2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第三章　函数概念与基本初等函数Ⅰ3.8

§3.8　函数与方程
最新考纲
考情考向分析
了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.



1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象



与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0

概念方法微思考
函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？
提示　不能．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)
(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P92A组T5]函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(4，＋∞)
答案　B
解析　∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0
且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，
∴f(x)的零点在区间(2,3)内．
3．[P88例1]函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
4．[P92A组T4]函数f(x)＝－x的零点个数为________．
答案　1

解析　作函数y＝和y＝x的图象如图所示，
由图象知函数f(x)有1个零点．

题组三　易错自纠
5．函数f(x)＝ln2x－3ln x＋2的零点是(　　)
A．(e,0)或(e2,0) B．(1,0)或(e2,0)
C．(e2,0) D．e或e2
答案　D
解析　f(x)＝ln2x－3ln x＋2＝(ln x－1)(ln x－2)，
由f(x)＝0得x＝e或x＝e2，
∴f(x)的零点是e或e2.
6．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)
A．x1 C．x2 答案　C
解析　作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.

7．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．
答案　(－8,1]
解析　m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8
题型一　函数零点所在区间的判定
1．(2018·绍兴调研)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案　B
解析　∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，
∴f(1)·f(2)<0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上的图象是连续的，且为增函数，
∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
2．若a A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)
答案　A
解析　∵a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
3．设函数y1＝x3与y2＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是______．
答案　(1,2)
解析　令f(x)＝x3－x－2，则f(x0)＝0，
易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，
∴x0所在的区间是(1,2)．
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理．
(2)数形结合法．
题型二　函数零点个数的判断
例1 (1)函数f(x)＝的零点个数是________．
答案　2
解析　当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，
f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，
综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)(2018·杭州质检)设方程x＝ln(ax)(a≠0，e为自然对数的底数)，则(　　)
A．当a<0时，方程没有实数根
B．当0 C．当a＝e时，方程有三个实数根
D．当a>e时，方程有两个实数根
答案　D
解析　由x＝ln(ax)得ex＝ax，则函数y＝ex，y＝ax图象的交点个数是原方程根的个数．当a<0时，在第二象限有一个根，A错误；设过原点的直线与y＝ex相切的切点坐标为(x0，)，则＝，x0＝1，则切线斜率为e，所以当0e时，方程有两个实数根，D正确，故选D.
思维升华 函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点．
(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．
(3)利用函数图象的交点个数判断．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2 C．7 D．0
答案　B
解析　方法一　
由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
方法二　函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．

(2)函数f(x)＝则函数h(x)＝f(x)－log4x的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　函数h(x)＝f(x)－log4x的零点个数即为方程f(x)＝log4x的根的个数，分别画出y1＝f(x)，y2＝log4x的图象，由图可知，两个函数的图象有5个交点，所以函数h(x)有5个零点．


题型三　函数零点的应用

命题点1　根据函数零点个数求参数
例2 (1)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
答案　(0,1)
解析　画出函数f(x)＝的图象，如图所示．

由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0 (2)(2018·浙江杭州地区四校联考)已知函数f(x)＝的图象与x轴恰有三个交点，则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1,3)
C.∪[1,2)∪(2,3)
D.∪(2,3)
答案　C
解析　函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，等价于函数f1(x)＝|2x－1|－m(x<2)的图象与x轴有两个交点且f2(x)＝(x－3m)(x－2m－2)(x≥2)的图象与x轴有一个交点，或函数f1(x)＝|2x－1|－m(x<2)的图象与x轴有一个交点且f2(x)＝(x－3m)·(x－2m－2)(x≥2)的图象与x轴有两个交点．
①由函数f1(x)＝|2x－1|－m(x<2)的图象与x轴有两个交点得02m＋2或2m＋2≥2>3m，可得m＝2或0≤m<.所以m的取值范围为.
②由函数f1(x)＝|2x－1|－m(x<2)的图象与x轴有一个交点得m＝0或1≤m<3，
由f2(x)＝(x－3m)(x－2m－2)(x≥2)的图象与x轴有两个交点得解得m≥且m≠2.
所以m的取值范围为{m|1≤m<3，m≠2}．
综上所述，实数m的取值范围为
.
命题点2　根据函数零点的范围求参数
例3 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．
答案　
解析　依题意，结合函数f(x)的图象(图略)分析可知，m需满足
即
解得 思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
跟踪训练2 (1)(2018·宁波模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
答案　C
解析　由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，
所以即
解得0 (2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是____________．
答案　
解析　令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，则函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：

当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝2－≥－，若函数f(x)的图象与y＝m的图象有三个不同的交点，则－
利用转化思想求解函数零点问题
在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：
(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．
(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．
例 (1)若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A．mn＝1 B．mn>1
C．0 答案　C
解析　由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m1，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以0
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　C
解析　令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．

若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
(3)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________．
答案　(－∞，2－2]
解析　由方程，解得a＝－，设t＝2x(t>0)，
则a＝－＝－
＝2－，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，
当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.

