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2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第三章 函数概念与基本初等函数Ⅰ3.6
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§3.6 对数与对数函数
最新考纲
考情考向分析
1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．
2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用．
3.了解对数函数的变化特征.
以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0
定义域
(1)(0，＋∞)
值域
(2)R
性质
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0；
当0
当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
概念方法微思考
1．根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？
②化简.
提示 ①logab·logba＝1；②＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．
提示 0
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )
(2)loga x·loga y＝loga (x＋y)．( × )
(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数．( × )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．( √ )
题组二 教材改编
2．[P74T3]lg －＋lg 7＝ .
答案
解析 原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5
＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
3．[P82A组T6]已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为 ．
答案 c>a>b
解析 ∵01.∴c>a>b.
4．[P74A组T7]函数y＝的定义域是 ．
答案
解析 由(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴
题组三 易错自纠
5．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
6.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1,01
D．0
解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0
答案
解析 因为0＜a＜1，所以f(x)在[a,2a]上是减函数．
所以f(x)max＝f(a)＝logaa＝1，
f(x)min＝f(2a)＝loga2a＝1＋loga2，
由条件得1＝3(1＋loga2)，解得a－2＝8，所以a＝.
题型一 对数的运算
1．(2018·湖州中学期中)设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么( )
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
答案 B
解析 设3a＝4b＝6c＝k，所以a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，
变形为＝logk3，＝logk4，＝logk6，
所以＝logk36，＋＝logk36，故＝＋.
2．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
答案 D
解析 2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.
3．计算：＝ .
答案 1
解析 原式＝
＝
＝＝＝＝1.
4．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝ .
答案 6
解析 ∵函数f(x)＝3x＋9x，
∴
思维升华 对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
题型二 对数函数的图象及应用
例1 (1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
答案 B
解析 由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.
(2)当0
C．(1，) D．(，2)
答案 B
解析 构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，
所以a的取值范围为.
引申探究
若本例(2)变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为 ．
答案
解析 若方程4x＝logax在上有解，
则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，
由图象知解得0
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练1 (1)(2018·浙江台州三区三校适应性考试)若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
答案 B
解析 方法一 由loga2＜logb2＜0，
得＜＜0，∴log2b＜log2a＜0＝log21.
又函数y＝log2x是增函数，所以0＜b＜a＜1，故选B.
方法二 由对数函数的性质可知，0＜a＜1,0＜b＜1，排除C，D.
取a＝，b＝，则loga2＝2＝－1，logb2＝2＝－，满足loga2＜logb2＜0.故b＜a，故选B.
(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ．
答案 (1，＋∞)
解析 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数值的大小
例2 设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．a>c>b D．c>b>a
答案 A
解析 a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，
∵log43>log53>log63，∴a>b>c.
命题点2 解对数方程、不等式
例3 (1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为 ．
答案 x＝
解析 原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.
(2)已知不等式logx(2x2＋1)
解析 原不等式⇔①
或②
解不等式组①得
命题点3 对数函数性质的综合应用
例4 (1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)
答案 D
解析 由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.
(2)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为 ．
答案 －
解析 依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当log2x＝
－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练2 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝log32
由1，即a>b，
所以c>a>b.
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为 ．
答案 [1,2)
解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有即
解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
(3)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
答案
解析 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得1
则f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
比较指数式、对数式的大小
比较大小问题是每年高考的必考内容之一．
(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，若指数相同而底数不同，则构造幂函数，若底数相同而指数不同，则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
例 (1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c
A．a
A．a＋b
解析 (1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，
可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b
可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.
所以b
(3)由loga2
b＝log20.3
∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab
1．log29·log34等于( )
A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 方法一 原式＝·＝＝4.
方法二 原式＝2log23·＝2×2＝4.
2．(2018·杭州教学质检)设函数f(x)＝|ln x|(e为自然对数的底数)，满足f(a)＝f(b)(a≠b)，则( )
A．ab＝ee B．ab＝e
C．ab＝ D．ab＝1
答案 D
解析 ∵|ln a|＝|ln b|且a≠b，∴ln a＝－ln b，∴ab＝1.
3．(2019·丽水模拟)下列不等式正确的是( )
A．log3 0.2＜0.23＜30.2 B．log3 0.2＜30.2＜0.23
C．0.23＜log3 0.2＜30.2 D．30.2＜log3 0.2＜0.23
答案 A
解析 因为log3 0.2＜0,0＜0.23＜1,30.2＞1，
所以log3 0.2＜0.23＜30.2，故选A.
