2020滁州明光中学高二下学期开学考试数学（理）试题含解析

数学试卷（理科)

时间：120分钟满分：150分

第I卷（选择题)

一、单选题（共12题，每题5分)

1．已知是虚数单位，复数满足，则（   ）

A． B．2 C．1 D．

2．下列导数运算正确的是（   ）

A． B．

C． D．

3．下列说法错误的是( )

A．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”

B．“”是“”的充分不必要条件

C．若且为假命题，则、均为假命题

D．命题：“，使得”，则：“，均有”

4．函数的大致图象为（    ）

A． B． C． D．

5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数的导函数为，且满足，则等于（）

A．1 B． C． D．

7．用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为(    )

A． B． C． D．

8．2019年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作.为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为（      ）

A． B．

C． D．

9．已知，是双曲线的两个焦点，点A是双曲线的右顶点，是双曲线的渐近线上一点，满足，如果以点A为焦点的抛物线经过点M，则此双曲线的离心率为　　

A． B．2 C． D．

10．的展开式中，各项系数的和为32，则该展开式中x的系数为（    ）

A．10 B． C．5 D．

11．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，SA，AB=2，BC.若E，F是SC的三等分点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为(    )

A． B． C． D．

12．设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集为（    ）

A．   B． C．   D．

第II卷（非选择题)

二、填空题（共4题，每题5分)

13．“或”是“”的__________条件（填写“充分非必要、必要非充分、充要、既不充分也非必要”）

14．在一个童话故事里，狮子每逢星期一、二、三撒谎，老虎每逢星期四、五、六撒谎.某天狮子和老虎进行了一段对话.狮子说：“昨天是我的撒谎日.”老虎说：“昨天也是我的撒谎日.”根据以上对话，判断当天是星期__________.

15．顶点在坐标原点，焦点为的抛物线上有一动点，圆上有一动点，则的最小值为__

16．如图，平行六面体中，,,则__________．

三、解答题(共6题，17题10分，18-22题均12分)

17．已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36．

（1）求的值；

（2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项．

18．已知过抛物线 的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且 .

（1）求抛物线的方程;

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求的值.

19．已知函数.

（1）若函数在时取得极值，求实数的值；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

20．如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，的最小值为，且该椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上不同的两点，且，若，试问直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

22．已知函数，曲线在点处的切线为.

（1）求，的值；

（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值.

参考答案

1．A

【解析】

【分析】

运用复数的除法运算法则，求出复数的表达式，最后利用复数求模公式，求出复数的模.

【详解】

，

所以，故本题选A.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力.

2．D

【解析】

【分析】

根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.

【详解】

∵根据函数的求导公式可得，∵，∴A错；∵，∴B错；∵，C错；D正确.

【点睛】

本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.

3．C

【解析】

试题分析：若“且”为假命题，则中至少有一个是假命题，而不是均为假命题．故C错．

考点：1.四种命题；2.充分条件与必要条件；3.逻辑连接词；4.命题的否定.

4．A

【解析】

【分析】

求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.

【详解】

,故在上单调递增,上单调递减,上单调递增.且当时.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了函数图像的判断,属于中等题型.

5．A

【解析】

【分析】

计算双曲线的焦点为，离心率，得到椭圆的焦点为，离心率，计算得到答案.

【详解】

双曲线的焦点为，离心率，

故椭圆的焦点为，离心率，即.

解得，故椭圆标准方程为：.

故选：.

【点睛】

本题考查了椭圆和双曲线的离心率，焦点，椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.

6．B

【解析】

，所以，得，故选B。

7．B

【解析】

【分析】

分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.

【详解】

由题意知，当时，

有，

当时，

等式的左边为，

所以左边要增乘的代数式为.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从到，考查学生仔细观察的能力，是中档题.

8．A

【解析】

【分析】

先计算总共可能的分配情况,再分析甲、乙两名专家安排在同一乡镇的情况数再求概率即可.

【详解】

5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研,分两大类：

①其中一个乡镇有3个专家,另外两个分别有1个,共种情况.

②其中一个乡镇有1个专家,另外两个分别有2个,共种情况.

故共种情况.

其中甲、乙两名专家安排在同一乡镇可能的情况同上分析,有

种可能.

故甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了利用排列组合方法求解概率的问题,需要根据题意分情况求总的情况数与满足条件的情况数,再进行概率的求解.属于中档题.

9．C

【解析】

由题意得：

，

即

是双曲线的渐近线上一点，

，代入得

在抛物线上

则，

得

故选

10．A

【解析】

【分析】

令得各项系数和，求得，再由二项式定理求得展开式中x的系数．

【详解】

令得，，

二项式为，展开式通项为，令，，

所以的系数为．

故选：A.

【点睛】

本题考查二项式定理，考查二项展开式中各项系数的和．掌握二项式定理是解题关键．赋值法是求二项展开式中各项系数和的常用方法．

11．B

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角．

【详解】

以中轴，过与平面垂直的直线为轴，如图，建立空间直角坐标系，因为SA⊥底面ABC，所以与轴平行，

则，，，，，，

，，

.

