陕西省宝鸡市2019届高三2月模拟考试数学（理）试题

陕西省宝鸡市2019届高三2月模拟卷理科数学（三）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求，再根据并集定义求结果.

【详解】因为，所以，选C.

【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题.

2.在区间上任意取一个数，使不等式成立的概率为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.

【详解】由得，所以所求概率为，选D.

【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

3.已知各项为正数的等比数列满足，，则（    ）

A. 64 B. 32 C. 16 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求

【详解】由得选B.

【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.

4.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根据欧拉公式计算，再根据复数几何意义确定象限.

【详解】因为，所以对应点，在第二象限，选B.

【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.

5.已知、是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先作可行域，再根据图象确定的最大值取法，并求结果.

【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以的最大值为BD=,选A.

【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

6.若均不为1的实数、满足，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

举反例说明A,C,D不成立，根据基本不等式证明B成立.

【详解】当时; 当时; 当时;

因为，，所以，

综上选B.

【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.

7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.  B.  C.  D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.

【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为

,

故选A.

【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.

8.如图，边长为1正方形，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积为，则函数的图像是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据条件列，再根据函数图象作判断.

【详解】当时，;

当时，;

根据正切函数图象可知选D.

【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.

9.下边程序框图算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入、、的值分别为6、8、0，则输出和的值分别为（    ）

A. 0，3 B. 0，4 C. 2，3 D. 2，4

【答案】C

【解析】

【分析】

执行循环，直至终止循环输出结果.

【详解】执行循环，得，结束循环，输出，此时,选C.

【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

10.已知函数的图像关于轴对称，则的图像向左平移（    ）个单位，可以得到的图像（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据条件确定关系，再化简，最后根据诱导公式确定选项.

【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以，，即，因此，

从而,选D.

【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.

11.已知一条抛物线恰好经过等腰梯形的四个顶点，其中，，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

不妨设抛物线标准方程，将条件转化为坐标，代入解出，即得结果.

【详解】不妨设抛物线标准方程，可设，

则，即抛物线的焦点到其准线的距离是，选B.

【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.

12.已知正方体的棱长为2，为的中点.若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据线面垂直确定平面，再根据截面形状求周长.

【详解】显然在正方体中平面,所以 ,

取AC中点E, 取AE中点O,则,

取A1C1中点E1, 取A1E1中点O1,过O1作PQ//B1D1,分别交A1B1,A1D1于P,Q

从而平面,四边形为等腰梯形，

周长为，选A.

【点睛】本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线C：，点P (2，1) 在C的渐近线上，则C的率心率为          ．

【答案】

【解析】

试题分析：根据双曲线的方程，可知焦点在x轴上，结合P (2，1)在渐近线上，所以即所以，从而有其离心率．

考点：双曲线的离心率．

14.的展开式中的常数项的值是__________．（用数学作答）

【答案】60

【解析】

【分析】

根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果.

【详解】因为，

所以令得，即常数项为

【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

15.设的外心满足，则__________．

【答案】

【解析】

分析】

根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.

【详解】设BC中点为M,所以,因此P为重心，而为的外心，所以为正三角形，.

【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.

16.数列的首项为，其余各项为或，且在第个和第个之间有个，即数列为：，，，，，，，，，，，，，…，记数列的前项和为，则__________.（用数字作答）

【答案】3993

【解析】

【分析】

先由题意，得到第个1为数列第项，根据题意，分组求和，即可求出结果.

【详解】由题意，第个1为数列第项，

当时，；

当，时；

所以前2019项有45个1和个2，

因此.

【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记分组求和的方法即可，属于常考题型.

三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，．

（1）求的值；

（2）若角为锐角，求的值及的面积．

【答案】（1）（2），

【解析】

【分析】

（1）结合题设条件和正弦定理，即可求解；

（2）由余弦的倍角公式，求得，，再结合余弦定理和三角形的面积公式，即可求解.

【详解】（1）在中，因为，，

由正弦定理，解得

（2）因为，又，

所以，．

由余弦定理，得，

解得或（舍），所以.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

18.如图（1），等腰梯形，，，，、分别是的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点，如图（2）.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据线面垂直的判定定理，先证明面，再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；

（2）过作于，过作BE的平行线交AB于，得到面，又，EF，所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，用空间向量的方法，分别求出平面和平面的法向量，计算向量夹角余弦值，即可求出结果.

【详解】（1）因为，是的两个三等分点，易知，是正方形，故，

又，且，所以面，

又面，所以面.

（2）过作于，过作BE的平行线交AB于，则面，

又，EF，所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，

则，∴，，

设平面的法向量为，

则，∴，，

因此，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直，面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.

19.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由三角形周长可得，求出，再根据即可写出椭圆标准方程（Ⅱ）假设存在常数满足条件，分两类讨论（1）当过点的直线的斜率不存在时，写出A,B坐标，代入可得（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系代入 中化简即可求出.

【详解】（Ⅰ）由题意，，，

∵的周长为6，∴

∴，∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）假设存在常数满足条件.

（1）当过点的直线的斜率不存在时，，，

∴ ，

∴当时，；

（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，

联立，化简得，

∴，.

∴

∴，解得：即时，；

综上所述，当时，.

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类讨论的思想，属于难题.

20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为.

（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；

（Ⅱ）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.

①当，时，求的分布列；

②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）①见解析，②当时，用分组的办法能减少检验次数.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.

【详解】（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，

设事件：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率        

（Ⅱ）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为

②分组时，每人检验次数的期望如下

∴

不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需 即

所以当时，用分组的办法能减少检验次数.

【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.

21.已知函数，其中为大于零的常数

（Ⅰ）讨论的单调区间；

（Ⅱ）若存在两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论导函数符号，最后根据导函数符号确定函数单调区间; （Ⅱ）先根据参变分离法转化为求对应函数最值问题，再根据极值点条件化函数为一元函数，最后利用导数求对应函数单调性以及最值，即得结果.

【详解】（Ⅰ） ，

（1）当时，，在在上单调递增 

（2）当时，设方程的两根为，

则，

∴，，

∴在，上单调递增，上单调递减 

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，

由∴

因为

所以   

设，

令

当时，

故在上单调递减，所以

综上所述，时，恒成立.

【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为，.

（Ⅰ）求直线极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线与曲线的一个交点为点（不为极点），直线与的交点为，求.

【答案】（Ⅰ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可（Ⅱ）利用极坐标的极径的几何意义分别求 ，根据 求解.

【详解】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数）

消参得：，

由 代入直角坐标方程可得

 （Ⅱ）法1：由 得，所以

点的极坐标 ，又点在直线上，所以设的极坐标为  

由得，所以，

所以.         

法2：曲线与曲线的直角坐标为，

由  得点的坐标  

所以直线的方程为

由   得点的坐标为  

所以，

或者：  

【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题.

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数（为实数）

（Ⅰ）当时，求函数的最小值；

（Ⅱ）若，解不等式

【答案】（1）1（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据绝对值不等式的性质即可求出的最小值（Ⅱ）分区间讨论去掉绝对值号，解含参不等式即可.

【详解】（Ⅰ）时，

所以的最小值为1

（Ⅱ）①时，，，

因为

所以此时解得： 

②时，，，

此时： 

③时，，，此时无解；

综上：不等式的解集为

【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想方法，属于中档题.