4．(2018·浙江名校协作体联考)若a＞b＞1,0＜c＜1，则( )
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogb c＜bloga c D．loga c＜logb c
答案 C
解析 因为a＞b＞1,0＜c＜1，所以cb＞ca，
则bloga c＝loga cb＞logbcb＞logbca＝alogb c，故选C.
5．若m＋2n＝20(m，n＞0)，则lg m·(lg n＋lg 2)的最大值是( )
A．1 B. C. D．2
答案 A
解析 lg m·(lg n＋lg 2)＝lg m·lg 2n≤2＝，又因为m＋2n＝20≥2，所以mn≤50，从而lg m·(lg n＋lg 2)≤1，当且仅当m＝10，n＝5时，等号成立，故选A.
6．(2018·浙江部分重点中学调研)已知函数f(x)＝＋ x＋4，若对任意的x∈，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案 A
解析 令t＝x，因为x∈，所以t∈(0,2]，则问题可转化为对任意的t∈(0,2]，t2＋at＋4≤6恒成立，即a≤＝－t对任意的t∈(0,2]恒成立．因为y＝－t在t∈(0,2]上单调递减，所以ymin＝1－2＝－1，所以a≤－1，即实数a的最大值为－1.故选A.
7．(2018·浙江绍兴一中模拟)设函数f(x)＝则f＝ ，方程f(f(x))＝1的解集为 ．
答案 {1，ee}
解析 由于f＝ln ，
则f＝f＝＝.
由f(f(x))＝1可得f(x)＝0或f(x)＝e，
又当x≤0时，f(x)＝ex∈(0,1]；
当x＞0时，由f(x)＝0可得ln x＝0，解得x＝1；
由f(x)＝e可得ln x＝e，解得x＝ee，
故对应方程的解集为{1，ee}．
8．(2018·杭州第二中学仿真考试)已知m＝，n＝4x，则log4m＝ ；满足lognm＞1的实数x的取值范围是 ．
答案 －
解析 由于m＝，
则log4m＝log2m＝＝×＝－；由于＜1，由lognm＞1可得m＜n＜1，
则＜22x＜1，则－＜2x＜0，
解得－＜x＜0.
9．(2018·宁波期末)若实数a＞b＞1，且loga b＋logb a＝，则loga b＝ ；＝ .
答案 1
解析 令loga b＝t，由于a＞b＞1，则t∈(0,1)，loga b＋logba＝即为t＋＝，解得t＝(t＝2舍去)，则logab＝，＝b，a＝b2，＝1.
10．(2019·浙江名校协作体联考)已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则xy的最大值是 ．
答案
解析 由题意得lg 2x＋lg 8y＝lg(2x×23y)＝lg 2x＋3y＝lg 2(x＞0，y＞0)，所以x＋3y＝1，则xy＝x×3y≤2＝，当且仅当x＝3y＝时，等号成立，所以xy的最大值为.
11．已知函数f(x)＝(ax2＋3x＋a＋1)．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的定义域、值域及单调区间；
(2)对于x∈[1,2]，不等式f(x)－3x≥2恒成立，求正实数a的取值范围．
解 (1)当a＝0时，y＝(3x＋1)，函数定义域为，值域为R，递减区间为，无递增区间．
(2)原命题可化为x∈[1,2]，ax2＋a≥1恒成立，
即a≥在x∈[1,2]上恒成立，
即a≥max，x∈[1,2]，
y＝在x∈[1,2]上单调递减，
当x＝1时，ymax＝.因此a≥.
12．(2018·浙江名校协作体联考)已知奇函数f(x)＝loga (a＞0且a≠1)．
(1)求b的值，并求出f(x)的定义域；
(2)若存在区间[m，n]，使得当x∈[m，n]时，f(x)的取值范围为[loga6m，loga6n]，求a的取值范围．
解 (1)由已知f(x)＋f(－x)＝0，得b＝±1，
当b＝－1时，f(x)＝loga ＝loga(－1)，舍去，
当b＝1时，f(x)＝loga ，定义域为.
故f(x)的定义域为.
