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2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第四章第7节解三角形应用举例
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第7节 解三角形应用举例
考试要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.
知 识 梳 理
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
[常用结论与微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(教材必修5P10T2改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m C.25 m D. m
解析 在△ABC中，由正弦定理得
＝，
又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，
∴AB＝＝＝50(m).
答案 A
3.(新教材必修第二册P51练习T2改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.
解析 由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以Rt△ADB中，AB＝AD＝a.
答案 a
4.(2020·东营月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
解析 由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
答案 D
5.(2019·长春期中)如图，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°，60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为( )
A.30 m B.60 m C.30 m D.40 m
解析 作AE⊥CD，垂足为E，则在△AMC中，AM＝＝20，∠AMC＝105°，∠ACM＝30°，∴＝，∴AC＝60＋20，∴CD＝30－10＋ACsin 30°＝60(m).故选B.
答案 B
6.(2019·北京调研)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________.
解析 因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
所以sin＝，
所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理，
得BD＝
＝＝.
答案
考点一 解三角形的实际应用 多维探究
角度1 测量距离问题
【例1－1】 如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，
∴△PAB≌△PQB，
∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，
故PQ＝900，
∴P，Q两点间的距离为900 m.
答案 900
规律方法 距离问题的类型及解法：
(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
角度2 测量高度问题
【例1－2】 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A.5 B.15 C.5 D.15
解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，所以BC＝15.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
答案 D
规律方法 1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
角度3 测量角度问题
【例1－3】 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，
∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
规律方法 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
【训练1】 (1)(角度1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
(2)(角度2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
(3)(角度3)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析 (1)如图，设炮台的顶部为A，底部为O，两只小船分别为M，N，则由题意得，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m).
(2)由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300(m).
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m).
(3)依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，
又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝
＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 (1)10 (2)100 (3)B
考点二 解三角形与三角函数的综合应用
【例2】 (2019·北京二模)已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1，x∈R.
(1)求曲线y＝f(x)的对称中心；
(2)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且f＝2，a＝3，若b＋c≤ka恒成立，求正整数k的最小值.
解 (1)由题意得，f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z).
∴曲线y＝f(x)的对称中心为，其中k∈Z.
(2)∵f＝2，∴2sin＝2，∴sin＝1，
又
＝2sin.
在锐角三角形ABC中，C∈，
∴C＋∈，∴sin∈.
于是≤2，∴k≥2，∴正整数k的最小值为2.
规律方法 解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【训练2】 (2020·湖南炎德、英才大联考)设f(x)＝sin x＋sin－cos.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝，a＝2，b＝，求角C及边c.
解 (1)f(x)＝sin x＋sin－cos
＝sin x＋sin x＋cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x＝sin.
∴f(x)的最小正周期T＝2π.
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
(2)∵在锐角△ABC中，f(A)＝，
∴sin＝，即sin＝1.
由0
∴由正弦定理得sin B＝＝.
由0
则c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋6－2×2××cos
＝10－4×＝4＋2，故c＝＋1.
考点三 正、余弦定理在平面几何中的应用
【例3】 (2020·南通模拟)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积.
解 (1)因为c＝4，b＝2，2ccos C＝b，
所以cos C＝＝.
由余弦定理得cos C＝＝＝，
所以a＝4，即BC＝4.
在△ACD中，CD＝2，AC＝2，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，
所以AD＝.
(2)因为AE是∠BAC的平分线，
所以＝＝＝2，
又＝，所以＝2，
所以CE＝BC＝，DE＝DC－EC＝2－＝.
又因为cos C＝，所以sin C＝＝.
又S△ADE＝S△ACD－S△ACE
＝AC·CDsin C－AC·ECsin C
＝AC·(CD－EC)sin C
＝DE·ACsin C＝.即△ADE的面积为.
规律方法 平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
提醒 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
【训练3】 (2019·广州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccos A＋csin A＝b＋a.
(1)求角C的大小；
(2)若D在边BC上，且BD＝3DC，cos B＝，S△ABC＝10，求AD.
解 (1)由已知及正弦定理，得
sin Ccos A＋sin Csin A＝sin B＋sin A.
又A＋B＋C＝π，所以sin B＝sin(A＋C)，
所以sin Ccos A＋sin Csin A＝sin(A＋C)＋sin A，
则sin Ccos A＋sin Csin A＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin A，
即sin Csin A＝sin Acos C＋sin A.
因为sin A≠0，所以sin C＝cos C＋1，即sin＝.
因为0
所以sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝，
所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝8∶5∶7，
不妨设a＝8t，b＝5t，c＝7t(t>0).
因为S△ABC＝10，
所以S△ABC＝absin C＝×8t×5t×＝10，
解得t＝1，即a＝8，b＝5，c＝7.
因为BD＝3DC，所以BD＝6，DC＝2.
