又因为，所以，即，所以，又，则；故选D．
26．正三角形的外接圆和内切圆半径的比值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2020-2021学年高一上学期新课标数学入学测试试题
【答案】B
【分析】设正三角形的边长为，外接圆的半径为，内切圆的半径为，根据正弦定理得，等面积法得，进而得．
【解析】设正三角形的边长为，外接圆的半径为，内切圆的半径为，
则根据正弦定理得：，解得，
根据等面积法得：，解得，
所以．故选B．
【名师点睛】本题考查正弦定理求三角形外接圆的半径，等面积法求三角形内切圆的半径，是基础题．
27．的内角，，的对边分别为，，．若，则为（ ）．
A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【试题来源】重庆市部分区2019-2020学年高一下学期期末联考
【答案】D
【分析】由题意结合余弦定理化简得，即可得解．
【解析】由结合余弦定理可得，
化简得，即，所以为等腰三角形．故选D．
【名师点睛】本题考查了利用余弦定理判断三角形形状的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．
28．已知中，，那么为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【试题来源】内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】A
【解析】在中，，， ，那么为锐角，由正弦定理可得解得．
29．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，且，则外接圆的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省2021届高三上学期大联考（理）
【答案】A
【分析】本题先求出，再求出，接着求外接圆的半径，最后求外接圆的面积即可．
【解析】因为，，成等差数列，所以，则，
由正弦定理可知，，解得．
所以外接圆的半径为，从而外接圆的面积为．
故选A．
【名师点睛】本题考查等差数列、正弦定理、三角恒等变换，考查运算求解能力，是基础题．
30．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则的值为（ ）
A．12 B．8
C． D．
【试题来源】云南、四川、贵州、西藏四省名校2021届高三第一次大联考（理）
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用三角形面积公式求得的值，然后利用余弦定理求得的值．
【解析】由题可得，，即，所以，
又，所以．故选D．
【名师点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的综合运用，属基础题．
31．在中，角的对边分别为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省漳州市2020届高三高中毕业班第二次教学质量检测（文）
【答案】B
【分析】对利用正弦定理可得：，整理可得：，问题得解．
【解析】因为在中，角的对边分别为，，
所以由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，又，所以，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了两角和的正弦公式，属于中档题．
32．在中，内角，，的对边分别为，，，且三边互不相等，若，，，则的面积是（ ）
A． B．
C． D．1
【试题来源】河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测（理）
【答案】C
【分析】首先根据，得到，根据余弦定理得到，两式联立得到，从而得到，再计算的面积即可．
【解析】因为，所以，化简得，
又，即．
两式联立，消去得，
因为三边互不相等，解得（舍）或．
又，所以．故选C
【名师点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查正弦定理的面积公式，属于简单题．
33．在中，是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】吉林省长春市2021届高三质量监测理科数学一模试题
【答案】C
【分析】由正弦定理可分别判断充分性和必要性．
【解析】充分性：由三角形中“大边对大角”，当时，，由正弦定理，，故充分性成立；
必要性：由正弦定理可知，，当时，，则，故必要性成立，综上，是的充要条件．故选C．
【名师点睛】本题考查充分必要条件的判断，其中涉及正弦定理的应用，属于基础题．
34．在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为，卫星高度角为，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省徐州市铜山区、南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期第一次抽测
【答案】B
【解析】如图所示，设，，

由于，所以在中，．
在中，，所以，解得，
所以，故选B．
【名师点睛】本题考查解三角形的应用，本题是直角三角形，只要利用直角三角形中边角关系即可求解．
35．在中，已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省唐山市2020-2021学年高二上学期9月质量检测
【答案】C
【解析】在中，，，，
由正弦定理得：，即，解得，
所以，故选C
36．某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息通知在南偏东30°，且与处相距的处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度？（ ）

A．30° B．45°
C．90° D．60°
【试题来源】河北省唐山市2020-2021学年高二上学期9月质量检测
【答案】D
【分析】根据余弦定理求出，根据正弦定理求出，从而可得答案
【解析】如图所示，，则，
由题意可知，，
由余弦定理得，解得，
由正弦定理得，解得，所以，故选D

