2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第四章第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式


第3节　两角和与差的三角函数、二倍角公式
考试要求　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).

知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(x)＝Asin x＋Bcos x(A2＋B2≠0)，可以化为f(x)＝sin(x＋θ)(其中cos θ＝，sin θ＝)或f(x)＝cos(x－θ)(其中tan θ＝).
[常用结论与微点提醒]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
诊 断 自 测

1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2.(新教材必修第一册P217T3改编)已知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
解析　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
答案　C
3.(教材必修4P115T1改编)已知tan＝2，则tan α＝(　　)
A. B.－
C. D.－
解析　tan＝＝2，解得tan α＝.
答案　A

4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　由题意得cos 2α＝1－2sin2α
＝1－2×＝1－＝.
答案　B
5.(2020·揭阳一模)若sin＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　sin＝cos 2α＝，sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝－.
答案　D
6.(2019·济南一模)已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，
则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°
＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.
答案　A

考点一　三角函数式的化简
【例1】 (1)化简：＝________.
解析　原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
答案　cos 2x
(2)化简：－2cos(α＋β).
解　原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
规律方法　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
【训练1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
(2)化简：·＝________.
解析　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
(2)原式＝tan(90°－2α)·
＝··
＝··＝.
答案　(1)sin(α＋γ)　(2)
考点二　三角函数式的求值　多维探究
角度1　给值求值
【例2－1】 (1)已知x∈，tan x＝，则＝________.
(2)(2020·康杰中学联考)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　)
A.＋ B.－
C.＋ D.－
解析　(1)由题意得，4sin x＝3cos x，
又sin2x＋cos2x＝1，且x∈，
解得cos x＝，sin x＝，
又＝
＝＝
＝2sin x＝2×＝.
(2)由tan α－tan β＝3，得－＝3，
即＝3.
∴sin(α－β)＝3cos αcos β.
又知α－β＝，∴cos αcos β＝.
而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴sin αsin β＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.
答案　(1)　(2)D
规律方法　给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
角度2　给角求值
【例2－2】 (1)＋＝(　　)
A.－4 B.4 C.－2 D.2
(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.
解析　(1)＋＝－
＝＝
＝＝＝4.
(2)原式＝·
sin 80°＝·
cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
答案　(1)B　(2)
规律方法　给角(非特殊角)求值的三个基本思路：(1)化非特殊角为特殊角；
(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化简分子、分母使之出现公约式，约分后求值.
角度3　给值求角
【例2－3】 (1)已知coscos＝－，α∈，则α＝________.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
解析　(1)coscos＝sincos
＝sin＝－，即sin＝－，
又α∈，则－2α∈，
所以－2α＝－，得α＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，
又α∈(0，π)，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
答案　(1)　(2)－
规律方法　“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【训练2】 (1)(角度1)(2020·苏北四市联考)已知tan＝2，α∈，则sin cos ＋cos2－＝________.
(2)(角度2)cos2＋sin cos ＝________.
(3)(角度3)已知α，β为锐角，cos α＝，且sin(α＋β)＝，则角β＝________.
解析　(1)∵tan＝2，∴tan＝－2，
即tan＝＝＝－2，
∴cos＝－2sin.
∵α∈，∴α＋∈.
又知cos2＋sin2＝1，
解得cos＝－，sin＝.
则sin cos ＋cos2－＝sin α＋cos α
＝sin＝.
(2)cos2＋sin cos ＝＋sin
＝＋cos＋sin
＝＋×＋×＝.
(3)∵α为锐角，且cos α＝，
∴sin α＝＝.
∵α，β∈，∴0<α＋β<π.
又∵sin(α＋β)，
∴cos(α＋β)＝－.
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝＝.
∴β＝.
答案　(1)　(2)　(3)
考点三　三角恒等变换的应用
【例3】 已知函数f(x)＝＋2sin x.
(1)在△ABC中，cos A＝－，求f(A)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程.
解　(1)由sin x＋cos x≠0得x≠kπ－，k∈Z.
因为f(x)＝＋2sin x＝＋2sin x
＝cos x＋sin x，
在△ABC中，cos A＝－<0，所以 所以sin A＝＝，
所以f(A)＝sin A＋cos A＝－＝.
(2)由(1)可得f(x)＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝2π.
因为函数y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋，k∈Z，
又由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的对称轴的方程为x＝kπ＋，k∈Z.
规律方法　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
2.把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
【训练3】 (多选题)函数f(x)＝sin 2x－(cos2x－sin2x)的图象为C，如下结论正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.对任意的x∈R，都有f＋f＝0
C.f(x)在上是增函数
D.由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
解析　f(x)＝sin 2x－(cos2x－sin2x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin.f(x)的最小正周期为＝π，故A正确；f＝2sin＝0，即函数f(x)的图象关于点对称，即对任意的x∈R，都有f＋f＝0成立，故B正确；当x∈时，2x－∈，所以f(x)在上是增函数，故C正确；由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin 2＝2sin的图象，故D错误.故选ABC.
答案　ABC

