高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀第2课时2课时同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀第2课时2课时同步练习题，共10页。试卷主要包含了已知双曲线E等内容，欢迎下载使用。

(60分钟 100分)


基础篇





1．(5分)“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


2．(5分)(多选)直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值不能为( )


A．－2B．－1


C．1D．2


3．(5分)已知双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这样的l共有( )


A．4条B．3条


C．2条D．1条


4.(5分)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．


5．(5分)直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )


A．(1，2)B．(－2，－1)


C．(－1，－2)D．(2，1)


6.(5分)过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的弦所在的直线方程是________．


7.(5分)过双曲线eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为eq \r(5)，这样的直线有________条．


8.(5分)过双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点，则|AB|＝________.


提升篇





9.(5分)已知双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若A，B的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))，则l的方程为( )


A．4x＋y－1＝0


B．2x＋y＝0


C．2x＋8y＋7＝0


D．x＋4y＋3＝0


10．(5分)以双曲线的中心为原点，F(0，－2)是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P(3，1)，则双曲线的方程为( )


A.eq \f(x2,3)－y2＝1


B．y2－eq \f(x2,3)＝1


C.eq \f(y2,3)－x2＝1


D．x2－eq \f(y2,3)＝1


11．(5分)设离心率为e的双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是( )


A．k2－e2>1


B．k2－e2<1


C．e2－k2>1


D．e2－k2<1


12．(5分)(多选)已知双曲线C过点(3，eq \r(2))且渐近线为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是( )


A．C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1


B．C的离心率为eq \r(3)


C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点


D．直线x－eq \r(2)y－1＝0与C有两个公共点


13.(5分)过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.


14.(5分)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．


15.(5分)设双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．


16.(5分)已知曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝0(O为原点)，则eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝________.


17.(10分)已知点A(0，1)，点P在双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上．


(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；


(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2eq \r(3)，求直线l的方程．


18.(10分)若双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率等于eq \r(2)，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．


(1)求k的取值范围；


(2)若|AB|＝6eq \r(3)，点C是双曲线上一点，且eq \(OC,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，求k，m的值．










































































3.2.2 双曲线的简单几何性质(第2课时)（练习）


(60分钟 100分)


基础篇





1．(5分)“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


B


2．(5分)(多选)直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值不能为( )


A．－2B．－1


C．1D．2


AD 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝mx＋1，,x2－y2＝1，))得(1－m2)x2－2mx－2＝0.


由题意知1－m2＝0，或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m2≠0，,Δ＝4m2＋8（1－m2）≥0，))解得－eq \r(2)≤m≤eq \r(2).


3．(5分)已知双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这样的l共有( )


A．4条B．3条


C．2条D．1条


B 解析：因为双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．故选B.


4.(5分)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),3)，－1)) 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,x2－y2＝6，))


得(1－k2)x2－4kx－10＝0.


由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－k2≠0，,Δ＝16k2＋40（1－k2）>0，,\f(4k,1－k2)>0，,\f(10,k2－1)>0，))


解得－eq \f(\r(15),3)

5．(5分)直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )


A．(1，2)B．(－2，－1)


C．(－1，－2)D．(2，1)


C 解析：将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0.由此可得弦的中点的横坐标为eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－2,2)＝－1，所以y1＋y2＝(x1＋x2)－2＝－4，故弦的中点的纵坐标为－2，所以弦的中点坐标是(－1，－2)．


6.(5分)过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的弦所在的直线方程是________．


3x＋4y－5＝0 解析：易知所求直线的斜率存在，设为k，设该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入eq \f(x2,4)－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0，所以－eq \f(24k2＋8k,1－4k2)＝6，所以k＝－eq \f(3,4)，所以所求直线方程为3x＋4y－5＝0.


7.(5分)过双曲线eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为eq \r(5)，这样的直线有________条．


1 解析：依题意得右焦点F(5，0)，所以过F且垂直于x轴的直线是x＝5，代入eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1，得y＝±eq \f(\r(5),2)，所以此时弦长为eq \f(\r(5),2)×2＝eq \r(5).当直线不垂直x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比eq \r(5)长．因为两顶点间距离为4eq \r(5)，即左右两支上的点的最短距离是4eq \r(5)，所以如果交于两支的话，弦长不可能为eq \r(5)，故只有一条．


8.(5分)过双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点，则|AB|＝________.


eq \f(16\r(3),5) 解析：由双曲线的方程得a＝eq \r(3)，b＝eq \r(6)，


所以c＝eq \r(a2＋b2)＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)．


直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－3)．


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，


由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(3),3)（x－3），,\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1))得5x2＋6x－27＝0.


所以x1＋x2＝－eq \f(6,5)，x1x2＝－eq \f(27,5)，


所以AB＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(\f(4,3))·eq \r(\f(36,25)＋\f(108,5))＝eq \f(16\r(3),5).


提升篇





9.(5分)已知双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若A，B的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))，则l的方程为( )


A．4x＋y－1＝0


B．2x＋y＝0


C．2x＋8y＋7＝0


D．x＋4y＋3＝0


C 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，


则eq \f(xeq \\al(2,1),4)－eq \f(yeq \\al(2,1),2)＝1，eq \f(xeq \\al(2,2),4)－eq \f(yeq \\al(2,2),2)＝1，


所以eq \f(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2),4)－eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),2)＝0.所以eq \f(x1＋x2,4)－kl·eq \f(y1＋y2,2)＝0.


所以eq \f(2×\f(1,2),4)－kl·eq \f(－1×2,2)＝0.所以kl＝－eq \f(1,4)，


所以l：y－(－1)＝－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，整理得2x＋8y＋7＝0.