(4)(2018·浙江)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
答案　(1,4)　(1,3]∪(4，＋∞)
解析　当λ＝2时，f(x)＝
其图象如图(1)．
由图知f(x)＜0的解集为(1,4)．

f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．
在同一平面直角坐标系中画出y1＝x－4与y2＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．


1．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
答案　C
解析　因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　由f(x)＝0，得|log0.5x|＝x，
作出函数y＝|log0.5x|和y＝x的图象，

由图知两函数图象有2个交点，
故函数f(x)有2个零点．
3．(2018·宁波模拟)设f(x)＝则函数y＝f(f(x))的零点之和为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　C
解析　由f(f(x))＝0得f(x)＝0或f(x)＝1，当f(x)＝0时，x＝0或x＝1；当f(x)＝1时，x＝－1或x＝2，所以函数y＝f(f(x))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2，故选C.
4．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　)
A．(1,2)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案　D
解析　当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.
5．(2018·温州十校联合体期末)已知关于x的方程＝a|x|有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案　C
解析　方程＝a|x|有三个不同的实数解等价于函数y＝与y＝a|x|的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y＝与y＝a|x|的图象，如图所示，由图易知，a>0.当－2
因为f′(x)＝－，则有
解得a＝1，所以实数a的取值范围为(1，＋∞)，故选C.
6．设函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　D
解析　由方程f2(x)－af(x)＝0得f(x)＝0或f(x)＝a.在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象如图所示，由图易得显然f(x)＝0有一个实数根x＝－1，因此只要f(x)＝a有两个不相等的实根，结合函数y＝f(x)的图象可得实数a的取值范围是[1，＋∞)，故选D.

7．(2018·浙江新高考仿真训练)若f(x)为奇函数，且x0是y＝f(x)－ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点(　　)
A．y＝f(x)ex＋1 B．y＝f(－x)e－x－1
C．y＝f(x)ex－1 D．y＝f(－x)ex＋1
答案　A
解析　由题意，知f(x0)－＝0，f(－x0)＝－f(x0)，
对于A，f(－x0) ＋1＝－f(x0)＋1
＝－[f(x0)－]＝0，
所以－x0是函数y＝f(x)ex＋1的零点，故选A.
8．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
答案　B
解析　在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．
分两种情形：
(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，
f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．

(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，
即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
故选B.
9．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案　(0,1]
解析　当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0 10．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．
答案　3
解析　因为函数f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，
因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．
根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，
从而函数f(x)在R上的零点个数为3.
11．已知函数f(x)＝x，g(x)＝ x，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
答案　5
解析　由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以＝5－，所以x1＋x2＝5.

12．已知函数f(x)＝－4.
(1)若m＝4，求函数f(x)的零点个数；
(2)若函数f(x)有4个零点，求实数m的取值范围．
解　(1)当m＝4时，f(x)＝－4，
由对勾函数的性质易得y＝≥4，
当且仅当x＝±2时，等号成立，
所以函数f(x)＝－4的零点个数为2.
(2)当m>0时，由对勾函数的性质易得y＝≥2，
当且仅当x＝±时，等号成立，
要使f(x)＝－4有4个零点，
则有2<4，解得0 当m＝0时，f(x)＝|x|－4，易知此时函数f(x)＝|x|－4有2个零点，不符合题意；
当m<0时，函数y＝≥0，
当且仅当x＝±时，等号成立，
所以此时函数f(x)＝－4有4个零点，
综上所述，实数m的取值范围为(－∞，0)∪(0,4)．

13．(2018·宁波镇海中学模拟)已知函数f(x)＝则f＝________，若f(x)＝ax－1有三个零点，则a的取值范围是________．
答案　　(4，＋∞)
解析　f＝－log2＝，
所以f＝f＝2＋3＝.

x＝0显然不是函数f(x)＝ax－1的零点，则当x≠0时，由f(x)＝ax－1有三个零点知＝a－有三个根，即函数y＝＝与函数y＝a－的图象交点有三个，如图所示，则由图可知当x<0时，两个函数只有一个交点，则当x>0时，函数y＝a－与函数y＝x＋有两个交点，则存在x使a－>x＋成立，即a>x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立，即a>4.
14．(2018·湖州德清县、长兴县、安吉县期中)偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，求k的取值范围．
解　因为直线kx－y＋k＝0(k>0)，即k(x＋1)－y＝0(k>0)过定点(－1,0)．因为函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对

称，在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象及直线k(x＋1)－y＝0(k>0)如图所示，则由图易得AB＝＝，AC＝＝，
tan∠BAx＝＝，tan∠CAx＝＝，则要使直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是.

15．(2018·湖州、衢州、丽水三地市质检)已知f(x)是定义在R上的函数，若方程f(f(x))＝x有且仅有一个实数根，则f(x)的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝|2x－1| B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x2＋x＋1 D．f(x)＝sin x
答案　D
解析　对于A，由f(f(x))＝x，即|2|2x－1|－1|＝x，可得x＝1或或或，故A错误；对于B，由(ex－x)′＝ex－1，得y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以(ex－x)min＝1>0，即ex>x恒成立，所以f(f(x))＝ >ex>x，即f(f(x))＝x无解，故B错误；对于C，f(x)＝x2＋x＋1，f(f(x))＝(x2＋x＋1)2＋x2＋x＋1＋1＝x，即(x2＋x＋1)2＋x2＋2＝0，无实数根，故C错误；对于D，令y＝sin x－x，则y′＝cos x－1≤0，则y＝sin x－x在R上单调递减，当x＝0时，y＝0，所以当x∈(0，＋∞)时，sin xx，sin(sin x)>sin x>x，则sin(sin x)－x在R上单调递减，且sin(sin 0)＝0，故f(f(x))＝x有且仅有一个实数根，故选D.
16．(2019·台州第一学期质检)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝求方程|f(x)－g(x)|＝2的实根的个数．
解　在平面直角坐标系内画出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，方程|f(x)－g(x)|＝2的实根个数等价于垂直于x轴的直线与两函数图象的交点的距离等于2的直线的条数，由图易得满足题意的直线共有4条．