在△ADC中，由余弦定理，得
AD2＝CD2＋CA2－2CD·CA·cos C＝19，
所以AD＝.
A级 基础巩固
一、选择题
1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )
A. km B. km C. km D.2 km
解析 如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，∴AC＝2×＝(km).
答案 A
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则这个三角形必含有( )
A.90°的内角 B.60°的内角
C.45°的内角 D.30°的内角
解析 由＝得＝⇒＝⇒cos A＝⇒A＝60°.
答案 B
3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析 如图所示，易知，
在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
在△ABC中，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里).
答案 A
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为( )
A.8 B.4 C.2 D.
解析 由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sin C＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以S△ABC＝absin C≤×16×＝4.故Smax＝4.故选B.
答案 B
5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A.240(－1)m B.180(－1)m
C.120(－1)m D.30(＋1)m
解析 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝
＝60(2－)(m)，
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).
答案 C
二、填空题
6.(多填题)如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则sin C＝________，AB＝________.
解析 在△ACD中，由余弦定理可得
cos C＝＝，
则sin C＝.
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
则AB＝＝＝.
答案
7.已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________.
解析 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos ∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6(AB＝－2，舍去)，则cos ∠ABC＝＝，BD＝AB·cos ∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.
答案 6
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________.
解析 ∵tan B＝－，∴sin B＝，cos B＝－，
又S△ABC＝acsin B＝2c＝8，
∴c＝4，∴b＝＝，
∴＝＝.
答案
三、解答题
9.(2020·武汉检测)已知向量m＝(cos x，1)，n＝.
(1)当m∥n时，求的值；
(2)已知钝角三角形ABC中，A为钝角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2asin(A＋B).若函数f(x)＝m2－n2，求f(A)的值.
解 (1)当m∥n时，有cos x－sin x＝0，即tan x＝.
所以＝＝＝3.
(2)因为在△ABC中，c＝2asin(A＋B)，
所以由正弦定理及诱导公式，得sin C＝2sin Asin C.
又C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin A＝.
又A为钝角，所以A＝.
因为函数f(x)＝m2－n2＝cos2x＋1－sin2x－＝cos 2x＋，
所以f(A)＝cos ＋＝＋＝.
10.如图，在锐角△ABC中，sin ∠BAC＝，sin ∠ABC＝，BC＝6，点D在边BC上，且BD＝2DC，点E在边AC上，且BE⊥AC，BE交AD于点F.
(1)求AC的长；
(2)求cos ∠DAC及AF的长.
解 (1)在锐角△ABC中，sin ∠BAC＝，
sin ∠ABC＝，BC＝6，
由正弦定理可得＝，
所以AC＝＝＝5.
(2)由sin ∠BAC＝，sin ∠ABC＝，
可得cos ∠BAC＝，cos ∠ABC＝，
所以cos C＝－cos(∠BAC＋∠ABC)
＝－cos ∠BAC·cos ∠ABC＋sin ∠BAC·sin ∠ABC
＝－×＋×＝.
因为BE⊥AC，AC＝5，
所以CE＝BCcos C＝6×＝，AE＝AC－CE＝.
在△ACD中，AC＝5，CD＝BC＝2，cos C＝，
由余弦定理可得
AD＝＝
＝，
所以cos∠DAC＝＝
＝.
由BE⊥AC，得AFcos ∠DAC＝AE，
所以AF＝＝.
B级 能力提升
11.在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是( )
A.不等腰的直角三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.正三角形
解析 易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcos C＝2absin C，即a2＋b2＝2absin，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2absin≥2ab，sin≥1，故只能a＝b且C＋＝，所以△ABC为正三角形.
答案 D
12.(2020·苏北四市联考)如图，在△ABC中，BD·sin B＝CD·sin C，BD＝2DC＝2，AD＝2，则△ABC的面积为( )
A. B. C.3 D.3
解析 过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E，F.
由BD·sin B＝CD·sin C得DE＝DF，
则AD为∠BAC的平分线，∴＝＝2，
又cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
即＝－，解得AC＝2，则AB＝4.
在△ABC中，cos ∠BAC＝＝，
∴sin ∠BAC＝，
∴S△ABC＝AB·AC·sin ∠BAC＝.
答案 B
13.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.
解析 如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝
＝，
故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，
由＝，
得AD＝＝，
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2).
答案
14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长.
解 (1)∵AD∶AB＝2∶3，
∴可设AD＝2k，AB＝3k(k>0).
又BD＝，∠DAB＝，∴由余弦定理，
得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，
解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
∴sin∠DBC＝，
在△DCB中，由正弦定理，得
CD＝＝＝.
C级 创新猜想
15.(新背景题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米.
解析 设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，所以cos C＝＝＝＝，所以sin C＝，故△ABC的面积为×13×14××5002×＝21(平方千米).
