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2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第三章 函数概念与基本初等函数Ⅰ3.3
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§3.3 函数的奇偶性与周期性
最新考纲
考情考向分析
1.理解并会判断函数的奇偶性．
2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？
提示 在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)________．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)________．
(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)________．
提示 (1)T＝2|a| (2)T＝2|a| (3)T＝|a－b|
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(－10，＋∞)是偶函数．( × )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )
(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ )
(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
题组二 教材改编
2．[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则
f(－1)＝________.
答案 －2
解析 f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
3．[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝______.
答案 1
解析 f＝f＝－4×2＋2＝1.
4. [P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由题图可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解 (1)由
得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)
＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；
对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；
对于C，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；
对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.
(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
答案 A
解析 易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}．
因为f(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A.
题型二 函数的周期性及其应用
1．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案 A
解析 ∵f(x＋1)为偶函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，
又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，
且f(0)＝0.
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.
∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________.
答案 －2－
解析 由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－.
3．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
答案
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，
所以f＋f＝f＋f
＝f＋f＝－f－f
＝－＋sin ＝.
4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝________.
答案 338
解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)
＝1×＝336.
又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，
f(2 019)＝f(3)＝－1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝338.
思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 求函数值或函数解析式
例2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝______.
答案 12
解析 方法一 令x＞0，则－x＜0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
方法二 f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
(2)(2018·浙江省镇海中学测试)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1＋2x－x2，则函数f(x)的解析式是________________________．
答案 f(x)＝
解析 设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝1－2x－x2＝－f(x)，
即x＜0时，f(x)＝－1＋2x＋x2，
又易知f(0)＝0，
∴f(x)＝
命题点2 求参数问题
例3 (1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__________.
答案 1
解析 ∵f(－x)＝f(x)，
∴－xln(－x)＝xln(x＋)，
∴ln[()2－x2]＝0.∴ln a＝0，∴a＝1.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，则a＋3b的值为________．
答案 －10
解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
所以f＝f且f(－1)＝f(1)，
故f＝f，从而＝－a＋1，
即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，
即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
命题点3 利用函数的性质解不等式
例4 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)
C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)
答案 D
解析 根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)
答案
解析 由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，
解得
思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
跟踪训练2 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝ (1－x)，则f(x)在区间内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
答案 D
解析 当x∈时，由f(x)＝ (1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.故选D.
(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.
答案 －
解析 由题意可知，f＝f＝－f
＝－2××＝－.
(3)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________.
答案
解析 ∵当x>0时，－x<0，
∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，
∴f(x)＝
函数的性质
函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
一、函数性质的判断
例1 (1)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A，B错误；
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]
＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，
∴选项D错误．
故选C.
(2)(2018·浙江舟山中学模拟)满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是( )
A．f(ex)＝|x| B．f(ex)＝e2x
C．f(ln x)＝ln x2 D．f(ln x)＝x＋
答案 D
解析 ∵ex＞0，∴f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)无奇偶性，A，B错误；
令ln x＝t，则x＝et，
而f(ln x)＝ln x2，即f(t)＝2t，
f(x)＝2x显然不是偶函数，C错误；
而f(ln x)＝x＋，则f(t)＝et＋，
即f(x)＝ex＋，
此时f(－x)＝e－x＋＝＋ex＝f(x)，
∴f(x)＝ex＋是偶函数，D正确，故选D.
(3)(2019·绍兴模拟)设f(x)的定义域是R，则下列命题中不正确的是( )
A．若f(x)是奇函数，则f(f(x))也是奇函数
B．若f(x)是周期函数，则f(f(x))也是周期函数
C．若f(x)是单调递减函数，则f(f(x))也是单调递减函数
D．若方程f(x)＝x有实根，则方程f(f(x))＝x也有实根
答案 C
解析 若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
所以f(f(－x))＝f(－f(x))＝－f(f(x))，
所以f(f(x))也是奇函数，所以A正确；
若T是f(x)的周期，则f(x＋T)＝f(x)，
所以f(f(x＋T))＝f(f(x))，
所以f(f(x))也是周期函数，所以B正确；
若f(x)是单调递减函数，则不妨取f(x)＝－x，
则f(f(x))＝f(－x)＝x是单调递增函数，所以C错误；
设x0是方程f(x)＝x的实根，则f(x0)＝x0，
则f(f(x0))＝f(x0)＝x0，
即x0是方程f(f(x))＝x的实根，所以D正确．故选C.