故选：B．

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，通过建立空间直角坐标系，用向量法计算夹角的余弦，考查学生的运算求解能力．

12．B

【解析】

【分析】

设，利用导数性质得在定义域上单调递增，从而得到，由此能求出（其中为自然对数的底数）的解集．

【详解】

解：设，

则，

，，

，在定义域上单调递增，

，，

，

．，

（其中为自然对数的底数）的解集为．

故选：．

【点睛】

本题考查函数单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．

13．必要不充分

【解析】

【分析】

取得到，不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题为真，得到必要性；得到答案.

【详解】

取得到，故不充分；

考虑必要性对应命题的逆否命题：若且 ，则易知成立，必要性；

故答案为：必要不充分

【点睛】

本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力，取特殊值可以快速得出结论，是解题的关键.

14．四

【解析】

【分析】

既然他们说同一天是他们撒谎日，可见必有一个撒谎，一个没有撒谎，所以需要通过假设，从而最终得出结论．

【详解】

可先假设狮子说的是实话，则当天应是星期四，再结合题意可得，这种假设成立；

当假设狮子说的是谎话，则当天可能是星期二或星期三，老虎说的应该是实话，而题中老虎说：“昨天也是我的撒谎日．”所以假设不成立，所以第一种假设正确．

故答案为：四．

【点睛】

本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．

15．4

【解析】

【分析】

先求得抛物线的标准方程、抛物线的准线方程.利用抛物线的定义，将转化为点到准线的距离，由此判断出的最小值等于圆心到准线的距离减去半径，进而求出最小值.

【详解】

由题知，抛物线方程为，其准线为，设为到准线的距离，则的最小值等于圆心到准线的距离减去半径，即.

故答案为：4

【点睛】

本小题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的准线方程，考查抛物线的定义，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.

16．

【解析】

【分析】

用基底表示出，然后利用向量数量积的运算，求得.

【详解】

因为，

所以

，

所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.

17．（I）；（II）.

【解析】

分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值;

(2) 二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求得r的值，可得展开式中含的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项.

详解：（I）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为，

,,   

得或（舍去）.       

(II)的通项公式为：

，令8﹣5k=3，求得k=1，

故展开式中含的项为．

又由知第5项的二项式系数最大，此时 .

点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

18．（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.

【解析】

【详解】

试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.

试题解析：

 (1)直线AB的方程是y＝2（x-），与y2＝2px联立，消去y得8x2－10px＋2＝0，

由根与系数的关系得x1＋x2＝ .由抛物线定义得|AB|＝＋p＝9，故p=4

(2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．

设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，

又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，

解得λ＝0或λ＝2.

【点睛】

求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.

19．(1)；(2)

【解析】

试题分析：（1）由 ，依题意有： ，即 ，通过检验满足在 时取得极值． （2）依题意有： 从而 ，令，得：，，通过讨论① 和②，进而求出 的取值范围.

试题解析：

（1），

依题意有，即，解得.

检验：当时，.

此时，函数在上单调递减，在上单调递增，满足在时取得极值.

综上可知.

（2）依题意可得：对任意恒成立等价转化为在上恒成立.

因为，

令得：，.

①当，即时，函数在上恒成立，则在上单调递增，

于是，解得，此时；

②当，即时，时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，

于是，不合题意，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

【方法点睛】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.

20．(Ⅰ)见证明； (Ⅱ) ．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先证得，再证得，于是可得平面，根据面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求．

【详解】

（Ⅰ）在中，是斜边的中点，

所以.

因为是的中点，

所以，且，

所以，

所以.

又因为，

所以，

又，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）方法一：取中点，连，则，

因为，

所以.

又因为，，

所以平面，

所以平面．

因此是直线与平面所成的角．

故，

所以.

过点作于，则平面，

且．

过点作于，连接，

则为二面角的平面角．

因为，

所以，

所以，

因此二面角的余弦值为．

方法二：

如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．

因为 (同方法一,过程略)

则，,．

所以,,，

设平面的法向量，

则，即，取,得．

设平面的法向量

则，即，取,得．

所以，

由图形得二面角为锐角，

因此二面角的余弦值为．

【点睛】

利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．

21．（1）（2）直线过定点

【解析】

【分析】

（1）依题意得到方程组解得；

（2）已知且，可知点同在轴的上方或下方，

由对称性可知，若动直线经过一个定点，则该定点在轴上，因为，所以点关于轴的对称点在直线上，

设直线的方程为，则直线的方程为，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，由直线的斜率，得直线的方程为，令，计算其横坐标是否为定值.

【详解】

解：（1）依题意得，解得，所以椭圆；

（2）直线过定点，

证明：已知且，可知点同在轴的上方或下方，

由对称性可知，若动直线经过一个定点，则该定点在轴上，

因为，所以点关于轴的对称点在直线上，

设直线的方程为，则直线的方程为，

联立，消去整理得又，

所以，

由直线的斜率，得直线的方程为，

令，得：，

由，

所以

即，

所以直线过定点.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．

22．（1），；（2）3

【解析】

【分析】

（1）根据切线方程可求得且，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得在上恒成立；令，，通过导数可知，当时，，当时，，从而可得，可求得，则，得到所求结果.

【详解】

（1）由得：

由切线方程可知：

，，解得：，

（2）由（1）知

则时，恒成立等价于时，恒成立

令，，则.

令，则

当时，，则单调递增

，    ，使得

当时，；时，

，即正整数的最大值为

【点睛】

本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.