【名师点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查方位角问题，属于基础题
37．在中，，，，则（ ）
A．9 B．
C． D．8
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期适应性月考
【答案】D
【分析】由，得到，然后由正弦定理求解．
【解析】因为，故，由正弦定理得，
所以，故选D．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题．
38．在中，角，，的对边分别是，，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末模拟
【答案】D
【分析】由题意，再由余弦定理可求出，即可求出答案．
【解析】由题意，
，设，
由余弦定理可得：，
则．故选D．
【名师点睛】本题考查了正、余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．
39．如图，要测量电视塔的高度，在点测得塔顶的仰角是，在点测得塔顶的仰角是，水平面上的，则电视塔的高度为（ ）

A．20 B．30
C．40 D．50
【试题来源】湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】A
【分析】设电视塔高为，表示出后由余弦定理列式可求得．
【解析】设，则间，，
在BCD中，，则，
即，解得（舍去）．
故选A．
【名师点睛】本题考查解三角形的应用，根据已知条件选择恰当的公式求解是解题关键．
40．在中，角、、所対的边分别为、、，已知，且，则外接圆面积为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省平顶山市2020-2021学年高三10月阶段测试（理）
【答案】B
【分析】本题首先可根据余弦定理得出，然后根据得出，最后根据正弦定理得出，即可得出结果．
【解析】因为，所以，
因为，所以，由正弦定理可知：，
则，，故选B．
【名师点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查通过正弦定理求三角形外接圆的半径，考查的公式为、，考查计算能力，是简单题．
41．△ABC中，若b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果为（ ）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．一解或两解
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】C
【解析】直接利用正弦定理求出角C的大小，即可判断三角形解的个数．在△ABC中，若b=6，c=10，B=30°，由正弦定理
所以60°＜C＜120°，C有两个解，一个锐角，一个钝角；所以三角形有两个解，故选C．
【名师点睛】本题是基础题，考查正弦定理在三角形中的应用，注意角的范围的判定，考查计算能力．
42．在中，角，，所対的边分别为，，，已知，且，则（ ）
A． B．
C．1 D．
【试题来源】河南省平顶山市2020-2021学年高三10月阶段测试（文）
【答案】B
【分析】利用余弦定理可得，再利用正弦定理的边角互化可得，根据三角形的面积公式即可求解．
【解析】，因为，所以，
，，即，
所以．故选B．
【名师点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题．
43．已知 中， 分别为角所对的边，且， ，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】C
【分析】由条件可得：，可得，由余弦定理求得值，带入面积公式进行运算．
【解析】因为，
所以，即，
所以，又因为，．
所以．解得，
则的面积为．故选C．
【名师点睛】在利用两角和与差公式或二倍角公式进行恒等变形时，记住一些常见变形可起到事半功倍的效果，如：
；
等．
44．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】A
【分析】根据正弦定理，将已知条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式可求，根据在方向上的投影为，代入数值，即可求解．
【解析】因为，
所以 ，
即， 即，
因为，所以，所以 ，
所以在方向上的投影为． 故选A．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理和平面向量投影的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题．
45．中，若且，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一下学期期末
【答案】C
【解析】因为，所以，又，所以，
因为，所以即，
由余弦定理得，
所以，，所以是等腰直角三角形．故选C．
46．在中，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．充分必要条件
C．必要而不充分条 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（10月）
【答案】B
【分析】记角，所对应的边分别为，，根据三角形性质，由正弦定理，以及充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果．
【解析】记角，所对应的边分别为，，因为三角形中，大边对大角，
若，则，由正弦定理可得；即由“”能推出“”；
若，由正弦定理可得，所以；即由“”能推出“”；
故“”是“”的充分必要条件．故选B．
【名师点睛】本题主要考查判定命题的充要条件，考查正弦定理的应用，属于基础题型．
47．在中，，，，，则（ ）
A．2或5 B．2
C．或 D．
【试题来源】河南省郑州市示范性高中2020-2021学年高三阶段性考试（三）（文）
【答案】D
【分析】直接利用余弦定理求解即可
【解析】由余弦定理可得，代人数据，得，解得或．
因为，所以，故．故选D
【名师点睛】本题考查余弦定理的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
48．在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】B
【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状．
【解析】由正弦定理，
即，因为，，，所以，
所以是等边三角形．故选B
【名师点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，从而判断三角形的形状，属基础题．
49．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B．
C． D．2
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】D
【分析】由已知利用正弦定理可求得，进而可求得代入“三斜求积”公式即可求得结果．
【解析】，，，因为，
所以，，从而的面积为．故选D．
【名师点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解，考查分析问题的能力和计算求解能力，难度较易．
50．在△中，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市朝阳区2020届高三年级学业水平等级性考试练习二（二模）
【答案】B
【分析】直接利用正弦定理计算得到答案．
【解析】根据正弦定理：，故，解得．故选B．
51．中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）
【答案】A
【分析】由题意，根据二倍角公式和两角和差的余弦公式可得，再根据三角形的面积公式可得，，即可求出，再根据面积公式可得，即可求出
【解析】，，
即，，①
的面积为，，，，②，
由①②可得，即，，，或，
当，由，可得，不合题意，故舍去，
故，故选．
【名师点睛】本题主要考查三角函数的化简，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
52．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）
【答案】A
【分析】由、、依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出，把得出关系式代入并利用基本不等式求出的范围，利用余弦函数的性质确定出的范围即可．
【解析】在中，、、依次成等比数列，，
利用正弦定理化简得，
由余弦定理得（当且仅当时取等号），因为，则的范围为，，故选A．
【名师点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
53．在直三棱柱中，，，，若该三棱柱的外接球表面积为，则三棱柱的高为（ ）
A．2 B．
C．4 D．
【试题来源】百师联盟2021届高三开学摸底联考理科数学全国卷III试题
【答案】C
【分析】利用余弦定理求得，利用正弦定理求得三角形外接圆半径，由此求得外接球半径的表达式，利用外接球的表面积列方程，解方程求得三棱柱的高．
【解析】在中，，得．
所以的外接圆半径．
设该三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球半径．
所以外接球表面积．解得，故选C
【名师点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查运算求解能力．
54．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则=（ ）
A． B．
C．或 D．
【试题来源】江苏省苏州大学附属中学2020-2021学年高二上学期期初
【答案】B
【分析】利用正弦定理将原式中边化弦，经化简，可得的值，根据同角三角函数可得，最后根据正弦定理求出，从而求出角C，舍去不合题意的结果即可．
【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为，
去分母移项得：，
所以：，所以，则 ，
由正弦定理，解得所以或（舍）．故选B．
【名师点睛】本题考查解三角形以及三角函数恒等变换的公式，要熟练掌握公式之间的互化，由正弦求角度时，注意一题多解的情况，由于本题有角度限制，所以要舍去一个结果．
55．在钝角三角形中，，，分别为角，，的对边，且其面积为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理）
【答案】A
【分析】根据钝角三角形的面积为，利用三角形面积公式和余弦定理转化得到，进而求得角C，再利用正弦定理和两角和正弦公式转化，然后根据三角形是钝角三角形，得到A范围利用正切函数的性质求解．
【解析】因为钝角三角形的面积为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为三角形是钝角三角形，
当A为钝角时，，此时，
当A为锐角时，，此时，
所以，故选A
【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
56．在中，，，分别是角，，所对的边，满足，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【试题来源】新力量联盟2019-2020学年第二学期期中联考高一
【答案】A
【分析】根据条件，利用正弦定理化为三角函数，由三角恒等变换即可求解．
【解析】，，，
，，，即，
所以三角形的形状为等腰三角形，故选A
【名师点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题．
57．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省豫西名校2020-2021学年高二10月联考
【答案】B
【分析】根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简求出，由结合，求得，从而求出的值，再由正弦定理将结合关系，转化为（或 ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围．
【解析】由可得：
，所以．