二、函数性质的综合应用
例2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
故选C.
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
解析 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)
答案 [－1,2 021)
解析 由已知函数y＝x＋2 020－在[1，＋∞)上是增函数，且y>0恒成立．
∵y′＝1＋，
令y′≥0得a≥－x2(x≥1)，
∴a≥－1.
又由当x＝1时，y＝1＋2 020－a>0，得a<2 021.
∴a的取值范围是[－1,2 021)．
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cos x
答案 B
解析 函数f(x)＝是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于( )
A．－3 B．－ C. D．3
答案 A
解析 由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝
－f(2)＝－(22－1)＝－3.
3．(2019·金华调研)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；
④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
答案 D
解析 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，
①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．
可知②④正确，故选D.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝
log2(－3x＋1)，则f(2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．log27
答案 C
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．∵－1∈，且当x∈时，
f(x)＝log2(－3x＋1)，
∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，
∴f(2 021)＝－f(－1)＝－2.
5．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期初联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(a)≥2f(1)，则a的取值范围是( )
A．(0,3] B.
C. D．[1,3]
答案 C
解析 函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(－∞，0]上单调递增．
因为f(log3a)＋f(a)≥2f(1)，
所以f(log3a)＋f(－log3a)＝2f(log3a)≥2f(1)，
即f(log3a)≥f(1)＝f(－1)，所以－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3，故选C.
6．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(0)
解析 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，
∴f(0)
答案 1 0
解析 由已知得f(π)＝π2sin π＋a＝a＝1，
所以a＝1，所以f(x)＝x2sin x＋1，
而f(t)＝t2sin t＋1＝2，所以t2sin t＝1，
所以f(－t)＝(－t)2sin(－t)＋1＝－t2sin t＋1＝－1＋1＝0.
8．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝____，f(g(－2))＝________.
答案 0 －25
解析 由题意，得a＝f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝x2－2x＋1＝－f(x)，
∴g(2x)＝－x2＋2x－1，∴g(－2)＝－4，
∴f(g(－2))＝f(－4)＝－16－8－1＝－25.
9．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.
答案 －2
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，
∴f(2)＝f(0)＝0，
∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，
∴f＝f＝－f＝－＝－2，
∴f＋f(1)＝－2.
10．(2018·宁波十校联考)定义：函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差．若定义在区间[－2b,3b－1]上的函数f(x)＝x3－ax2－(b＋2)x是奇函数，则a＋b＝________，函数f(x)的极差为________．
答案 1 4
解析 由f(x)在[－2b,3b－1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b＋3b－1＝0，b＝1，又由f(－x)＋f(x)＝0可求得a＝0，所以a＋b＝1.又f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，易知f(x)在(－2，－1)，(1,2)上单调递增，f(x)在(－1,1)上单调递减，所以在[－2,2]上的最大值、最小值分别为f(－1)＝f(2)＝2，f(1)＝f(－2)＝－2，所以极差为4.
11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
12．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
13．(2018·浙江杭州四中期中)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，设h(x)＝|f(x－1)|＋g(x－1)，则下列结论中正确的是( )
A．h(x)关于(1,0)对称 B．h(x)关于(－1,0)对称
C．h(x)关于x＝1对称 D．h(x)关于x＝－1对称
答案 C
解析 因为函数f(x)是奇函数，所以|f(x)|是偶函数，即|f(x)|与g(x)均为偶函数，其图象关于y轴对称，所以|f(x－1)|与g(x－1)的图象都关于直线x＝1对称，即h(x)＝|f(x－1)|＋g(x－1)的图象关于直线x＝1对称，故选C.
14．已知函数f(x)＝是偶函数，则α，β的可能取值是( )
A．α＝π，β＝ B．α＝β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝.