A级　基础巩固
一、选择题
1.(2020·菏泽调研)已知sin＝，则sin 4x的值为(　　)
A. B.± C. D.±
解析　因为sin＝(cos 2x－sin 2x)＝，
所以sin 2x－cos 2x＝－，
所以(sin 2x－cos 2x)2＝1－2sin 2xcos 2x＝1－sin 4x＝，所以sin 4x＝.故选A.
答案　A
2.(2020·重庆联考)＝(　　)
A.2 B. C. D.1
解析　原式＝＝＝1.
答案　D
3.(2019·南师附中一模)若sin(α＋π)＝，α∈，则＝(　　)
A.－ B. C. D.
解析　由sin(α＋π)＝，得－sin α＝，
则sin α＝－.
又α∈，∴cos α＝＝，
∴＝＝－2sin αcos α＝.
答案　B
4.(2020·广东省际名校联考)若cos＝，则cos＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　∵cos＝，
∴cos＝sin＝sin＝，
∴cos＝1－2sin2＝－.
答案　D
5.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.
又α∈，所以2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＝，故sin α＝.
答案　B
二、填空题
6.函数y＝sin＋cos 2x的最大值为________.
解析　因为y＝sin＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x＝cos，
故最大值为.
答案　
7.已知180°<α<360°，化简：
＝________.
解析　原式＝
＝
＝＝.
因为180°<α<360°，所以90°<<180°，
所以cos <0，所以原式＝cos α.
答案　cos α
8.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
答案　
三、解答题
9.(2020·合肥质检)已知函数f(x)＝cos 2x＋sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.
解　(1)∵f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由f(α)＝，可得sin＝.
∵α∈，∴2α＋∈.
又∵0 ∴cos＝－.
∴cos 2α＝cos＝coscos ＋sin·sin ＝.
10.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值.
解　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴.
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0<ω<1，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
(2)由题意可得g(x)＝2sin，
即g(x)＝2cos ，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，
又α∈，故<α＋<，
所以sin＝，
所以sin α＝sin
＝sin·cos －cos·sin
＝×－×＝.
B级　能力提升
11.(2020·北京一模)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)
A. B. C. D.
解析　3sin α＋2cos α＝
＝＝2，
∴3tan ＋1－tan2＝tan2＋1，
解得tan ＝0或，又α∈(0，π)，
∴tan ≠0，∴tan ＝，故选D.
答案　D
12.(2020·烟台质检)若α∈，且cos 2α＝sin，则tan α＝(　　)
A. B. C. D.
解析　因为α∈，所以sin α＋cos α>0，
因为cos 2α＝sin，
所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(sin α＋cos α)，
所以cos α－sin α＝，可得α∈.
将cos α－sin α＝两边平方可得1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝，∴＝.
分子、分母同除以cos2α可得＝，
解得tan α＝或(舍)，即tan α＝.
答案　A
13.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.
解析　由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝，
由0<β<α<，得0<α－β<，
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∴β＝.
答案　
14.已知函数f(x)＝·cos(x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π).
(1)求a，θ的值；
(2)若α∈，f＋coscos 2α＝0，求cos α－sin α的值.
解　(1)因为f(x)＝cos(x＋θ)是奇函数，
所以cos(x＋θ)＝－cos，
化简、整理得，cos xcos θ＝0，则有cos θ＝0，
由θ∈(0，π)，得θ＝，
所以f(x)＝－sin x·.
由f＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin 2x，
f＋coscos 2α＝0⇒sin＝coscos 2α，
因为cos 2α＝sin＝sin
＝2sincos，
所以sin＝cos2sin.
又α∈，
所以sin＝0或cos2＝.
由sin＝0⇒α＝，
所以cos α－sin α＝cos －sin ＝－；
由cos2＝，<α＋<，
得cos＝－⇒(cos α－sin α)＝－⇒cos α－sin α＝－.
综上，cos α－sin α＝－或cos α－sin α＝－.
C级　创新猜想
15.(多选题)已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　)
A.f(x)在区间上单调递增
B.f(x)图象的一个对称中心是
C.f(x)图象的一条对称轴是x＝－
D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称
解析　f(x)＝sin－2sincos
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
当k＝0时，⊆，故A正确；
f＝sin ＝1≠0，故B不正确；
f＝－sin ＝－1，故C正确；
将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确.
答案　AC
16.(多填题)若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则sin(α＋β)＝________，α＋β＝________.
解析　∵α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，∴cos α＝，cos β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝，α＋β＝.
答案