2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第三章　函数概念与基本初等函数Ⅰ3.1

这是一份2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第三章　函数概念与基本初等函数Ⅰ3.1，共15页。


1．函数与映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
概念方法微思考
请你概括一下求函数定义域的类型？
提示 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}；
(5)指数函数的底数大于0且不等于1；
(6)正切函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( × )
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．( √ )
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )
(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √ )
(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( × )
(6)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )
题组二 教材改编
2．[P74T7(2)]函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋lg2(6－x)的定义域是________．
答案 [－3,6)
3．[P25B组T1]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
题组三 易错自纠
4．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，x≥0，,－x2＋3，x<0，))若f(a)＝2，则a的值为( )
A．2 B．－1或2
C．±1或2 D．1或2
答案 B
解析 当a≥0时，2a－2＝2，解得a＝2；当a<0时，－a2＋3＝2，解得a＝－1.综上，a的值为－1或2.故选B.
5．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为______．
答案 2
解析 当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即xeq \\al(2,0)＝4，解得x0＝2.当x<0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－xeq \\al(2,0)＝4，无解，所以x0＝2.
6．若eq \r(x－4)有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是____________．
答案 [－1，＋∞)
解析 因为eq \r(x－4)有意义，所以x－4≥0，即x≥4.
又因为y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，
所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.
所以其值域为[－1，＋∞)．
题型一 函数的概念
1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.
2．有以下判断：
①f(x)＝eq \f(|x|,x)与g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,－1，x<0))表示同一函数；
②f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
③若f(x)＝|x－1|－|x|，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝0.
其中正确判断的序号是________．
答案 ②
解析 对于①，由于函数f(x)＝eq \f(|x|,x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,－1，x<0))的定义域是R，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故②正确；
对于③，由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝f(0)＝1，故③不正确．
综上可知，正确的判断是②.
思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
题型二 函数的定义域问题
命题点1 求函数的定义域
例1 (1)(2018·浙江名校协作体联考)函数f(x)＝lg (1－eq \r(x－2))的定义域为( )
A．(2,3) B．(2,3] C．[2,3) D．[2,3]
答案 C
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－\r(x－2)＞0，,x－2≥0))得2≤x＜3，所以函数f(x)＝lg(1－eq \r(x－2))的定义域为[2,3)，故选C.
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 018]，则函数g(x)＝eq \f(fx＋1,x－1)的定义域是( )
A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017]
C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018]
答案 B
解析 使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 018，解得－1≤x≤2 017，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g(x)有意义的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤2 017，,x－1≠0，)) 解得－1≤x＜1或1＜x≤2 017.故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．
引申探究
本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g(x)＝eq \f(fx＋1,x－1)的定义域为________________．
答案 [－2,1)∪(1,2 016]
解析 由函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]．
得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2 017]，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x＋1≤2 017，,x≠1，))则－2≤x≤2 016且x≠1.
所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]．
命题点2 已知函数的定义域求参数范围
例2 (1)若函数y＝eq \f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
答案 D
解析 要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立，
①当m＝0时，显然满足条件；
②当m≠0时，由Δ＝(4m)2－4m×3＜0，得0＜m＜eq \f(3,4)，
由①②得0≤m＜eq \f(3,4).
(2)若函数f(x)＝eq \r(ax2＋abx＋b)的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
答案 －eq \f(9,2)
解析 函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,1＋2＝－b，,1×2＝\f(b,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(3,2)，,b＝－3，))
所以a＋b＝－eq \f(3,2)－3＝－eq \f(9,2).
思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域
①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．
(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝eq \f(\r(1－|x－1|),ax－1)(a＞0且a≠1)的定义域为________．
答案 (0,2]
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－|x－1|≥0，,ax－1≠0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤2，,x≠0))⇒0＜x≤2，
故所求函数的定义域为(0,2]．
(2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
答案 [－1,2]
解析 ∵y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，
∴x∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]，x2－1∈[－1,2]，
∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
(3)若函数f(x)＝eq \r(mx2＋mx＋1)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,4]
解析 当m＝0时，f(x)的定义域为一切实数；
当m≠0时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ＝m2－4m≤0，))
得0综上，m的取值范围是[0,4]．
题型三 求函数解析式
例3 (1)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋1))＝lg x，则f(x)的解析式为____________________．
答案 f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x＞1)
解析 换元法：令eq \f(2,x)＋1＝t，由于x＞0，
所以t＞1且x＝eq \f(2,t－1)，
所以f(t)＝lg eq \f(2,t－1)，
即f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x＞1)．
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为__________________．
答案 f(x)＝x2－x＋3
解析 待定系数法：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(3)函数f(x)满足方程2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2x，x∈R且x≠0，则f(x)＝____________________.