，，所以，，，
所以，又，，所以，
，
因为，所以，所以．故选B．
【名师点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题．
58．在中，分别为角的对边)，则的形状为
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【试题来源】北京市一零一中学2019-2020学年高一第二学期期末
【答案】A
【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，故三角形为直角三角形，故选A．
59．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中
【答案】B
【分析】成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．
【解析】成等比数列，，又，，
则，故选B．
【名师点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
60．在△中，如果，那么等于（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省石林彝族自治县民族中学2019-2020学年高一6月月考
【答案】D
【分析】由正弦定理化角为边得；设利用余弦定理得解．
【解析】由正弦定理可得
设
由余弦定理可得，c，故选D
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，属于基础题．
61．在中，，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市霍邱县第二中学2019-2020学年高一下学期段考
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB．
【解析】由内角和定理知，所以，
即，故选D．
62．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中
【答案】B
【分析】根据余弦定理得到，再根据正弦定理得到，故，，计算得到答案．
【解析】由余弦定理及可得，
即，得，整理得．
，，得．
由正弦定理得，又，，
整理得．
易知在锐角三角形中， ，， 且．
， ，
，
当且仅当时等号成立．故选B．
【名师点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力．
63．在中，角所对的边分别为，若，则当取最小值时， =（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】C
【解析】由正弦定理、余弦定理得 ， ，，，
当 ，即时取最小值．故选C．
【名师点睛】解三角形的常见思路有：1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题．利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题；2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等；3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解．
64．中，，则一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【试题来源】上海市市西中学2020-2021学年高二上学期摸底
【答案】D
【分析】由已知，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以即，因为，
所以或，所以或，即三角形为等腰或直角三角形，
故选D．
【名师点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．
65．在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市霍邱县第二中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】A
【分析】利用余弦定理求得a，再利用正弦定理即得结果．
【解析】由余弦定理：，得，
由正弦定理：．故选A
【名师点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型．
66．在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三上学期第一次月考（文）
【答案】D
【分析】①在三角形中“大角对大边”，可以得到，再根据正弦定理化简，进一步可以得到答案；
②在三角形中利用化简，利用正弦定理轻松可以得到答案；
③利用正弦定理化简得带入化简，就可以得到答案；
④根据表示， 再根据可以得到°，进一步得到答案．
【解析】①因为，所以，
又因为，所以
所以，故①成立；
②因为，所以，所以，
所以；故②成立；
③因为，所以
所以，
所以 ；故③成立；
④因为表示为边的单位向量， 表示为边的单位向量，
所以（）·表示，
又，所以°
所以为等边三角形，故④成立．故选D．
【名师点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及利用向量来解三角形的相关知识点，命题体现了数学基本运算的核心素养，属于比较常见的题型．
67．在中，角A、B、所对的边分别为a、b、c，且，则B的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期10月第一次适应性检测
【答案】C
【分析】由二倍角公式化后应用正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得，应用基本不等式得最值．
【解析】，即，由正弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以的最大值为．故选C．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，应用正弦定理进行边角转换，应用余弦定理求角，考查了运算求解能力，属于中档题．
68．的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的形状是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【试题来源】湖南省六校2020-2021学年高三上学期联考（一）
【答案】D
【分析】利用正弦定理，再结合已知可求得，从而可得，可判断的形状．
【解析】中，由正弦定理得：，所以，
又，所以，所以，
所以或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形．故选D．
【名师点睛】本题考查判断三角形的形状，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角形形状．
69．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省精诚联盟2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】A
【分析】由正弦定理及余弦定理可得，由可得，结合可得，由大角对大边即可求解．
【解析】由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，，，
由可得，，且，
化简得，即，
化简可得，即，
，，，由大角对大边可知，故选A
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题．
70．若，且，那么是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【试题来源】山西省太原市第五中学2021届高三上学期9月阶段性考试（文）
【答案】B
【解析】由题设可得
由题设可得，
即该三角形是等边三角形，应选答案B．
71．的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省漳州市2020届高三高中毕业班第二次教学质量检测（理）
【答案】C
【分析】由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知条件可得，由，求得，可求得，取的中点，延长至点，使得是中点，连接，则四边形是平行四边形，在三角形中，由余弦定理可求得，之后利用面积公式求得结果．
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，因为，所以．
取的中点，延长至点，使得是中点，连接，则四边形是平行四边形，在三角形中，，
，，，由余弦定理得，解得，
所以三角形的面积为，故选C．
【名师点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目．
72．如图，设在中，，从顶点连接对边上两点，，使得，若，，则边长（ ）．

