【数学】安徽省枞阳县浮山中学2019-2020学年高二下学期开学考试（理）

安徽省枞阳县浮山中学2019-2020学年

高二下学期开学考试（理）

试卷分值：150分  考试时间 120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A，B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填涂到答题卡相应位置.

1．若复数满足，则复数在复平面上的对应点在第(   )象限

A.一           B.二             C.三              D.四

2．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（　　）

A． B． 

C． D．

3．已知函数，若f（0）＜0，则此函数的单调减区间是（　　）

A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣3，﹣1]    D．[﹣1，1）

4．已知正实数a，b，c满足：，则（　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b

5．已知，若的最大值为M，的最小值为N，则M+N等于（　　）

A．0    B．2    C．    D．

6．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）  B．（1﹣，+∞）  C．（1，e）   D．（1﹣，1）

7．已知y＝f（x+2）是奇函数，若函数g（x）＝f（x）﹣有k个不同的零点，

记为x1，x2，…，xk，则x1+x2+…+xk＝（　　）

A．0 B．k C．2k D．4k

8．已知函数f（x）＝sincosωx﹣（ω＞0）在[0，]上有且仅有三个零点，

则ω的取值范围是（　　）

A．（，） B．[，] C．[4，] D．[4，）

9．已知函数，若对任意两个不相等的正数x1，x2，

都有恒成立，则a的取值范围为（　　）

A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）

10．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，若方程f（x）＝a有3个不同的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则的取值范围是（　　）

A．（，0 ）   B．（，0）  C．（，）   D．（0，）

11．函数恰有一个零点，则实数的值为（　　）

A．4   B．3   C．   D．

12. 设函数是函数的导函数，当时，,则函数的零点个数为（　　）

A. 3    B.2          C.1        D.0

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知，若，则的表达式为________．

14.已知奇函数满足：对一切，且时，

             .

15.已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为__________

16..已知函数f（x）＝2x﹣a，g（x）＝1+x3，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是　   　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式。

17.(10分)若在是减函数，求的最大值。

18.（12分） 设函数=，．证明：

(1)；        (2)．

19．（12分）已知函数f（x）＝．

（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（m，2）（m＞0）处的切线方程为y＝﹣x+3，求f（x）的单调区间．

（Ⅱ）若方程f（x）﹣1＝0在x∈（，e]上有两个实数根，求实数a的取值范围．

20．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+ax，g（x）＝x2+1﹣2f（x）

（1）讨论函数f（x）在[4，+∞）上的单调性；

（2）若a＞0，当x∈（1，+∞）时，g（x）≥0，且g（x）有唯一零点，证明：a＜1．

21．(本小题12分)

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B以及CD的中点P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD内(含边界)，且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为km．

(I)设，将表示成的函数关系式；

(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．

22．(本小题12分)已知函数：

(I)当时，求的最小值；

(II)对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围．

参考答案

一．选择题：

二．填空题：

13．    14.     15.3        16.[﹣1，1]

三、解答题

17（10分）解法一，

且函数在区间上单调递减，则由，得．

因为在上是减函数，所以，解得，

所以的最大值是，

解法二  因为，所以，

则由题意，知在上恒成立，

即，即，在上恒成立，结合函数

的图象可知有，解得，所以，

所以的最大值是，

18.（12分） 解：(1)因为， 由于，

有，即，所以

(2)由得，

故，所以.

由(1)得，又因为，所以，

综上，．

19．（12分）解：（Ⅰ）f’（x）＝﹣+．由题意可得2＝﹣m+3，解得m＝1，

∴，解得a＝2．∴f（x）＝+lnx，f’（x）＝﹣+＝．

当x＞2时、f'（x）＞0，当0＜x＜2时、f'（x）＜0，

∴f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．

（Ⅱ）方程f（x）﹣1＝0在x 上有俩个实数根

即方程a＝x（1﹣Inx）在x 上有两个实数根，

令h（x）＝x（1﹣lnx），则h'（x）＝1﹣lnx﹣1＝﹣Inx，

当 ≤x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；

当1＜x≤e时，h’（x）＜0， h（x）单调递减∴h（x）max＝h（1）＝1．

又h（）＝，h（e）＝0，∴．即实数a的取值范围是（，1）

20．（12分）解：（1）依题意，f′（x）＝+a＝

若a＝0，则f′（x）＝＞0，故函数f（x）在[4，+∞）上单调递增；

若a≠0，令f′（x）＝0，解得x＝﹣，

①若a＞0，则﹣＜0，则f′（x）＞0，函数f（x）在[4，+∞）上单调递增；

②若a≤﹣，则﹣≤4，则f′（x）≤0，则函数f（x）在[4，+∞）上单调递减；

③﹣＜a＜0，则﹣＞4，则函数f（x）在[4，﹣]单调递增，

在（﹣，+∞）上单调递减；

综上所述，a≥0时，函数f（x）在[4，+∞）上单调递增，a≤﹣时，函数f（x）在[4，+∞）

单调递减，

﹣＜a＜0时，函数f（x）在[4，﹣]单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减．

（2）证明：依题意，x2+1﹣4lnx﹣2ax≥0，而g′（x）＝2x﹣﹣2a＝，

令g′（x）＝0，解得x＝＞1，因为a＞0，故＞1，

故g′（x）在（1，+∞）上有唯一零点x0＝，

又g′（x）＝2（﹣+x﹣a）故﹣+x0﹣a＝0①

要使g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，且g（x）＝0有唯一解，只需g（x0）＝0，

即﹣2lnx0+（x20+1）﹣ax0＝0②

由①②可知，﹣2lnx0+（x2+1）﹣x0（﹣+x0）＝0，故﹣2lnx0﹣x20+＝0，

令h（x0）＝﹣2lnx0﹣x20+，显然h（x0）在（1，+∞）上单调递减，

因为h（1）＝2＞0，h（2）＝﹣2ln2+＜0，故1＜x0＜2，

又a＝﹣+x0在（1，+∞）单调递增，故必有a＜1．

21.（12分）（I）由条件PQ垂直平分AB，若，则，

故，

所以，

所求函数关系式为

（II）

因为可看作点和点的连线的斜率，

由单位圆知，当，所以，

所以当，即点P位于线段AB的中垂线上且距离处时，

三条排污管管道总长最短为.

22.（12分）解：（I）…

时，递增，

时，递减，

时， 时，

递增，所以

综上，当； 当

当

（II）因为递增，

的值域为

（i）当时，在上单调递增，

又，所以即

（ii）当时，因为时，递减，时，递增，

且，所以只需即，

所以

（iii）当时，因为上单调递减，且，

所以不合题意.综合以上，实数的取值范围是.