答案 C
解析 因为函数f(x)＝是偶函数，所以当x＜0时，cos(－x＋α)＝sin(x＋β)，利用两角和差公式展开并整理，
得sin x(sin α－cos β)＋cos x(cos α－sin β)＝0对x＜0恒成立，
因而将两式两边平方后相加可得，
2－2(sin αcos β＋cos αsin β)＝0，
因而sin(α＋β)＝1，故α＋β＝2kπ＋，k∈Z，故选C.
15．(2018·宁波九校联考)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题：
①f(x)必是偶函数；
②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若a2－b≤0，则f(x)在[a，＋∞)上是增函数；
④若a＞0，在[－a，a]上f(x)有最大值|a2－b|.
其中正确的命题序号是________．
答案 ③
解析 对于①，当且仅当a＝0时，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|为偶函数，①错误；对于②，当a＝0，b＝－2时，满足f(0)＝2＝f(2)，此时函数图象不关于直线x＝1对称，②错误；对于③，当a2－b≤0时，b－a2≥0，所以f(x)＝x2－2ax＋b，则f(x)在[a，＋∞)上是增函数，③正确；对于④，当a＝1，b＝4时，满足a＞0，此时f(x)＝|x2－2x＋4|在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝|(－1)2－2×(－1)＋4|＝7≠|12－4|，④错误．综上所述，正确命题的序号为③.
16．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，且对任意的x1，x2∈[0，＋∞)均有＞(x1≠x2)．若f(4m－2)－f(2m)－6m2＋8m－2＞0，求实数m的取值范围．
解 设g(x)＝f(x)－，因为g(x)＋g(－x)＝f(x)－＋f(－x)－＝0，故g(x)为奇函数．
又
＝＝
－＞0，
故g(x)在R上单调递增，
g(4m－2)－g(2m)＝f(4m－2)－f(2m)－[(4m－2)2－(2m)2]＝f(4m－2)－f(2m)－6m2＋8m－2＞0，所以g(4m－2)＞g(2m)，所以4m－2＞2m，解得m＞1.
最新考纲
考情考向分析
1.理解并会判断函数的奇偶性．
2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？
提示 在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)________．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)________．
(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)________．
提示 (1)T＝2|a| (2)T＝2|a| (3)T＝|a－b|
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(－10，＋∞)是偶函数．( × )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )
(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ )
(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
题组二 教材改编
2．[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则
f(－1)＝________.
答案 －2
解析 f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
3．[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝______.
答案 1
解析 f＝f＝－4×2＋2＝1.
4. [P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由题图可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解 (1)由
得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)
＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；
对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；
对于C，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；
对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.
(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
答案 A
解析 易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}．
因为f(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A.
题型二 函数的周期性及其应用
1．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案 A
解析 ∵f(x＋1)为偶函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，
又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，
且f(0)＝0.
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.
∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________.
答案 －2－
解析 由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－.
3．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
答案
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，
所以f＋f＝f＋f
＝f＋f＝－f－f
＝－＋sin ＝.
4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝________.
答案 338
解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)
＝1×＝336.
又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，
f(2 019)＝f(3)＝－1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝338.
思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 求函数值或函数解析式
例2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝______.
答案 12
解析 方法一 令x＞0，则－x＜0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
方法二 f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
(2)(2018·浙江省镇海中学测试)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1＋2x－x2，则函数f(x)的解析式是________________________．
答案 f(x)＝
解析 设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝1－2x－x2＝－f(x)，
即x＜0时，f(x)＝－1＋2x＋x2，
又易知f(0)＝0，
∴f(x)＝
命题点2 求参数问题
例3 (1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__________.
答案 1
解析 ∵f(－x)＝f(x)，
∴－xln(－x)＝xln(x＋)，
∴ln[()2－x2]＝0.∴ln a＝0，∴a＝1.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，则a＋3b的值为________．
答案 －10
解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
所以f＝f且f(－1)＝f(1)，
故f＝f，从而＝－a＋1，
即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，
即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
命题点3 利用函数的性质解不等式
例4 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)
C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)
答案 D
解析 根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)
答案
解析 由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，
解得
思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
跟踪训练2 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝ (1－x)，则f(x)在区间内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
答案 D
解析 当x∈时，由f(x)＝ (1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.故选D.