A．38 B．40
C．42 D．44
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期适应性月考（二）
【答案】B
【解析】方法一：设，，在中，由正弦定理：，可以化简得，在中，由正弦定理：，可以化简得，联立可得，可以化简得，解得，（舍去），故选B．
方法二：利用余弦定理得，，，而的面积，则，则在中，由余弦定理得，，简化整理得，即，（舍），故选B．
【名师点睛】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的具体应用，数学运算的核心素养，属于中档题
73．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为4，是方程的一个根，则的最小值为（ ）
A． B．
C．3 D．
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】D
【分析】根据是方程的一个根，进而得到，再根据的面积为4，得到，然后由余弦定理结合基本不等式求解．
【解析】因为，所以或．
因为，所以，所以．
因为的面积为4，所以，所以，所以，
由余弦定理得（当且仅当时，等号成立）．
所以的最小值为．故选D
【名师点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
74．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则的周长的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（文科）第三次质检试题
【答案】A
【分析】由正弦定理得，则有，利用基本不等式求出的最大值，即可得的周长的最大值．
【解析】，由正弦定理得，
所以，
又，得，当且仅当时等号成立，
所以的周长的最大值是．故选A
75．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省徐州市市区部分学校2020-2021学年高三上学期9月学情调研考试
【答案】C
【解析】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，
由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：
，整理得：，
此时，即：
同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：
，整理得：
此时，所以，故选C
76．已知的外接圆直径为1，是的中点，且，则（ ）
A．20 B．
C．10 D．
【试题来源】江西省南昌二中2020届高三数学（文科）校测试题（三）
【答案】C
【分析】先由正弦定理求得，再将均用表示，再结合向量的数量积的运算律即可求解结论．
【解析】因为的外接圆直径为1，是的中点，且，

