【数学】安徽省滁州市民办高中2018-2019学年高二上学期第三次月考（理） 试卷
展开安徽省滁州市民办高中2018-2019学年
高二上学期第三次月考（理）
考生注意：
- 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
- 本卷命题范围：人教A版选修2-1等 。
第I卷 选择题 （60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。）
1.已知集合A＝{x∈R|＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．－2＜m＜2
2.若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是( )
A．b≥2或b≤－2 B．b≥2或b≤－2
C．－2≤b≤2 D．－2≤b≤2
3.已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞)
C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞)
4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为( )
A． B．－
C． D．－
5.已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m≤0，那么( )
A．“￢p”是假命题 B．“￢q”是真命题
C．“p∧q”为真命题 D．“p∨q”为真命题
6.如下图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )
A．0 B．
C． D．
7.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
8.过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
9.△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
10.如下图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为( )
A． B．
C． D．
11.如下图所示，在几何体A－BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为( )
A． B．
C．2 D．
12.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A． B．
C． D．
第II卷 非选择题 （90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
13.已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是________．
14.过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN以直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
15.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
16.如下图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．
三、解答题(共6小题 ,共70分)
17. (10分)求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.
18. (12分)三棱柱ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．
(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
(2)求点C到平面AB1D的距离．
19. (12分) 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
(2)￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20. (12分)已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
21. (12分)已知圆C：x2＋y2－6y－16＝0与x轴交于F1、F2两点，与y轴正半轴交于点B，以F1、F2为焦点，且经过点B的椭圆记为G.
(1)求椭圆G的方程；
(2)根据椭圆的对称性，任意椭圆都有一个四边都与椭圆相切的正方形，这个正方形称为椭圆的外切正方形，试求椭圆G外切正方形四边所在直线的方程．
22. (12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积．
参考答案
1.C
2.B
3.C4.D
5.D
6.A
7.C
8.D
9.B
10.D
11.B
12.B
13.(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
14.2
15.3－1
16.
17.证明 必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
⇒即，解得k<－2.
充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1
＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2
＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，
∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.
证明的“结论”，即p⇒q.
18.(1)如图所示，取AB1中点M，连接DM，
则＝＋＋，又＝＋＋，
∴2＝＋＝＋，
2＝(＋)＝0,2＝(＋)(－)＝||2－||2＝0，
∴DM⊥AA1，DM⊥AB，又AA1∩AB＝A，
∴DM⊥平面ABB1A1，
∵DM⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1；
(2)∵A1B⊥DM，A1B⊥AB1，DM∩AB1＝M，
∴A1B⊥平面AB1D.∴是平面AB1D的一个法向量，
∴点C到平面AB1D的距离为d＝＝＝＝＝a.
19.由x2－4ax＋3a2＜0，a＞0得a＜x＜3a，即p为真命题时，a＜x＜3a，
由得,即2＜x≤3，即q为真命题时2＜x≤3.
(1)a＝1时，p：1＜x＜3，
由p∧q为真知p、q均为真命题，则,得2＜x＜3，
所以实数x的取值范围为(2,3)．
(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，由题意知p是q的必要不充分条件，
所以BA，有,∴1＜a≤2，
所以实数a的取值范围为(1,2]．
20.由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知．
|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.
所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
21.(1)由得F1(－4,0)、F2(4,0)，
解得B(0,8)，所以c＝4，b＝8，a＝＝4，
所以椭圆G的方程是＋＝1.
(2)根据椭圆的对称性，设外切正方形一边的方程为y＝x＋b，
由得9x2＋10bx＋5b2－320＝0，由Δ＝(10b)2－4×9×(5b2－320)＝0，解得b＝±12，
所以正方形四边所在直线为y＝x±12，y＝－x±12.
22. (1)解 ∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－)在双曲线上，
可得λ＝42－(－)2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明 ∵点M(3，m)在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)解 S△F1MF2＝×4×|m|＝6.