(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.
答案 －
解析 由题意可知，f＝f＝－f
＝－2××＝－.
(3)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________.
答案
解析 ∵当x>0时，－x<0，
∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，
∴f(x)＝
函数的性质
函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
一、函数性质的判断
例1 (1)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A，B错误；
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]
＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，
∴选项D错误．
故选C.
(2)(2018·浙江舟山中学模拟)满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是( )
A．f(ex)＝|x| B．f(ex)＝e2x
C．f(ln x)＝ln x2 D．f(ln x)＝x＋
答案 D
解析 ∵ex＞0，∴f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)无奇偶性，A，B错误；
令ln x＝t，则x＝et，
而f(ln x)＝ln x2，即f(t)＝2t，
f(x)＝2x显然不是偶函数，C错误；
而f(ln x)＝x＋，则f(t)＝et＋，
即f(x)＝ex＋，
此时f(－x)＝e－x＋＝＋ex＝f(x)，
∴f(x)＝ex＋是偶函数，D正确，故选D.
(3)(2019·绍兴模拟)设f(x)的定义域是R，则下列命题中不正确的是( )
A．若f(x)是奇函数，则f(f(x))也是奇函数
B．若f(x)是周期函数，则f(f(x))也是周期函数
C．若f(x)是单调递减函数，则f(f(x))也是单调递减函数
D．若方程f(x)＝x有实根，则方程f(f(x))＝x也有实根
答案 C
解析 若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
所以f(f(－x))＝f(－f(x))＝－f(f(x))，
所以f(f(x))也是奇函数，所以A正确；
若T是f(x)的周期，则f(x＋T)＝f(x)，
所以f(f(x＋T))＝f(f(x))，
所以f(f(x))也是周期函数，所以B正确；
若f(x)是单调递减函数，则不妨取f(x)＝－x，
则f(f(x))＝f(－x)＝x是单调递增函数，所以C错误；
设x0是方程f(x)＝x的实根，则f(x0)＝x0，
则f(f(x0))＝f(x0)＝x0，
即x0是方程f(f(x))＝x的实根，所以D正确．故选C.
二、函数性质的综合应用
例2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
故选C.
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
解析 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)
答案 [－1,2 021)
解析 由已知函数y＝x＋2 020－在[1，＋∞)上是增函数，且y>0恒成立．
∵y′＝1＋，
令y′≥0得a≥－x2(x≥1)，
∴a≥－1.
又由当x＝1时，y＝1＋2 020－a>0，得a<2 021.
∴a的取值范围是[－1,2 021)．
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cos x
答案 B
解析 函数f(x)＝是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于( )
A．－3 B．－ C. D．3
答案 A
解析 由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝
－f(2)＝－(22－1)＝－3.
3．(2019·金华调研)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；
④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
答案 D
解析 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，
①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．
可知②④正确，故选D.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝
log2(－3x＋1)，则f(2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．log27
答案 C
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．∵－1∈，且当x∈时，
f(x)＝log2(－3x＋1)，
∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，
∴f(2 021)＝－f(－1)＝－2.
5．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期初联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(a)≥2f(1)，则a的取值范围是( )
A．(0,3] B.
C. D．[1,3]
答案 C
解析 函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(－∞，0]上单调递增．
因为f(log3a)＋f(a)≥2f(1)，
所以f(log3a)＋f(－log3a)＝2f(log3a)≥2f(1)，
即f(log3a)≥f(1)＝f(－1)，所以－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3，故选C.
6．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(0)
解析 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，
∴f(0)
答案 1 0
解析 由已知得f(π)＝π2sin π＋a＝a＝1，
所以a＝1，所以f(x)＝x2sin x＋1，
而f(t)＝t2sin t＋1＝2，所以t2sin t＝1，
所以f(－t)＝(－t)2sin(－t)＋1＝－t2sin t＋1＝－1＋1＝0.