且；故；
；故选C．
77．如图，在平面四边形中，，，是上一点，若，，，则的最大值为（ ）

A．2 B．
C．4 D．
【试题来源】河南省商丘市驻马店市周口市部分学校联考2020-2021学年高三10月质量检测文科
【答案】A
【分析】在中，由余弦定理解得，从而，设（），然后由，整理得到，利用正弦函数的性质求解．
【解析】在中，由余弦定理，得，
解得，所以且；
设（），则，
所以，
，
所以当时，取得最大值2．故选A．
【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用和正弦函数的性质以及三角恒等变换的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
78．在中，角所对的边分别为，①若，则；②若，则一定为等腰三角形；③若，则为直角三角形；④若为锐角三角形，则．以上结论中正确的有（ ）
A．①③ B．①④
C．①②④ D．①③④
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】D
【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案．
【解析】对于①，因为，所以，由正弦定理可知，，即①正确；
对于②，因为，所以或．若时，为等腰三角形；若，则，此时为直角三角形，故②不正确；
对于③，，由正弦定理可得，，故为直角三角形，即③正确；
对于④，因为为锐角三角形，所以，则，显然，，因为函数在上单调递增，所以，即，故④正确．故选D．
【名师点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角函数的性质，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题．
79．如图，在平面四边形中，，，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】D
【分析】利用正弦定理建立关系，根据三角函数的有界限即可求解AB的取值范围
【解析】由题意，平面四边形中，延长、交于点，如图，

，为等腰三角形，，
若点与点重合或在点右方，则不存在四边形，
当点与点重合时，根据正弦定理：，
算得，，
若点与点重合或在点上方，则不存在四边形，
当点与点重合时，根据正弦定理：
算得，，
综上所述，的取值范围为．故选D
【名师点睛】本题考查了正余弦定理的运用和数形结合的思想，构成三角形的条件的处理．属于中档题．
80．在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】河南省平顶山市2020-2021学年高三10月阶段测试（文）
【答案】A
【解析】在中，若，由正弦定理，，
所以，所以，为等腰直角三角形；
反之，为等腰三角形，不一定成立
所以“是为等腰三角形”的充分不必要条件．故选A．
【名师点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，考查三角形形状的判断问题，较简单．
81．在我们身边，随处都可以看到各种物体的影子．现有一边长为5米的正方形遮阳布，要用它搭建一个简易遮阳棚，正方形遮阳布所在平面与东西方向的某一条直线平行．设正南方向射出的太阳光线与地面成60°角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为（ ）

A．30° B．45°
C．60° D．75°
【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】A
【分析】由题意画出图像，虚线表示光线，边表示遮阳布，， 设，在中，求出，再利用辅助角公式得到，要使面积最大，则最大即可得出结果．
【解析】如图，虚线表示光线，边表示遮阳布，即，