答案 21
第7节 解三角形应用举例
考试要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.
知 识 梳 理
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
[常用结论与微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(教材必修5P10T2改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m C.25 m D. m
解析 在△ABC中，由正弦定理得
＝，
又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，
∴AB＝＝＝50(m).
答案 A
3.(新教材必修第二册P51练习T2改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.
解析 由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以Rt△ADB中，AB＝AD＝a.
答案 a
4.(2020·东营月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
解析 由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
答案 D
5.(2019·长春期中)如图，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°，60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为( )
A.30 m B.60 m C.30 m D.40 m
解析 作AE⊥CD，垂足为E，则在△AMC中，AM＝＝20，∠AMC＝105°，∠ACM＝30°，∴＝，∴AC＝60＋20，∴CD＝30－10＋ACsin 30°＝60(m).故选B.
答案 B
6.(2019·北京调研)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________.
解析 因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
所以sin＝，
所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理，
得BD＝
＝＝.
答案
考点一 解三角形的实际应用 多维探究
角度1 测量距离问题
【例1－1】 如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，
∴△PAB≌△PQB，
∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，
故PQ＝900，
∴P，Q两点间的距离为900 m.
答案 900
规律方法 距离问题的类型及解法：
(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
角度2 测量高度问题
【例1－2】 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A.5 B.15 C.5 D.15
解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，所以BC＝15.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
答案 D
规律方法 1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
角度3 测量角度问题
【例1－3】 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，
∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
规律方法 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
【训练1】 (1)(角度1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
(2)(角度2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
(3)(角度3)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析 (1)如图，设炮台的顶部为A，底部为O，两只小船分别为M，N，则由题意得，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m).
(2)由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300(m).
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m).
(3)依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，
又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝
＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 (1)10 (2)100 (3)B
考点二 解三角形与三角函数的综合应用
【例2】 (2019·北京二模)已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1，x∈R.
(1)求曲线y＝f(x)的对称中心；
(2)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且f＝2，a＝3，若b＋c≤ka恒成立，求正整数k的最小值.
解 (1)由题意得，f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z).
∴曲线y＝f(x)的对称中心为，其中k∈Z.
(2)∵f＝2，∴2sin＝2，∴sin＝1，
又
＝2sin.
在锐角三角形ABC中，C∈，
∴C＋∈，∴sin∈.
于是≤2，∴k≥2，∴正整数k的最小值为2.
规律方法 解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【训练2】 (2020·湖南炎德、英才大联考)设f(x)＝sin x＋sin－cos.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝，a＝2，b＝，求角C及边c.
解 (1)f(x)＝sin x＋sin－cos
＝sin x＋sin x＋cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x＝sin.
∴f(x)的最小正周期T＝2π.
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
(2)∵在锐角△ABC中，f(A)＝，
∴sin＝，即sin＝1.
由0
∴由正弦定理得sin B＝＝.
由0
则c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋6－2×2××cos
＝10－4×＝4＋2，故c＝＋1.
考点三 正、余弦定理在平面几何中的应用
【例3】 (2020·南通模拟)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积.
解 (1)因为c＝4，b＝2，2ccos C＝b，
所以cos C＝＝.
由余弦定理得cos C＝＝＝，
所以a＝4，即BC＝4.
在△ACD中，CD＝2，AC＝2，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，
所以AD＝.
(2)因为AE是∠BAC的平分线，
所以＝＝＝2，
又＝，所以＝2，
所以CE＝BC＝，DE＝DC－EC＝2－＝.
又因为cos C＝，所以sin C＝＝.
又S△ADE＝S△ACD－S△ACE
＝AC·CDsin C－AC·ECsin C
＝AC·(CD－EC)sin C
＝DE·ACsin C＝.即△ADE的面积为.
规律方法 平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
提醒 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
【训练3】 (2019·广州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccos A＋csin A＝b＋a.
(1)求角C的大小；
(2)若D在边BC上，且BD＝3DC，cos B＝，S△ABC＝10，求AD.
解 (1)由已知及正弦定理，得
sin Ccos A＋sin Csin A＝sin B＋sin A.
又A＋B＋C＝π，所以sin B＝sin(A＋C)，
所以sin Ccos A＋sin Csin A＝sin(A＋C)＋sin A，
则sin Ccos A＋sin Csin A＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin A，
即sin Csin A＝sin Acos C＋sin A.
因为sin A≠0，所以sin C＝cos C＋1，即sin＝.
因为0
所以sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝，
所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝8∶5∶7，
不妨设a＝8t，b＝5t，c＝7t(t>0).
因为S△ABC＝10，
所以S△ABC＝absin C＝×8t×5t×＝10，
解得t＝1，即a＝8，b＝5，c＝7.
因为BD＝3DC，所以BD＝6，DC＝2.
