专题4.1 条件概率与事件的独立性（B卷提升篇）（解析版）-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.1条件概率与事件的独立性（B卷提升篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·山东高一期末）若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为事件A与B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，

所以P（AB）＝P（A）P（B）＝，

所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-=

故选：C

2．（2020·全国高二月考（理））已知盒中装有大小形状完全相同的2个红球、4个白球、6个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是白球的前提下，第二次拿到黑球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设第1次拿到白球为事件，第2次拿到黑球为事件，则，，则.

故选：C.

3．（2020·四川三台中学实验学校高二月考（理））.三台中学实验学校现有三门选修课，甲、乙、丙三人每人只选修一门，设事件A为“三人选修的课程都不同”，B为“甲独自选修一门”，则概率P(A|B)等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

甲独自选修一门，则有门选修课可选，

则乙、丙只能从剩下的门选修课中选择，可能性为，

所以甲独自选修一门的可能性为，

因为三个人选修的课程都不同的可能性为.

.

故选：B

4．（2020·洮南市第一中学高二期末（理））在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）

A．0．998 B．0．046 C．0．002 D．0．954

【答案】D

【解析】

5．（2020·黑龙江绥化�高二期末（理））一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　)

A．1－a－b B．1－ab 

C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)

【答案】C

【解析】

第一道工序的正品率为1-a，第二道工序的正品率为1-b

因为产品为正品时需要这两道工序都为正品，

根据独立事件的概率乘法公式可得，

产品的正品率为（1-ａ）（1-ｂ），故选C

6．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（    ）.

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】

设第1次抽到理科题的事件为A，第2次抽到理科题的事件为B，

所以 ,

所以第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为,

故选：D

7．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设事件 “4个人去的景点不相同”，

事件 “小赵独自去一个景点”，

则（A），

（B），

，

则

故选：A

8．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（理））某校自主招生面试共有7道题，其中4道理科题，3道文科题，要求不放回地依次任取3道题作答，则某考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

记“该考生在第一次抽到理科题”为事件 ，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则 ，
∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为 ，

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·山东滕州市第一中学新校高二月考）甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（    ）

A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件

B．甲的不同的选法种数为15

C．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是

D．乙、丙两名同学都选物理的概率是

【答案】BD

【解析】

甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；

由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；

由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；

乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；

故选BD.

10．（2020·山东高一期末）已知事件、，且，，则下列结论正确的是（　　）

A．如果，那么，

B．如果与互斥，那么，

C．如果与相互独立，那么，

D．如果与相互独立，那么，

【答案】BD

【解析】

对于A选项，若，则，，则，，A选项错误；

对于B选项，如果与互斥，则为不可能事件，所以，，，B选项正确；

对于C选项，如果与相互独立，则，C选项错误；

对于D选项，如果与相互独立，则，，D选项正确.

故选：BD.

11．（2020·沈阳实验中学高二期中（理））（多选题）如图所示的电路中，只箱子表示保险匣分别为、、、、.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（    ）

A．所在线路畅通的概率为

B．所在线路畅通的概率为

C．所在线路畅通的概率为

D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为

【答案】BD

【解析】

由题意知，、、、、保险闸被切断的概率分别为，，，，，

所以、两个盒子畅通的概率为，因此A错误；

、两个盒子并联后畅通的概率为，因此C错误；

、、三个盘子混联后畅通的概率为，B正确；

根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为，D正确.

故选：BD.

12．（2020·山东省临沂第一中学高二月考）下列说法正确的是（    ）

A．某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有种；

B．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是；

C．某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人；

D．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是.

【答案】CD

【解析】

对于A，第一个同学可以参加三个课外兴趣小组任意一个，有3种报名方法，同理其他的三名学生也都有3种报名方法，则不同的报名方法有3×3×3×3＝81种，故A错；

对于B，∵他们各自解出的概率分别是，则此题不能解出的概率为（1）•（1），则此题能解出的概率为1，故B错；

对于C，高级教师应抽取50×20%＝10人，故C正确

对于D，两位女生和两位男生站成一排照相，基本事件总数n24，

两位女士不相邻包含的基本事件个数m12，

∴两位女生不相邻的概率P，故D正确．

故选：CD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2020·山东潍坊�高二期末）一个家庭中有三个小孩，假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是________.