(2)当0＜a＜1时，
f(x)＝loga ＝loga在上单调递减．
故有
而y＝＝在上单调递增，
所以＜，
又6m＜6n与矛盾，故a＞1，
所以
故方程＝6x在上有两个不等实根，即6ax2＋(a－6)x＋1＝0在上有两个不等实根．
设g(x)＝6ax2＋(a－6)x＋1(a＞1)，
则化简得
解得a＜18－12，故1＜a＜18－12.
13．(2018·浙江三市联考)下列命题正确的是( )
A．若ln a－ln b＝a－3b，则a＜b<0
B．若ln a－ln b＝a－3b，则0
解析 显然有a>0，b>0，可排除A，D；
设＝t，则a＝bt，若ln a－ln b＝a－3b，
则有ln t＝bt－3b，b＝，由b＝＞0，
得03，不能确定a
则ln t＝3b－bt，b＝>0,1
14．定义区间[x1，x2](x1＜x2)的长度等于x2－x1.函数y＝|loga x|(a＞1)的定义域为[m，n](m＜n)，值域为[0,1]．若区间[m，n]的长度的最小值为，则实数a的值为 ．
答案 4
解析 作出函数y＝|loga x|的图象(图略)，要使定义域区间[m，n]的长度最小，则[m，n]＝或[m，n]＝[1，a]．若1－＝，则a＝4，此时a－1＝3，符合题意．若a－1＝，则a＝，此时1－＝＜，不符合题意，所以a＝4.
15．(2018·浙江杭州二中月考)若函数y＝lg 的图象关于点M对称，则点M的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设M(m,0)，点P(x，y)是函数y＝lg 的图象上任意一点，则点P(x，y)关于点M(m,0)的对称点Q(2m－x，－y)也是函数y＝lg 的图象上一点．
从而有y＝lg ，且－y＝lg ，
所以lg ＝－lg ，
即lg ＝lg ＝lg 恒成立，
从而有＝，
所以m＝－，故选D.
16．(2018·浙江镇海中学模拟)函数f(x)＝若a，b，c，d互不相同，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，求abcd的取值范围．
解 不妨设a＜b＜c＜d，则a，b满足|log2a|＝|log2b|，即－log2a＝log2b，所以ab＝1；
c，d是二次方程x2－12x＋34＝k，k∈(0,2)在区间(4，＋∞)上的两个不相等的根，则cd＝34－k，所以cd∈(32,34)．
故abcd的取值范围是(32,34)．
最新考纲
考情考向分析
1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．
2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用．
3.了解对数函数的变化特征.
以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0
定义域
(1)(0，＋∞)
值域
(2)R
性质
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0；
当0
当0
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
概念方法微思考
1．根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？
②化简.
提示 ①logab·logba＝1；②＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．
提示 0
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )
(2)loga x·loga y＝loga (x＋y)．( × )
(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数．( × )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．( √ )
题组二 教材改编
2．[P74T3]lg －＋lg 7＝ .
答案
解析 原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5
＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
3．[P82A组T6]已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为 ．
答案 c>a>b
解析 ∵0
4．[P74A组T7]函数y＝的定义域是 ．
答案
解析 由(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴
题组三 易错自纠
5．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
6.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1,0
D．0
解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0
答案
解析 因为0＜a＜1，所以f(x)在[a,2a]上是减函数．
所以f(x)max＝f(a)＝logaa＝1，
f(x)min＝f(2a)＝loga2a＝1＋loga2，
由条件得1＝3(1＋loga2)，解得a－2＝8，所以a＝.
题型一 对数的运算
1．(2018·湖州中学期中)设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么( )
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
答案 B
解析 设3a＝4b＝6c＝k，所以a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，
变形为＝logk3，＝logk4，＝logk6，
所以＝logk36，＋＝logk36，故＝＋.
2．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
答案 D
解析 2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.
3．计算：＝ .
答案 1
解析 原式＝
＝
＝＝＝＝1.
4．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝ .
答案 6
解析 ∵函数f(x)＝3x＋9x，
∴
思维升华 对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
题型二 对数函数的图象及应用
例1 (1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
答案 B
解析 由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.
(2)当0
C．(1，) D．(，2)
答案 B
解析 构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0
所以a的取值范围为.
引申探究
若本例(2)变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为 ．
答案
解析 若方程4x＝logax在上有解，
则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，
由图象知解得0
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练1 (1)(2018·浙江台州三区三校适应性考试)若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
答案 B
解析 方法一 由loga2＜logb2＜0，
得＜＜0，∴log2b＜log2a＜0＝log21.
