人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优质导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优质导学案，共12页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


【自主学习】


1．抛物线的定义


平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．


思考：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？





2．抛物线的标准方程


【小试牛刀】


1．抛物线的方程都是二次函数．( )


2．抛物线的焦点到准线的距离是p.( )


3．抛物线的开口方向由一次项确定．( )


4.平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )


5.y＝4x2的焦点坐标为(1,0)．( )


6.以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y．( )


【经典例题】


题型一 求抛物线的标准方程


1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤





2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题


(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；


(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；


(3)注意p与eq \f(p,2)的几何意义．


例1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：


(1)准线方程为y＝eq \f(2,3)；


(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.

















[跟踪训练]1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：


(1)经过点(－3，－1)；


(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．

















例2 抛物线定义的应用


1.抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．


2.解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋eq \f(p,2).


例2 已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．














[跟踪训练]2若位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2).求点M的轨迹方程．














例3 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．

















[跟踪训练]3 已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )


A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．2 D.eq \r(5)－1





题型三 抛物线的实际应用


故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：


(1)建系：建立适当的坐标系．


(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．


(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．


(4)求解：求出需要求出的量．


(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.


例4 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．

















[跟踪训练]4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？




















【当堂达标】


1．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是( )


A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线


2．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )


A．圆B．椭圆


C．直线D．抛物线


3．准线与x轴垂直，且经过点(1，－eq \r(2))的抛物线的标准方程是( )


A．y2＝－2x B．y2＝2x


C．x2＝2yD．x2＝－2y


4．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )


A．(1,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))) D．(0,1)


5．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为( )


A．x＝1 B．x＝eq \f(1,16) C．y＝－1 D．y＝－eq \f(1,16)


6.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )


A．1 B．2 C．4 D．8


7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．


8．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．


9．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．














10.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．









































【参考答案】


【自主学习】


相等 焦点 准线


思考：点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．


Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－p,2)，0)) x＝eq \f(p,2) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(－p,2))) y＝eq \f(p,2)


【小试牛刀】


× √ √ × × √


【经典例题】


例1 解 (1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且eq \f(p,2)＝eq \f(2,3)，则p＝eq \f(4,3)，故所求抛物线的标准方程为x2＝－eq \f(8,3)y.


(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.


[跟踪训练]1 解 (1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为


y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．


若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq \f(1,6)；


若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq \f(9,2).


故所求抛物线的标准方程为y2＝－eq \f(1,3)x或x2＝－9y.


(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，


∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．


当焦点为(0，－3)时，eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；


当焦点为(4,0)时，eq \f(p,2)＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.


∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.


例2 解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．


由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.


[跟踪训练]2 [解] 由于位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2)，


所以动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离与它到直线l：x＝－eq \f(1,2)的距离相等．


由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，


其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，而eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1,2p＝2，


例3 解 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq \r(6).


∵eq \r(6)>2，∴A在抛物线内部．


设抛物线上点P到准线l：x＝－eq \f(1,2)的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.


由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为eq \f(7,2).即|PA|＋|PF|的最小值为eq \f(7,2)，


此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2)．


[跟踪训练]3 D 解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．


设点P到直线l的距离为d，


由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，


所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.


易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，


故d＋|PF|的最小值为eq \f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq \r(5)，


所以d＋|PF|－1的最小值为eq \r(5)－1.


例4 [解] 以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．





设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．


∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－\f(a,4))).


由点B在抛物线上，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＝－2p·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)))，


∴p＝eq \f(a,2).∴抛物线方程为x2＝－ay.


设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，


∴y0＝－eq \f(0.64,a)，∴点E到拱底AB的距离h＝eq \f(a,4)－|y0|＝eq \f(a,4)－eq \f(0.64,a)，


令h＞3，则eq \f(a,4)－eq \f(0.64,a)＞3，解得a＞6＋eq \f(2\r(241),5)或a＜6－eq \f(2\r(241),5)(舍去)．


∴a的最小整数值为13.


[跟踪训练]4 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．





设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝eq \f(8,5)，得x2＝－eq \f(16,5)y.


当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，


设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).


又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．


所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．


【当堂达标】


1. A解析 动点P的条件满足抛物线的定义．


2.D [由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到直线y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.]


3.B [由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－eq \r(2))2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.]


4. C解析 由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,4)y，


则焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，故选C.


5. C解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.


6.A [由题意知抛物线的准线为x＝－eq \f(1,4).因为|AF|＝eq \f(5,4)x0，根据抛物线的定义可得x0＋eq \f(1,4)＝|AF|＝eq \f(5,4)x0，解得x0＝1，故选A.]故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．


7. 2 x＝－1 解析 ∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，


∴eq \f(p,2)＝1，∴p＝2.∴抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－1.


8.6 [由抛物线的方程得eq \f(p,2)＝eq \f(4,2)＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.]


9.解 设焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，M点到准线的距离为d，


则d＝|MF|＝10，即9＋eq \f(p,2)＝10，∴p＝2，


∴抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.


∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．


10.解 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，


即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，


∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，


∴eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.课程标准
学科素养
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)


2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)


3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
1、直观想象


2、数学运算


3、逻辑推理
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)


x2＝2py(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)