【数学】陕西省榆林市第二中学2018-2019学年高二下学期模拟（开学）考试（理）
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高二下学期模拟（开学）考试（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）
1．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( )
A．a∥b，a⊥b B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B． C．1 D．
3．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | t | 50 | 70 |
根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为=6.5x+17.5，则t的值为（ ）
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
5．已知平面α，直线lα，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
6．如图给出的是计算1＋2＋4＋…＋219的值的一个算法框图，则其中判断框内应填入的是( )
A．i＝19 B．i≥20 C．i≤19 D．i≤20
7．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线x2－＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程是( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
9．四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F分别为PB，PD的中点，则P到直线EF的距离为( )
A．1 B． C. D．
10．已知抛物线y2＝8x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为( )
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0 C．2x－y＋4＝0 D．2x＋y＋4＝0
11．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是( )
A. B． C. D．
12．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3 C. D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．执行如下图所示的程序框图，则输出的k的值是 .
14．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________．
15．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝________．
16．命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD＝AA1＝1，AB＝2.
(1)求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；
(2)求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．
18．(本小题满分12分)已知直线l：y＝x＋t与椭圆C：x2＋2y2＝2交于A，B两点．
(1)求椭圆C的长轴长和焦点坐标；
(2)若|AB|＝，求 t的值．
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥PABC中，PC⊥底面ABC，且∠ACB＝90°，AC＝BC＝CP＝2.
(1)求二面角BAPC的余弦值；
(2)求点C到平面PAB的距离．
20.(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260）， [260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
21．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
22．(本小题满分12分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(－1，)在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当·＝，求k的值．
参考答案
一、选择题
1—5：CBBCB 6—10：BACDA 11—12： CA
二、填空题
13、5 14、＋＋ 15、3 16、[－2，2 ]
三、解答题
17．(本小题满分10分)
解：(1)证明：在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BC.
因为底面ABCD是矩形，所以DC⊥BC.又DD1∩DC＝D，所以BC⊥平面DCC1D1.
又BC平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面DCC1D1.
(2)取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为AD＝AA1＝1，AB＝2，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)．
所以＝(0，－2，1)，＝(1，0，1)，
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线CD1与A1D所成角的余弦值是.
18．(本小题满分12分)
解：(1)因为x2＋2y2＝2，所以＋y2＝1，所以a＝，b＝1，所以c＝1，
所以长轴为2a＝2，焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为消元化简得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，
所以
所以|AB|＝|x1－x2|＝，又因为|AB|＝，
所以＝，解得t＝±1.
19．(本小题满分12分)
解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系．
则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)．
易得面PAC的法向量为n1＝(1，0，0)，＝(0，2，－2)，＝(2，0，－2)，
n2＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
∴，即.可取n2＝(1，1，1)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.∴二面角BAPC的余弦值为.
(2)d＝＝＝，∴点C到平面PAB的距离为.
20.(本小题满分12分)
解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．
21．(本小题满分12分)
解：(1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理，
得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1·y2＝－1.
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2.∴y·y＝x1x2.
∴kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0.
令y＝0，则x＝－1，即N(－1，0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·＝ .
∵S△OAB＝，∴＝ ，解得k＝±.
22．(本小题满分12分)解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，
则＝1，即m2＝k2＋1.由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ>0⇒k2>0⇒k≠0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，
·＝x1x2＋y1y2＝＝，∴k＝±1.
