16.基础小卷速测（十六） 与圆的切线有关的证明与计算

基础小卷速测（十六） 与圆的切线有关的证明与计算

一、选择题

1. 如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（     ）

A.  2.3           B. 2.4              C. 2.5           D. 2.6

2．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（　　）

A．28°   B．33°   C．34°   D．56°

3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D．若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是(　　)．

A．4   B．2         C．8     D．4

4．如图已知等腰△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的圆O的切线交BC于点E，若CD=5，CE=4，则圆O的半径是（      ）

A．3       B.4        C.       D.

5．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（　　）

A．DE=DO   B．AB=AC    C．CD=DB   D．AC∥OD

二、填空题

6．如图，是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆与点C，测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个外圆半径为____cm.

7.如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为____________．

8．在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为____________．

9.如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为_______.

10．如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝__________．

三、解答题

11．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与OD交于点F，连接DF，DC．已知OA=OB，

    CA=CB，DE=10，DF=6．

    (1)求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；

    (2)求CD的长.

12．如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）求DE的长．

13. 如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB∠APB.，求证：PB是⊙O的切线.

参考答案

1. B.

2．

A．【解析】连结OB，如图，
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-34°=56°，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，
∴∠C+∠OBC=56°，
而OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∴∠C=×56°=28°．
3．C【解析】∵tan∠OAB＝，所以AC＝2OC＝2OD＝2×2＝4，

又∵AC是小圆的切线，所以OC⊥AB，由垂径定理，得AB＝8．故选C．

4.D

5．

A【解析】当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD=BD时，AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
所以D正确．
6．50　【解析】　如答图，设点O为外圆的圆心，连结OA和OC，

∵CD＝10 cm，AB＝60 cm，∴设外圆的半径为r，则OD＝(r－10)cm，AD＝30 cm

根据题意，得r2＝(r－10)2＋302，

解得r＝50 cm.

7.    4  【解析】OC交BE于F，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，
∵AD⊥l，∴BE∥CD，
∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
在Rt△ABE中，

∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4．故答案为4．

8．24．【解析】如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E．

∵2πR=26π，
∴R=13，
∴OF=OD=13，
∵AB是⊙O切线，
∴OF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD即OE⊥CD，
∴CE=ED，
∵EF=18，OF=13，
∴OE=5，
在RT△OED中，∵∠OED=90°，OD=13，OE=5，

∴CD=2ED=24．
9..

10．2

【解析】　连结OC，BC，

∵DC切⊙O于点C，

∴∠OCD＝90°，

∵BD＝OB，⊙O的半径为2，

∴BC＝BD＝OB＝OC＝2，即△BOC是等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，

∴CE＝EF，

AB⊥CF，即△OEC为直角三角形，

∵在Rt△OEC中，OC＝2，∠BOC＝60°，∠OEC＝90°，

∴CF＝2CE＝2OC·sin∠BOC＝2.

11．解：(1)证明：①连接0C，

∵OA=OB，AC=BC，∴0C⊥AB．

∴直线AB是⊙O的切线．

(2)连接EF交OC于G，连接EC．

∵DE是直径，∴∠DFE=∠DCE=90°

在Rt△EGC中，CE=

在Rt△ECD中，CD=

12

证明：（1）连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAB，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，

∴∠ODA=∠DAE，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O切线．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，

∴AF=CF=3，

∴OF===4．

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，

∴四边形OFED是矩形，

∴DE=OF=4．

13.证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAO=90°．

∵∠BOC+∠AOB=180°，且∠BOC=∠APB．

∴∠APB+∠AOB=180°．

∴在四边形AOBP中，

∠OBP =360°90°180°=90°

∴OB⊥PB，

∵OB是⊙O的半径，

∴PB是⊙O的切线.