8．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝____，f(g(－2))＝________.
答案 0 －25
解析 由题意，得a＝f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝x2－2x＋1＝－f(x)，
∴g(2x)＝－x2＋2x－1，∴g(－2)＝－4，
∴f(g(－2))＝f(－4)＝－16－8－1＝－25.
9．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.
答案 －2
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，
∴f(2)＝f(0)＝0，
∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，
∴f＝f＝－f＝－＝－2，
∴f＋f(1)＝－2.
10．(2018·宁波十校联考)定义：函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差．若定义在区间[－2b,3b－1]上的函数f(x)＝x3－ax2－(b＋2)x是奇函数，则a＋b＝________，函数f(x)的极差为________．
答案 1 4
解析 由f(x)在[－2b,3b－1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b＋3b－1＝0，b＝1，又由f(－x)＋f(x)＝0可求得a＝0，所以a＋b＝1.又f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，易知f(x)在(－2，－1)，(1,2)上单调递增，f(x)在(－1,1)上单调递减，所以在[－2,2]上的最大值、最小值分别为f(－1)＝f(2)＝2，f(1)＝f(－2)＝－2，所以极差为4.
11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
12．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
13．(2018·浙江杭州四中期中)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，设h(x)＝|f(x－1)|＋g(x－1)，则下列结论中正确的是( )
A．h(x)关于(1,0)对称 B．h(x)关于(－1,0)对称
C．h(x)关于x＝1对称 D．h(x)关于x＝－1对称
答案 C
解析 因为函数f(x)是奇函数，所以|f(x)|是偶函数，即|f(x)|与g(x)均为偶函数，其图象关于y轴对称，所以|f(x－1)|与g(x－1)的图象都关于直线x＝1对称，即h(x)＝|f(x－1)|＋g(x－1)的图象关于直线x＝1对称，故选C.
14．已知函数f(x)＝是偶函数，则α，β的可能取值是( )
A．α＝π，β＝ B．α＝β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝.
答案 C
解析 因为函数f(x)＝是偶函数，所以当x＜0时，cos(－x＋α)＝sin(x＋β)，利用两角和差公式展开并整理，
得sin x(sin α－cos β)＋cos x(cos α－sin β)＝0对x＜0恒成立，
因而将两式两边平方后相加可得，
2－2(sin αcos β＋cos αsin β)＝0，
因而sin(α＋β)＝1，故α＋β＝2kπ＋，k∈Z，故选C.
15．(2018·宁波九校联考)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题：
①f(x)必是偶函数；
②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若a2－b≤0，则f(x)在[a，＋∞)上是增函数；
④若a＞0，在[－a，a]上f(x)有最大值|a2－b|.
其中正确的命题序号是________．
答案 ③
解析 对于①，当且仅当a＝0时，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|为偶函数，①错误；对于②，当a＝0，b＝－2时，满足f(0)＝2＝f(2)，此时函数图象不关于直线x＝1对称，②错误；对于③，当a2－b≤0时，b－a2≥0，所以f(x)＝x2－2ax＋b，则f(x)在[a，＋∞)上是增函数，③正确；对于④，当a＝1，b＝4时，满足a＞0，此时f(x)＝|x2－2x＋4|在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝|(－1)2－2×(－1)＋4|＝7≠|12－4|，④错误．综上所述，正确命题的序号为③.
16．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，且对任意的x1，x2∈[0，＋∞)均有＞(x1≠x2)．若f(4m－2)－f(2m)－6m2＋8m－2＞0，求实数m的取值范围．
解 设g(x)＝f(x)－，因为g(x)＋g(－x)＝f(x)－＋f(－x)－＝0，故g(x)为奇函数．
又
＝＝
－＞0，
故g(x)在R上单调递增，
g(4m－2)－g(2m)＝f(4m－2)－f(2m)－[(4m－2)2－(2m)2]＝f(4m－2)－f(2m)－6m2＋8m－2＞0，所以g(4m－2)＞g(2m)，所以4m－2＞2m，解得m＞1.
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