【数学】河北省保定市2019-2020学年高二上学期第四次月考（文）试题
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数学（文）试题
（考试时间：120分钟 分值：150分）
一、 本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.定义集合运算：A☆B=.设集合，，则集合A☆B的元素之和为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
2.抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C. D．
3.已知，，若复数z满足（ ）
A. B. C. D.
4.设，，，则（ ）
A . B. C. D.
5.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（ ）
窗 口 | 1 | 2 | 过 道 | 3 | 4 | 5 | 窗 口 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |||
… | … | … | … | … |
A. 48，49 B. 62，63 C. 75，76 D. 84，85
6.函数的图像大致为（ ）
A． B． C. D．
7.若函数在区间(－1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．或 C． 或 D．
8.已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（ ）
A． B．
C． D．
10.定义在R上的函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C．2 D．
11.曲线作线性变换后得到的回归方程为，则函数的单调递增区间为（ ）
A．(0,+∞) B．(1,+∞) C． D．
12.点P在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心，a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C.2 D．
二、填空题（每空5分，共20分）.
13.计算___________.
14.函数的单调递减区间为_____________.
15.函数的图象与直线相切，则实数a的值为____________.
16.斜率为1的直线与椭圆相交与A，B两点，则的最大值为__________.
三、解答题：（共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知p:函数的定义域是R，q:方程表示焦点在x轴上的双曲线.
（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“”是真命题，求实数m的取值范围.
18.在直角坐标系xOy中，将圆O：经过伸缩变换 后得到曲线C，
直线l的参数方程为（t为参数）.
(1)求曲线C和直线l的普通方程；
(2)若点P，A分别是曲线C、直线l上的任意点，求|PA|的最小值.
19.为了巩固全国文明城市创建成果，今年某市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度，随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共100名进行调查，调查结果如下：
| 支持 | 反对 | 合计 |
男性 | 35 | 15 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 65 | 35 | 100 |
（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关；
（2）现从参与调查的女户主中按分层抽样的方法抽取5人进行调查，分别求出所抽取的5人中持“支持”和“反对”态度的人数；
（3）现从（2）中所抽取的5人中，再随机抽取3人赠送小礼品，求恰好抽到2人持“支持”态度的概率？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
20.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
21.已知椭圆与直线都经过点．直线与平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与轴分别交于E，F两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：△MEF为等腰三角形．
22.已知函数．
（1）若在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）若对任意,都有恒成立，求实数a的取值范围.
【参考答案】
一、CDBAD DABBC DD
二、13.1 14. (1,+∞) 15.2 16.
三、17.解：（1）∵函数的定义域是，
∴.对恒成立. …………1分
∴，解得：，……………4分
∴是真命题时，实数的取值范围是.……………5分
（2）由（1）知为真时，∴:或，…………6分
∵方程表示焦点在轴上的双曲线，
∴，解得到，∴，…………8分
∵“”是真命题，
∴，解得.……………9分
∴是真命题时，实数的取值范围是.……………10分
18.解：(1)由 得代入
得曲线方程为： ……………………3分
直线的普通方程为：…………………5分
（2）设曲线C上任意取一点（），
则到的距离为：
，（其中）……8分
所以，当时，取得最小值为.…………10分
19.解：（1），.………………3分
∴没有90%的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关. .……4分
（2）抽取的5名女户主中，持 “支持”态度的有人，.……………6分
持反对态度的有人. .……………8分
（3）..…………12分
20.解:（1）当时，，∴，故；
当时，，∴，故；
当时，，∴，故；
综上可知：的解集为┄┄┄6分
（2）当时，恒成立，∴………………8分
当时，恒成立，∴，…………10分
当时，恒成立，∴，……………11分
综上，实数的取值范围为.…………12分
- 解：（1）由直线过点M得，…………1分
椭圆点M得…………3分
椭圆的方程为．.……………4分
（2）设直线为：
联立: ，得，
于是． .………………6分
设直线的斜率为，要证为等腰三角形，只需证，
.…………………………7分
，.………………9分
.………………11分
所以为等腰三角形 ．.…………12分
22.解：（1）解： ………………1分
， ，，，由条件得， ………………4分
（2） 令，则,. …………6分
令，则当时，，单调递增，.…………7分
①当时， 在上单调递增，；
所以，当时，对任意恒成立；…………9分
②当时，，，所以，存在，使（此处用“当时，存在，使”证明，扣1分），并且，当时，在上单调递减，所以，当时，，
所以，当时，对任意不恒成立；…………11分
综上，的取值范围为.…………12分