【答案】

【解析】

这个家庭有三个小孩且其中有一个是男孩的所有可能如下：

（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，男）共7个基本事件，

其中，至少有一个女孩包含了6个基本事件，

则至少有一个女孩的概率为.

故答案为：.

14．（2020·湖南天心�长郡中学高三其他（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________．

①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件

【答案】②④

【解析】

因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故④正确；

因为，

所以，故②正确；

同理，

所以，

故①③错误.

故答案为：②④

15．（2020·全国高三其他）在一场对抗赛中，两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，每局获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是_____．

【答案】.

【解析】

第1局失利为事实，经过5局获胜，第2,3,4局胜2局，胜1局，5局比赛最终获得冠军的概率是.

16．（2018·阿拉善左旗高级中学高二期末（理））某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，且其产品的不良率分别各占其产量的2.0%,1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产出的概率为_______．

【答案】       

【解析】

分析：根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率公式可得任取此公司的一件产品为不良品的概率；利用条件概率公式可得在已知此产品为不良品前提下此产品由所生产出的概率.

详解：，

，故答案为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·河北易县中学高二月考）抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.

（1）求P(A)，P(B)，P(AB)；

（2）当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率.

【答案】(1)(2)

【解析】

①②∵两个骰子的点数之和共有个等可能的结果，点数之和大于的结果共有个.

③当蓝色骰子的点数为或时，两颗骰子的点数之和大于的结果有个，故,.

由知.

18．（2020·山东高一期末）某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目．已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．用Ai表示事件“李明答对第i道题”（i＝1，2，3，4）．

（1）写出所有的样本点；

（2）求李明通过面试的概率．

【答案】(1) ；(2)

【解析】

 (1) 李明能通过面试的样本空间中样本点：

(2)由(1)知，李明通过面试的概率

又这4道题目能否答对是独立的，且李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为

∴，，，，

即

19．（2019·全国高二课时练习）现有个节目准备参加比赛，其中个舞蹈节目，个语言类节目，如果不放回的依次抽取个节目，求

(1)第次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第次和第次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第次抽到舞蹈节目的条件下，第次抽到舞蹈节目的概率．

【答案】(1)(2) (3)

【解析】

设第次抽到舞蹈节目为事件，第次抽到舞蹈节目为事件，则第次和第次都抽到舞蹈节目为事件

(1)从个节目中不放回的依次抽取个的事件数为，

根据分步计数原理，

于是

(2)因为，于是，

(3)由(1)(2)可得，在第次抽到舞蹈节目的条件下，第次抽到舞蹈节目的概率为

20．（2018·安徽肥东�高二月考（理））一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求：

(1)第1次取到黑球的概率；

(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；

(3)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

设第次取到黑球为事件，第次取到黑球为事件，则第次和第次都取到黑球为事件

从袋中不放回地依次取出个球的事件数为，根据分步乘法计数原理，，于是

 (2)因为.所以

(3)由可得，在第次取到黑球的条件下，第次取到黑球的概率为

.

21．（2018·全国高二课时练习）一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个。

某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求：

(1) 任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率。

(2) 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过次就按对的概率。

【答案】(1) (2）

【解析】

试题分析：(1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的有两种情形一种是按1次就按对了和第一次没有按对,第二次按对了, 由概率的加法公式得;

（2）在记得最后一位是偶数的前提下不超过2次就按对,利用进行求解即可.

试题解析：设第次按对密码为事件，则表示不超过次就按对密码．

(1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得

.

(2）用表示最后一位按偶数的事件，则

.

22．（2019·山东日照�高二期末）国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分（满分100分），他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：

（1）请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，并说明理由；

（2）从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率．

（参考数据：， ）

【答案】（1）乙城市，理由见解析；（2）

【解析】

（1）甲城市的打分平均数为：，

乙城市的打分平均数为：，

则甲城市的打分的方差为：

乙城市的打分的方差为：

甲乙两城市的打分平均数的平均数相同，但是乙城市打分波动更小，故乙城市更应该入围“国家文明城市”；

（2）由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．

设事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，

事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，

则，

因为，

，

所以.