答案 eq \f(4,3)x－eq \f(2,3x)(x∈R且x≠0)
解析 解方程组法：因为2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2x，①
将x换成eq \f(1,x)，则eq \f(1,x)换成x，得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(2,x).②
由①②消去feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))，得3f(x)＝4x－eq \f(2,x).
所以f(x)＝eq \f(4,3)x－eq \f(2,3x)(x∈R且x≠0)．
思维升华 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
(4)消去法：已知f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
跟踪训练2 (1)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则f(x)的解析式为f(x)＝________________.
答案 x2－1(x≥1)
解析 方法一 设t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 因为x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x))2＋2eq \r(x)＋1－1
＝(eq \r(x)＋1)2－1，
所以f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x)＋1)2－1(eq \r(x)＋1≥1)，
即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝____________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝2x
解析 因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
题型四 分段函数
命题点1 求分段函数的函数值
例4 (2018·台州期末)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＜1，,lg3x，x≥1，))则f(0)＝________，f(f(0))＝________.
答案 1 0
解析 由题意得f(0)＝20＝1，
则f(f(0))＝f(1)＝lg31＝0.
命题点2 分段函数与方程、不等式问题
例5 (1)(2018·浙江十校联盟高考适应性考试)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为________．
答案 －3
解析 方法一 当a＞0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无解．
当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
方法二 由题意知f(1)＝2＞0，故由f(a)＋f(1)＝0，
结合指数函数的性质知a≤0，且f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
解析 由题意知，可对不等式分x≤0,0＜x≤eq \f(1,2)，x＞eq \f(1,2)三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋eq \f(1,2)＞1，
解得x＞－eq \f(1,4)，∴－eq \f(1,4)＜x≤0.
当0＜x≤eq \f(1,2)时，原不等式为2x＋x＋eq \f(1,2)＞1，显然成立．
当x＞eq \f(1,2)时，原不等式为2x＋＞1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)).
思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
跟踪训练3 (1)(2018·宁波期末)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，x≤1，,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)x))－1，x＞1，))则f(f(2))等于( )
A．－2 B．－1 C．2eq \r(3)－1－2 D．0
答案 B
解析 f(f(2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,6)－1))＝f(0)＝20－2＝－1，故选B.
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2ax，x≥2，,2x＋1，x＜2，))若f(f(1))＞3a2，则a的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 由题意知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))＞3a2，
则9＋6a＞3a2，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.
1．函数y＝eq \f(ln1－x,\r(x＋1))＋eq \f(1,x)的定义域是( )
A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
答案 D
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＞0，,x＋1＞0，,x≠0，))
解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
2．(2018·浙江嘉兴一中月考)下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )
A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x
B．f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)，g(x)＝eq \r(x2－1)
C．f(x)＝x0，g(x)＝1
D．f(x)＝2－x，g(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t
答案 D
解析 A，B，C中函数的定义域不同，故选D.
3．(2018·浙江五校第二次联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x，x≥0，,3x，x＜0，))则f(－2)＋f(4)等于( )
A.eq \f(10,9) B.eq \f(1,9) C．87 D.eq \f(730,9)
答案 B
解析 由题意可得，f(－2)＋f(4)＝3－2＋4－4＝eq \f(1,9).故选B.
4．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))
C．(－1,0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 B
解析 由已知得－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－eq \f(1,2)，
所以函数f(2x＋1)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))).
5．(2019·浙江部分重点中学调研)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2，x＜－1，,2x－1，x≥－1，))则函数f(x)的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) D．R
答案 B
解析 当x＜－1时，f(x)＝x2－2∈(－1，＋∞)；
当x≥－1时，f(x)＝2x－1∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
综上可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞)．故选B.
6．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－b，x＜1，,2x，x≥1，))若f(f(0))＝4，则b等于( )
A．2 B．1 C．－2 D．－1
答案 C
解析 f(0)＝－b，当－b＜1，即b＞－1时，f(－b)＝－3b＝4，得b＝－eq \f(4,3)(舍去)，当－b≥1，即b≤－1时，2－b＝4，得b＝－2.
7.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0答案 A
解析 观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当08．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 若a<0，则f(a)<1等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a－7<1等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a<8，解得a>－3，故－3若a≥0，则f(a)<1等价于eq \r(a)<1，
解得a<1，故0≤a<1.
综上可得－39．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)＝________.
