【数学】河北省邯郸市大名县第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考（重点班）试卷（解析版）
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高二上学期第一次月考（重点班）试卷
| 一、单选题（每题5分，共60分) |
1．下列命题中的假命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（ ）
摄氏温度（） | 4 | 6 | 11 |
用电量度数 | 10 | 7 | 4 |
A．12.6 B．13.2 C．11.8 D．12.8
4．已知组数据，，…，的平均数为2,方差为5,则数据2+1，2+1，…，2+1的平均数与方差分别为( )
A．=4,=10 B．=5,=11
C．=5,=20 D．=5,=21
5．等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．学校医务室对本校高一名新生的实力情况进行跟踪调查，随机抽取了名学生的体检表，得到的频率分布直方图如下，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一新生中视力在以下的人数为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．，
B．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．的充要条件是
8．已知函数的零点是和（均为锐角），则（ ）
A． B． C． D．
9．一个等比数列的前项和为，前项和为，则前项和为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2016
11．在中，角的对边分别是，若，且三边成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
12．已知命题；命题．若为假命题，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
| 二、填空题每题5分，共20分 |
13．在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cosA>sinB”是“△ABC是钝角三角形”的_____条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)
14．某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是_______．
15．已知函数，图象上一个最高点的横坐标为，与相邻的两个最低点分别为，.若是面积为的等边三角形，则函数解析式为__________.
16．如图，曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，，设正三角形的边长为（记为），.数列的通项公式=______.
| 三、解答题（17题10分，18-22每题12分) |
17．的内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
18．为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位: )进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在之间的男生人数比身高在之间的人数少1人.
(1)若身高在以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人?
(2)从所抽取的样本中身高在和的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185的概率是多少?
19．已知等差数列满足，且是的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值.
20．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如表1
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
储蓄存款y（千亿元） | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到表2：
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
（1）求z关于t的线性回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（3）用所求回归方程预测到2010年年底，该地储蓄存款额可达多少？
附：对于线性回归方程，
其中, .
21．如图，在中，是的中点，，，的面积为.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）判断是否为锐角三角形，并说明理由.
22．在数列， 中，已知，且.
(Ⅰ)求数列和的通项公式；
(Ⅱ)求数列的前项和
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
对赋值直接排除即可.
【详解】
对于B选项，当时，满足，
但是，与矛盾.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断，考查赋值法及转化思想，属于基础题。
2．A
【解析】
【分析】
根据已知求出b的值，再求三角形的面积.
【详解】
在中，，
由余弦定理得：，
即，
解得：或.
∵是钝角三角形，∴（此时为直角三角形舍去）.
∴的面积为.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
计算数据中心点，代入回归方程得到答案.
【详解】
， ，中心点为
代入回归方程
故答案选A
【点睛】
本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.
4．C
【解析】
【分析】
根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案．
【详解】
根据题意，数据，，，的平均数为2，方差为5，
则数据，，，的平均数，
其方差；
故选：．
【点睛】
本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式，属于基础题．
5．C
【解析】
【分析】
取代入计算得到答案.
【详解】
，
又∵当时，，．
故选:C．
【点睛】
本题考查了等差数列前n项和与通项的关系，判断是解题的关键.
6．C
【解析】
【分析】
由频数相加为100，后四组成等差数列，计算每个组别的人数，再计算视力在以下的频率为，据此得到答案.
【详解】
由图知：第一组人，第二组人，第三组人，
后四组成等差数列，和为90
故频数依次为，，，
视力在以下的频率为，故高一新生中视力在以下的人数为人.
故答案选C
【点睛】
本题考查了频率直方图，等差数列，概率的计算，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.
7．B
【解析】
【分析】
取特殊值来判断A选项中命题的正误，取特殊数列来判断B选项中命题的正误，求出不等式，利用集合包含关系来判断C选项命题的正误，取特殊向量来说明D选项中命题的正误。
【详解】
对于A选项，当时，，所以，A选项中的命题错误；
对于B选项，若，则等比数列的公比为，但数列是递减数列，若，等比数列是递增数列，公比为，所以，“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，B选项中的命题正确；
对于C选项，解不等式，得或，
由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，C选项中的命题错误；
对于D选项，当时，，但与不一定垂直，所以，D选项中的命题错误。
故选：B.
8．B
【解析】
【分析】
将函数零点转化的解，利用韦达定理和差公式得到，得到答案.
【详解】
的零点是方程的解
即
均为锐角
故答案为B
【点睛】
本题考查了函数零点，韦达定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
9．B
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质得到也是等比数列，公比为3，进而得到
【详解】
等比数列的前项和为，前项和为，即
根据等比数列的性质得到也是等比数列，公比为3，故得到
故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了等比数列的性质的应用属于简单题.
10．C
【解析】
【分析】
利用和关系得到数列通项公式，代入数据得到答案.
【详解】
已知数列的前n项和为，且满足，
相减：
取
答案选C
【点睛】
本题考查了和关系，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力.
11．C
【解析】
【分析】
先利用正弦定理边角互化思想得出，再利余弦定理以及条件得出可得出是等边三角形，于此可得出的值。
【详解】
，由正弦定理边角互化的思想得，
，，，则.