又函数y＝log2x是增函数，所以0＜b＜a＜1，故选B.
方法二 由对数函数的性质可知，0＜a＜1,0＜b＜1，排除C，D.
取a＝，b＝，则loga2＝2＝－1，logb2＝2＝－，满足loga2＜logb2＜0.故b＜a，故选B.
(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ．
答案 (1，＋∞)
解析 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数值的大小
例2 设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．a>c>b D．c>b>a
答案 A
解析 a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，
∵log43>log53>log63，∴a>b>c.
命题点2 解对数方程、不等式
例3 (1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为 ．
答案 x＝
解析 原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.
(2)已知不等式logx(2x2＋1)
解析 原不等式⇔①
或②
解不等式组①得
命题点3 对数函数性质的综合应用
例4 (1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)
答案 D
解析 由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.
(2)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为 ．
答案 －
解析 依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当log2x＝
－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练2 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝log32
由1
所以c>a>b.
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为 ．
答案 [1,2)
解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有即
解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
(3)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
答案
解析 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得1
则f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
比较指数式、对数式的大小
比较大小问题是每年高考的必考内容之一．
(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，若指数相同而底数不同，则构造幂函数，若底数相同而指数不同，则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
例 (1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c
A．a
A．a＋b
解析 (1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，
可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b
可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.
所以b
(3)由loga2
b＝log20.3
∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab
1．log29·log34等于( )
A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 方法一 原式＝·＝＝4.
方法二 原式＝2log23·＝2×2＝4.
2．(2018·杭州教学质检)设函数f(x)＝|ln x|(e为自然对数的底数)，满足f(a)＝f(b)(a≠b)，则( )
A．ab＝ee B．ab＝e
C．ab＝ D．ab＝1
答案 D
解析 ∵|ln a|＝|ln b|且a≠b，∴ln a＝－ln b，∴ab＝1.
3．(2019·丽水模拟)下列不等式正确的是( )
A．log3 0.2＜0.23＜30.2 B．log3 0.2＜30.2＜0.23
C．0.23＜log3 0.2＜30.2 D．30.2＜log3 0.2＜0.23
答案 A
解析 因为log3 0.2＜0,0＜0.23＜1,30.2＞1，
所以log3 0.2＜0.23＜30.2，故选A.
4．(2018·浙江名校协作体联考)若a＞b＞1,0＜c＜1，则( )
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogb c＜bloga c D．loga c＜logb c
答案 C
解析 因为a＞b＞1,0＜c＜1，所以cb＞ca，
则bloga c＝loga cb＞logbcb＞logbca＝alogb c，故选C.
5．若m＋2n＝20(m，n＞0)，则lg m·(lg n＋lg 2)的最大值是( )
A．1 B. C. D．2
答案 A
解析 lg m·(lg n＋lg 2)＝lg m·lg 2n≤2＝，又因为m＋2n＝20≥2，所以mn≤50，从而lg m·(lg n＋lg 2)≤1，当且仅当m＝10，n＝5时，等号成立，故选A.
6．(2018·浙江部分重点中学调研)已知函数f(x)＝＋ x＋4，若对任意的x∈，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案 A
解析 令t＝x，因为x∈，所以t∈(0,2]，则问题可转化为对任意的t∈(0,2]，t2＋at＋4≤6恒成立，即a≤＝－t对任意的t∈(0,2]恒成立．因为y＝－t在t∈(0,2]上单调递减，所以ymin＝1－2＝－1，所以a≤－1，即实数a的最大值为－1.故选A.
7．(2018·浙江绍兴一中模拟)设函数f(x)＝则f＝ ，方程f(f(x))＝1的解集为 ．
答案 {1，ee}
解析 由于f＝ln ，
则f＝f＝＝.
由f(f(x))＝1可得f(x)＝0或f(x)＝e，
又当x≤0时，f(x)＝ex∈(0,1]；
当x＞0时，由f(x)＝0可得ln x＝0，解得x＝1；
由f(x)＝e可得ln x＝e，解得x＝ee，
故对应方程的解集为{1，ee}．
8．(2018·杭州第二中学仿真考试)已知m＝，n＝4x，则log4m＝ ；满足lognm＞1的实数x的取值范围是 ．
答案 －
解析 由于m＝，
则log4m＝log2m＝＝×＝－；由于＜1，由lognm＞1可得m＜n＜1，
则＜22x＜1，则－＜2x＜0，
解得－＜x＜0.