设，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为，
则，作交于点，那么如图构成的中有：
则，
由辅助角公式得：，要使面积最大，则最大，
当，即．故选A．
【名师点睛】本题主要考查了辅助角公式以及解三角形的问题．属于中档题．
82．在锐角中，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市西城区2020届高三数学二模试题
【答案】C
【分析】由题意可用正弦定理先求出，再由三角函数中的平方关系及角的范围，求出，进而得到答案．
【解析】在锐角中，若，，，
由正弦定理，可得，
由为锐角，可得．故选C
【名师点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题．
83．已知中，角，，所对的边分别为，，．已知，，的面积，则的外接圆的直径为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】C
【分析】根据三角形面积公式求出，再由余弦定理求出，最后由正弦定理求出的外接圆的直径．
【解析】由三角形面积公式得
由余弦定理可得
则的外接圆的直径，故选C
【名师点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理的应用，属于中档题．
84．设锐角三角形三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】吉林省2021届高三数学一轮复习联考（一）试题
【答案】D
【解析】因为，即，由余弦定理知，
因为三角形为锐角三角形，所以，
结合正弦定理得，，
则
，化简得：；
因为，，所以，，
即，故选D．
【名师点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理进行边角的互化，求边的范围，属于中档题．
85．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻．某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛．若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）
A．北偏东， B．北偏东，
C．北偏东， D．北偏东，
【试题来源】吉林省重点高中2019-2020学年高三上学期第二次月考（文）
【答案】C
【分析】在中，，，，故可由余弦定理求出边AC的长度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．
【解析】据题意知，在中，，海里，海里，所以
，
所以海里，
又，所以，
又因为为锐角，所以，
所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里．故选C．
【名师点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题．
86．在中，角的对边分别是，，．则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】D
【分析】由题意结合正弦定理可得，进而可得，再由余弦定理即可得，即可得解．
【解析】由可得，所以，
又，所以即，所以，
在中，，
又，所以．故选D．
【名师点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题．
87．知为 的三个内角的对边，向量 ．若，且 ，则角的大小分别为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一下学期期末
【答案】C
【解析】由可得，即，所以角，
因为
。
所以可得。
88．在中，，的面积为2，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一下学期期末
【答案】C
【解析】由的面积为，所以，得，
在中，由正弦定理得
，
当且仅当时，等号是成立的，故选C．
【名师点睛】本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用．
89．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考
【答案】A
【分析】设圆的半径为，每个等腰三角形的顶角为，则每个等腰三角形的面积为，由割圆术可得圆的面积为，整理可得，当时即可为所求．
【解析】由割圆术可知当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，
设圆的半径为，每个等腰三角形的顶角为，
所以每个等腰三角形的面积为，
所以圆的面积为，即，
所以当时，可得，故选A
【名师点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查阅读分析能力．
90．若的面积为，且为钝角，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】D
【分析】由余弦定理和三角形面积可求得，用正弦定理化，再化为的三角函数，由三角函数知识可得取值范围．
【解析】因为，
所以，，
所以，所以，
又因为为钝角，所以，所以，，
由正弦定理得
，故选D．
【名师点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是根据正弦定理把转化为的三角函数后可得其取值范围．
91．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，则的周长取最大值时面积为（ ）
A． B．
C． D．4
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】C
【分析】由以及正弦定理可得，根据锐角三角形可得，根据正弦定理可得，，将周长转化为关于的三角形函数，利用正弦函数的最值可得为等边三角形时，周长取得最大值，根据面积公式可求得面积．
【解析】因为，所以，
由，则，所以 ，因为为锐角三角形，所以．
由正弦定理，得，所以，，
所以

，
所以当，即为等边三角形时，周长取得最大值，
此时面积为，故选C．
92．在，角，，的边分别为，，，且，，，则的内切圆的半径为（ ）
A． B．1
C．3 D．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】D
【解析】由及正弦定理得，
整理得．
因为，
所以 ，
所以，
又，所以，故．
所以，所以．
由余弦定理得，
即，解得．
所以．因为，所以．选D．
【名师点睛】（1）解三角形中，余弦定理和三角形的面积公式经常综合在一起应用，解题时要注意余弦定理中的变形，如，这样借助于和三角形的面积公式联系在一起．（2）求三角形内切圆的半径时，可利用分割的方法，将三角形分为三个小三角形，且每个小三角形的高均为内切圆的半径，然后利用公式可得半径．