2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第四章第6节正弦定理和余弦定理


第6节　正弦定理和余弦定理
考试要求　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin AB⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cos Asin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC不一定为锐角三角形.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2.(新教材必修第二册P44例6改编)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
解析　由余弦定理知cos B＝＝.
答案　A
3.(教材必修5P10T4改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案　等腰三角形或直角三角形

4.(2019·潍坊二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)
A. B. C. D.
解析　由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，得cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.
答案　D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A.4 B.
C. D.2
解析　由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
所以AB＝4.
答案　A
6.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
解析　作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，
S6＝6××12×sin 60°＝.
答案　

考点一　利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2019·青岛二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为(　　)
A. B. C. D.6
(2)(2020·徐州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，则A＝________.
解析　(1)由2cos2－cos 2C＝1，
可得2cos2－1－cos 2C＝0，
则有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0，
解得cos C＝或cos C＝－1(舍)，
由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，①
又a－b＝1，②
联立①，②得a＝4，b＝3，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，则c＝.
(2)由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，
得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A，
所以sin(A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A，
又＝，所以＝＝－，
从而＝－⇒tan A＝－，
又因为0