答案 x2－x＋1(x≠1)
解析 feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))2－eq \f(x＋1,x)＋1，
令eq \f(x＋1,x)＝t(t≠1)，则f(t)＝t2－t＋1，
即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
10．(2016·浙江)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝______，b＝________.
答案 －2 1
解析 由已知可得：f(x)－f(a)＝x3＋3x2＋1－a3－3a2－1＝x3＋3x2－a3－3a2.
而(x－b)(x－a)2＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a－b＝3，,a2＋2ab＝0，,a3＋3a2－a2b＝0，))
结合a≠0解得a＝－2，b＝1.
11．定义新运算“★”：当m≥n时，m★n＝m；当m答案 [－2,0]∪(4,60]
解析 由题意知，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－4，x∈[1，2]，,x3－4，x∈2，4]，))
当x∈[1,2]时，f(x)∈[－2,0]；
当x∈(2,4]时，f(x)∈(4,60]，
故当x∈[1,4]时，f(x)∈[－2,0]∪(4,60]．
12．(2018·浙江名校新高考研究联盟四联)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)，x∈[0，1，,2x，x∈[1，2]，))若存在x1＜x2，使得f(x1)＝f(x2)，求x1·f(x2)的取值范围．
解 函数f(x)的图象如图所示，若存在x1＜x2，使得f(x1)＝f(x2)，由图象可得eq \f(1,2)≤x1＜1,2≤f(x2)＜eq \f(5,2)，所以1≤x1·f(x2)＜eq \f(5,2).
13．(2018·浙江温州中学月考)将函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－2))＋1的图象绕原点按顺时针方向旋转角θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2)))得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则θ的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
解析 画出函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－2))＋1的图象如图，结合图象可以看出当该函数的图象绕原点O顺时针旋转的角大于或等于0而小于eq \f(π,4)时所得曲线都是一个函数的图象，故应填eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
14．(2018·宁波模拟)定义max{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥b，,b，a＜b，))已知函数f(x)＝max{|2x－1|，ax2＋b}，其中a＜0，b∈R，若f(0)＝b.
(1)求实数b的取值范围；
(2)若f(x)的最小值为1，求a＋b的值．
解 (1)由题意得f(0)＝max{1，b}，
若f(0)＝b，则b≥1.
(2)解不等式|2x－1|＞1，得x＞1或x＜0.
所以若f(x0)＝1，x0∈[0,1]，
当x∈[0,1]时，要使f(x)的最小值为1，
只需ax2＋b的最小值为1，
因为a＜0，所以由函数y＝ax2＋b的图象(图略)知ax2＋b在x＝1时取得最小值1，即a＋b＝1.
15．(2015·浙江)存在函数f(x)满足：对于任意x∈R，都有( )
A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
答案 D
解析 在A中，令x＝0，得f(0)＝0；
令x＝eq \f(π,2)，得f(0)＝1，与函数的定义不符，故A错．
在B中，令x＝0，得f(0)＝0；
令x＝eq \f(π,2)，得f(0)＝eq \f(π2,4)＋eq \f(π,2)，与函数的定义不符，故B错．
在C中，令x＝1，得f(2)＝2；
令x＝－1，得f(2)＝0，与函数的定义不符，故C错．
在D中，变形为f(|x＋1|2－1)＝|x＋1|，
令|x＋1|2－1＝t，得t≥－1，|x＋1|＝eq \r(t＋1)，
从而有f(t)＝eq \r(t＋1)，
显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的，
故选D.
16．(2018·浙江名校(诸暨中学)联考)f(x)是定义在R上的函数，若f(1)＝504，对任意的x∈R，满足f(x＋4)－f(x)≤2(x＋1)及f(x＋12)－f(x)≥6(x＋5)，求eq \f(f2 017,f1)的值．
解 ∵f(x＋4)－f(x)≤2(x＋1)，
∴f(x＋8)－f(x＋4)≤2(x＋5)，
f(x＋12)－f(x＋8)≤2(x＋9)，
上述三个式子相加得到f(x＋12)－f(x)≤6(x＋5)，
结合条件可知，f(x＋12)－f(x)＝6(x＋5)，
于是f(2 017)－f(1)＝[f(2 017)－f(2 005)]＋[f(2 005)－f(1 993)]＋[f(1 993)－f(1 981)]＋…＋[f(13)－f(1)]＝30×168＋6×eq \f(168×2 005＋1,2)＝5 040＋504×2 006，
∴eq \f(f2 017,f1)＝2 017.最新考纲
考情考向分析
1.了解函数、映射的概念．
2.了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．
3.了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.
函数
映射
两个集合A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
函数记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B