10．(5分)以双曲线的中心为原点，F(0，－2)是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P(3，1)，则双曲线的方程为( )


A.eq \f(x2,3)－y2＝1


B．y2－eq \f(x2,3)＝1


C.eq \f(y2,3)－x2＝1


D．x2－eq \f(y2,3)＝1


B 解析：由题意设该双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，


则eq \f(yeq \\al(2,1),a2)－eq \f(xeq \\al(2,1),b2)＝1且eq \f(yeq \\al(2,2),a2)－eq \f(xeq \\al(2,2),b2)＝1，则eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,a2)＝eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,b2)，即eq \f(2（y1－y2）,a2)＝eq \f(6（x1－x2）,b2)，则eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(6a2,2b2)＝eq \f(1－（－2）,3－0)＝1，即b2＝3a2，则c2＝4a2＝4，所以a2＝1，b2＝3，


即该双曲线的方程为y2－eq \f(x2,3)＝1.


11．(5分)设离心率为e的双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是( )


A．k2－e2>1


B．k2－e2<1


C．e2－k2>1


D．e2－k2<1


C 解析：直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率－eq \f(b,a)1.


12．(5分)(多选)已知双曲线C过点(3，eq \r(2))且渐近线为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是( )


A．C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1


B．C的离心率为eq \r(3)


C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点


D．直线x－eq \r(2)y－1＝0与C有两个公共点


AC 解析：设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，由题意eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，即a2＝3b2，所以双曲线化为eq \f(x2,3b2)－eq \f(y2,b2)＝1.


又点(3，eq \r(2))在双曲线上，


所以eq \f(9,3b2)－eq \f(2,b2)＝1，所以b2＝1，a2＝3.


所以双曲线方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.


同理可得，当焦点在y轴上时，双曲线方程不存在，故A正确．


双曲线的离心率e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(1,3))＝eq \f(2\r(3),3)，B错．双曲线焦点(2，0)恰在曲线y＝ex－2－1上，C正确．


联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－y2＝1，,x－\r(2)y－1＝0))消去x得y2－2eq \r(2)y＋2＝0.


因为Δ＝0，故D不正确．


13.(5分)过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.


4eq \r(3) 解析：右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.将x＝2代入渐近线方程得y＝±2eq \r(3).所以A(2，2eq \r(3))，B(2，－2eq \r(3))．所以|AB|＝4eq \r(3).


14.(5分)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．


[2，＋∞) 解析：由题意，知eq \f(b,a)≥eq \r(3)，则eq \f(b2,a2)≥3，所以c2－a2≥3a2，


即c2≥4a2，


所以e2＝eq \f(c2,a2)≥4，


所以e≥2.


15.(5分)设双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．


10 解析：由双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1，得a＝2.由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|.当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝eq \f(2b2,a)＋8＝10.


16.(5分)已知曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝0(O为原点)，则eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝________.


2 解析：将y＝1－x代入eq \f(x2,a) －eq \f(y2,b)＝1，


得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.


设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，


则x1＋x2＝eq \f(2a,a－b)，x1x2＝eq \f(a＋ab,a－b).


因为eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2


＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1，


所以eq \f(2a＋2ab,a－b)－eq \f(2a,a－b)＋1＝0，


即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，


即b－a＝2ab，


所以eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝2.


17.(10分)已知点A(0，1)，点P在双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上．


(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；


(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2eq \r(3)，求直线l的方程．


解：(1)设P(x，y)，则|PA|＝eq \r(x2＋（y－1）2)


＝eq \r(2＋2y2＋（y－1）2)


＝eq \r(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,3)))\s\up12(2)＋\f(8,3))，当y＝eq \f(1,3)时，|PA|最小，


故所求点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(2\r(5),3)，\f(1,3))).


(2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y＝kx＋1.


设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l与双曲线方程联立得(1－2k2)x2－4kx－4＝0，


则Δ＝16(1－k2)>0且eq \f(－4,1－2k2)<0，即k2

由根与系数的关系得x1＋x2＝eq \f(4k,1－2k2)，x1x2＝eq \f(－4,1－2k2)，


所以|x1－x2|＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(\r(16（1－k2）),1－2k2)，


S△OMN＝eq \f(1,2)×1×|x1－x2|＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(16（1－k2）),1－2k2)＝2eq \r(3)，


解得k2＝eq \f(1,4)或k2＝eq \f(2,3)(舍去)，即k＝±eq \f(1,2)，


所以l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.


18.(10分)若双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率等于eq \r(2)，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．


(1)求k的取值范围；


(2)若|AB|＝6eq \r(3)，点C是双曲线上一点，且eq \(OC,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，求k，m的值．


解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\r(2)，,a2＝c2－1))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,c2＝2，))


故双曲线E的方程为x2－y2＝1.


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，


由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))


得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.(*)


因为直线与双曲线右支交于A，B两点，


故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k>1，,Δ＝（2k）2－4（1－k2）×（－2）>0，))


即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k>1，,－\r(2)

故k的取值范围是{k|1

(2)由(*)得x1＋x2＝eq \f(2k,k2－1)，x1x2＝eq \f(2,k2－1)，


所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)


＝2eq \r(\f(（1＋k2）（2－k2）,（k2－1）2))＝6eq \r(3)，


整理得28k4－55k2＋25＝0，所以k2＝eq \f(5,7)或k2＝eq \f(5,4).


又1

所以x1＋x2＝4eq \r(5)，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.


设C(x3，y3)，由eq \(OC,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，


得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4eq \r(5)m，8m)．


因为点C是双曲线上一点，


所以80m2－64m2＝1，得m＝±eq \f(1,4).


故k＝eq \f(\r(5),2)，m＝±eq \f(1,4).