9．(2018·宁波期末)若实数a＞b＞1，且loga b＋logb a＝，则loga b＝ ；＝ .
答案 1
解析 令loga b＝t，由于a＞b＞1，则t∈(0,1)，loga b＋logba＝即为t＋＝，解得t＝(t＝2舍去)，则logab＝，＝b，a＝b2，＝1.
10．(2019·浙江名校协作体联考)已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则xy的最大值是 ．
答案
解析 由题意得lg 2x＋lg 8y＝lg(2x×23y)＝lg 2x＋3y＝lg 2(x＞0，y＞0)，所以x＋3y＝1，则xy＝x×3y≤2＝，当且仅当x＝3y＝时，等号成立，所以xy的最大值为.
11．已知函数f(x)＝(ax2＋3x＋a＋1)．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的定义域、值域及单调区间；
(2)对于x∈[1,2]，不等式f(x)－3x≥2恒成立，求正实数a的取值范围．
解 (1)当a＝0时，y＝(3x＋1)，函数定义域为，值域为R，递减区间为，无递增区间．
(2)原命题可化为x∈[1,2]，ax2＋a≥1恒成立，
即a≥在x∈[1,2]上恒成立，
即a≥max，x∈[1,2]，
y＝在x∈[1,2]上单调递减，
当x＝1时，ymax＝.因此a≥.
12．(2018·浙江名校协作体联考)已知奇函数f(x)＝loga (a＞0且a≠1)．
(1)求b的值，并求出f(x)的定义域；
(2)若存在区间[m，n]，使得当x∈[m，n]时，f(x)的取值范围为[loga6m，loga6n]，求a的取值范围．
解 (1)由已知f(x)＋f(－x)＝0，得b＝±1，
当b＝－1时，f(x)＝loga ＝loga(－1)，舍去，
当b＝1时，f(x)＝loga ，定义域为.
故f(x)的定义域为.
(2)当0＜a＜1时，
f(x)＝loga ＝loga在上单调递减．
故有
而y＝＝在上单调递增，
所以＜，
又6m＜6n与矛盾，故a＞1，
所以
故方程＝6x在上有两个不等实根，即6ax2＋(a－6)x＋1＝0在上有两个不等实根．
设g(x)＝6ax2＋(a－6)x＋1(a＞1)，
则化简得
解得a＜18－12，故1＜a＜18－12.
13．(2018·浙江三市联考)下列命题正确的是( )
A．若ln a－ln b＝a－3b，则a＜b<0
B．若ln a－ln b＝a－3b，则0
解析 显然有a>0，b>0，可排除A，D；
设＝t，则a＝bt，若ln a－ln b＝a－3b，
则有ln t＝bt－3b，b＝，由b＝＞0，
得0
则ln t＝3b－bt，b＝>0,1
14．定义区间[x1，x2](x1＜x2)的长度等于x2－x1.函数y＝|loga x|(a＞1)的定义域为[m，n](m＜n)，值域为[0,1]．若区间[m，n]的长度的最小值为，则实数a的值为 ．
答案 4
解析 作出函数y＝|loga x|的图象(图略)，要使定义域区间[m，n]的长度最小，则[m，n]＝或[m，n]＝[1，a]．若1－＝，则a＝4，此时a－1＝3，符合题意．若a－1＝，则a＝，此时1－＝＜，不符合题意，所以a＝4.
15．(2018·浙江杭州二中月考)若函数y＝lg 的图象关于点M对称，则点M的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设M(m,0)，点P(x，y)是函数y＝lg 的图象上任意一点，则点P(x，y)关于点M(m,0)的对称点Q(2m－x，－y)也是函数y＝lg 的图象上一点．
从而有y＝lg ，且－y＝lg ，
所以lg ＝－lg ，
即lg ＝lg ＝lg 恒成立，
从而有＝，
所以m＝－，故选D.
16．(2018·浙江镇海中学模拟)函数f(x)＝若a，b，c，d互不相同，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，求abcd的取值范围．
解 不妨设a＜b＜c＜d，则a，b满足|log2a|＝|log2b|，即－log2a＝log2b，所以ab＝1；
c，d是二次方程x2－12x＋34＝k，k∈(0,2)在区间(4，＋∞)上的两个不相等的根，则cd＝34－k，所以cd∈(32,34)．
故abcd的取值范围是(32,34)．
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