在△ADC中，由余弦定理，得
AD2＝CD2＋CA2－2CD·CA·cos C＝19，
所以AD＝.
A级 基础巩固
一、选择题
1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )
A. km B. km C. km D.2 km
解析 如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，∴AC＝2×＝(km).
答案 A
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则这个三角形必含有( )
A.90°的内角 B.60°的内角
C.45°的内角 D.30°的内角
解析 由＝得＝⇒＝⇒cos A＝⇒A＝60°.
答案 B
3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析 如图所示，易知，
在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
在△ABC中，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里).
答案 A
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为( )
A.8 B.4 C.2 D.
解析 由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sin C＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以S△ABC＝absin C≤×16×＝4.故Smax＝4.故选B.
答案 B
5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A.240(－1)m B.180(－1)m
C.120(－1)m D.30(＋1)m
解析 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝
＝60(2－)(m)，
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).
答案 C
二、填空题
6.(多填题)如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则sin C＝________，AB＝________.
解析 在△ACD中，由余弦定理可得
cos C＝＝，
则sin C＝.
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
则AB＝＝＝.
答案
7.已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________.
解析 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos ∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6(AB＝－2，舍去)，则cos ∠ABC＝＝，BD＝AB·cos ∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.
答案 6
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________.
解析 ∵tan B＝－，∴sin B＝，cos B＝－，
又S△ABC＝acsin B＝2c＝8，
∴c＝4，∴b＝＝，
∴＝＝.
答案
三、解答题
9.(2020·武汉检测)已知向量m＝(cos x，1)，n＝.
(1)当m∥n时，求的值；
(2)已知钝角三角形ABC中，A为钝角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2asin(A＋B).若函数f(x)＝m2－n2，求f(A)的值.
解 (1)当m∥n时，有cos x－sin x＝0，即tan x＝.
所以＝＝＝3.
(2)因为在△ABC中，c＝2asin(A＋B)，
所以由正弦定理及诱导公式，得sin C＝2sin Asin C.
又C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin A＝.
又A为钝角，所以A＝.
因为函数f(x)＝m2－n2＝cos2x＋1－sin2x－＝cos 2x＋，
所以f(A)＝cos ＋＝＋＝.
10.如图，在锐角△ABC中，sin ∠BAC＝，sin ∠ABC＝，BC＝6，点D在边BC上，且BD＝2DC，点E在边AC上，且BE⊥AC，BE交AD于点F.
(1)求AC的长；
(2)求cos ∠DAC及AF的长.
解 (1)在锐角△ABC中，sin ∠BAC＝，
sin ∠ABC＝，BC＝6，
由正弦定理可得＝，
所以AC＝＝＝5.
(2)由sin ∠BAC＝，sin ∠ABC＝，
可得cos ∠BAC＝，cos ∠ABC＝，
所以cos C＝－cos(∠BAC＋∠ABC)
＝－cos ∠BAC·cos ∠ABC＋sin ∠BAC·sin ∠ABC
＝－×＋×＝.
因为BE⊥AC，AC＝5，
所以CE＝BCcos C＝6×＝，AE＝AC－CE＝.
在△ACD中，AC＝5，CD＝BC＝2，cos C＝，
由余弦定理可得
AD＝＝
＝，
所以cos∠DAC＝＝
＝.
由BE⊥AC，得AFcos ∠DAC＝AE，
所以AF＝＝.
B级 能力提升
11.在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是( )
A.不等腰的直角三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.正三角形
解析 易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcos C＝2absin C，即a2＋b2＝2absin，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2absin≥2ab，sin≥1，故只能a＝b且C＋＝，所以△ABC为正三角形.
答案 D
12.(2020·苏北四市联考)如图，在△ABC中，BD·sin B＝CD·sin C，BD＝2DC＝2，AD＝2，则△ABC的面积为( )
A. B. C.3 D.3
解析 过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E，F.
由BD·sin B＝CD·sin C得DE＝DF，
则AD为∠BAC的平分线，∴＝＝2，
又cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
即＝－，解得AC＝2，则AB＝4.
在△ABC中，cos ∠BAC＝＝，
∴sin ∠BAC＝，
∴S△ABC＝AB·AC·sin ∠BAC＝.
答案 B
13.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.
解析 如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝
＝，
故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，
由＝，
得AD＝＝，
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2).
答案
14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长.
解 (1)∵AD∶AB＝2∶3，
∴可设AD＝2k，AB＝3k(k>0).
又BD＝，∠DAB＝，∴由余弦定理，
得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，
解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
∴sin∠DBC＝，
在△DCB中，由正弦定理，得
CD＝＝＝.
C级 创新猜想
15.(新背景题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米.
解析 设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，所以cos C＝＝＝＝，所以sin C＝，故△ABC的面积为×13×14××5002×＝21(平方千米).
答案 21
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