初中数学第八章 二元一次方程组8.4 三元一次方程组的解法教案设计

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知识点:三元一次方程组的概念


1.三元一次方程组:方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组.


2.解三元一次方程组的基本步骤


(1)利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组,消去同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;


(2)解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;


(3)将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值.


3.解三元一次方程组的基本思想是消元,即通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,进而再化为“一元”.








考点1:巧解方程组


【例1】 解方程组


解:设===k,则x=2k,y=3k,z=5k.


把它们代入②,得2k-6k+15k=22.解得k=2.


进而解得x=4,y=6,z=10.


所以原方程组的解为





点拨：因为①是一个连等的形式,故可以根据其特点令其等于一个常数k,直接将三元转化为一元求解.


考点2:利用三元一次方程组求字母的值


【例2】 在等式y=ax2+bx+c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a、b、c的值.


解:由题意得:解得:





点拨：求a、b、c的值需要三个方程,因此本题提供了三组x、y的对应值,将这三组值分别代入y=ax2+bx+c中,即可得到三个关于a、b、c的三元一次方程.


考点3:由两个三元一次方程求代数式的比


【例3】 已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,求的值.


解:由题意得:





②×4-①,得:11y=22z. 解得:y=2z.


把y=2z代入②,得:x+4z=7z. 解得:x=3z.


∴===-.


点拨：要求出三元一次方程中三个未知数的值,至少需要三个方程,只有两个三元一次方程一般情况下是无法求出三个未知数的值的,可设法将其中一个未知数看作已知数,表示出另外两个未知数.


考点4:方程组的应用


【例4】 汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶,由于行驶中有一个坡度均匀的小山,所以去时用时2小时30分,返回时用时2小时18分,已知汽车在平地上每小时行驶30 km,下坡时每小时行驶40 km,上坡时每小时行驶20 km,求去时上坡路、下坡路及平地的路程.


解:设去时上坡路为x km、下坡路为y km、平地为z km,则根据题意得


解得:





答:去时上坡路为12 km、下坡路为4 km、平地为54 km.


点拨：去时的上坡路返回时是下坡路,去时的下坡路返回时是上坡路.