、、成等比数列，则，由余弦定理得，
化简得，，则是等边三角形，，故选：C。
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题。
12．D
【解析】
【分析】
由为假命题，知均为假命题，再分别计算命题范围得到答案.
【详解】
由为假命题，知均为假命题.
命题
为假命题
命题
为假命题
综上知：
故答案选D
【点睛】
本题考查命题的真假判断，将命题转化为等价的取值范围是解题的关键.
13．充要
【解析】
【分析】
利用诱导公式及余弦函数的单调性和充要条件的定义可得答案．
【详解】
因为，所以，
又因为角，均为锐角，所以为锐角，
又因为余弦函数在上单调递减，
所以，所以
中，，所以，
所以为钝角三角形，
若为钝角三角形，角、均为锐角
所以，
所以
所以，
所以，
即
故是为钝角三角形的充要条件．
故答案为：充要
【点睛】
本题考查诱导公式及余弦函数的单调性及三角形的基本知识，以及充要条件的定义，属中档
题．
14．
【解析】
【分析】
根据古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】
从名教师中选派名共有：种选法
名男教师参加培训有种选法
所求概率：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
作出三角函数的图象，结合三角形的面积求出三角函数的周期和，即可得到结论．
【详解】
不妨设是距离原点最近的最高点，
由题意知，
是面积为4的等边三角形，
，即，
则周期，即，则，
三角形的高，则，
则，
由题得，所以
又
所以，
即，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式求解，根据条件求出三角函数的周期和振幅是解决本题的关键．
16．
【解析】
【分析】
先得出直线的方程为，与曲线的方程联立得出的坐标，可得出，
并设，根据题中条件找出数列的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出数列的通项公式，即利用求出数列的通项公式。
【详解】
设数列的前项和为，则点的坐标为，
易知直线的方程为，
与曲线的方程联立，解得，；
当时，点、，所以，点，
直线的斜率为，则，即，
等式两边平方并整理得，可得，
以上两式相减得，即，
易知，所以，即，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，.
故答案为：。
【点睛】
本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能力，属于难题。
17．（1）；（2）8.
【解析】
【分析】
(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；
（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为，所以，
则，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，即，
因为，所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.
18．(1)12600；(2) .
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率，于是可得答案；
（2）先计算出样本容量，再找出样本中身高在中的人数，从而利用古典概型公式得到答案.
【详解】
（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有人.
（2）由所抽取样本中身高在的频率为，可知身高在的频率为，所以样本容量为，则样本中身高在中的有3人，记为，身高在中的有2人，记为，从这5人中再选2人，共有，，，，，，，，，10种不同的选法，而且每种选法都是互斥且等可能的，所以，所选2人中至少有一人身高大于185的概率.
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图，古典概型的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力和分析能力，难度中等.
19．(1) (2)8
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意列出有关和的方程组，可解出和的值，从而可求出数列的通项公式；
（2）先得出，利用裂项法求出数列的前项和，然后解不等式，可得出的取值范围，于此可得出的最大值。
【详解】
（1）设等差数列的公差为，，即，
∴，
是，的等比中项，
∴，即，解得.
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）得
∴
.
由，得，∴使得成立的最大正整数的值为8.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查裂项求和法，解等差数列的通项公式，一般是利用方程思想求出等差数列的首项和公差，利用这两个基本两求出等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题。
20．（1）；（2）；（3）3.6千亿．
【解析】
【分析】
（1）利用最小二乘法求出z关于t的线性回归方程；
（2）通过，把z关于t的线性回归方程化成y关于x的回归方程；
（3）利用回归方程代入求值。
【详解】
解：（1）由表中数据，计算（1+2+3+4+5）＝3，
（0+1+2+3+5）＝2.2，
tizi＝1×0+2×1+3×2+4×3+5×5＝45，
12+22+32+42+52＝55，
所以1.2，
b2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，
所以z关于t的线性回归方程为z＝1.2t﹣1.4；
（2）把t＝x﹣2010，z＝y﹣5代入z＝1.2t﹣1.4中，得到：
y﹣5＝1.2（x﹣2010）﹣1.4，
即y关于x的回归方程是y＝1.2x﹣2408.4；
（3）由（2）知，计算x＝2010时，y＝1.2×2010﹣2408.4＝3.6，
即预测到2010年年底，该地储蓄存款额可达3.6千亿．
【点睛】
本题主要考查了非线性回归模型问题，采用适当的变量替换，把问题转化成线性回归问题，是求解非线性回归问题的主要手段。
21．（Ⅰ）AB=4,AC=；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先根据三角形面积公式求，再根据余弦定理求；（Ⅱ）根据正弦定理求解；（Ⅲ）根据勾股定理及三边关系判断.
【详解】
（Ⅰ）由，得.
因为是的中点，所以.在中，
由余弦定理得.
故.
（Ⅱ）在中，由正弦定理，.
所以.
（Ⅲ）是锐角三角形.因为在中，.
所以是最大边，故是最大角.且.
所以为锐角.所以为锐角三角形.
【点睛】
本题考查正弦定理余弦定理在解三角形中的综合应用.判断三角形的形状也可用余弦定理求最大角的余弦值判断.
22．（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）的通项按和分别求；（Ⅱ）错位相减法求和.
【详解】
（Ⅰ）由已知得数列为首项为，公比为的等比数列
当时，
，
当时，
（Ⅱ）
