2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第三章　函数概念与基本初等函数Ⅰ3.7

§3.7　函数的图象
最新考纲
考情考向分析
1.了解函数的三种表示法(解析法、图象法和列表法)．
2.掌握指数函数，对数函数及五种幂函数的图象和性质.
函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.



1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换
(1)平移变换

(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
概念方法微思考
1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？
提示　f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．
2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)，g(x)的关系是______________．
提示　g(x)＝2b－f(2a－x)

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　×　)
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　×　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)
(4)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　×　)
(5)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)
(6)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P35例5(3)]函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案　C
解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.
3．[P23T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是(　　)


答案　C
解析　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
4．[P75A组T10]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．

答案　(－1,1]

解析　在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．
题组三　易错自纠
5．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)

答案　C
6．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象．
答案　y＝f(－x＋1)
解析　图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.
7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0 答案　(4，＋∞)
解析　画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象如图所示．

由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，
解得ab＝a＋b>2(由于a 所以ab>4.

题型一　作函数的图象
作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②实线部分．
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③实线部分．

(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④实线部分．

思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
题型二　函数图象的辨识
例1 (1)(2018·嘉兴模拟)函数f(x)＝x－x2的大致图象是(　　)

答案　D
解析　在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x与函数y＝x2的图象(图略)易得两函数图象有3个不同的交点，在y轴左侧有2个交点，分别为(－4,16)，(－2,4)，在y轴右侧且x∈(0,1)有1个交点，所以函数f(x)＝x－x2有3个不同的零点，即函数f(x)＝x－x2的图象与x轴有3个不同的交点，排除A，C；又因为f(0)＝0－02＝1>0，所以排除B，故选D.
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)



答案　B
解析　方法一　由y＝f(x)的图象知，f(x)＝
当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，
所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝图象应为B.
方法二　当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各选项，可知应选B.
思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
跟踪训练1 (1)(2018·浙江嘉兴一中测试)已知函数f(x)＝ln|x|，g(x)＝－x2＋3，则f(x)·g(x)的图象为(　　)


答案　C
解析　由f(x)·g(x)为偶函数，排除A，D，
当x＝e时，f(x)·g(x)＝－e2＋3<0，排除B.
(2)已知函数f(x)＝ln(exn)，其中e为自然对数的底数，n∈Z，则下列图象中不可能为函数f(x)图象的是(　　)

答案　C
解析　当n＝0时，f(x)＝1(x≠0)，故A正确；当n＝－1时，f(x)＝1－ln x，故B正确；当n＝2时，f(x)＝1＋2ln|x|，f(x)为偶函数，且f(1)＝1，故D正确；易知y＝f(x)不可能为奇函数，所以不可能为C选项的图象，故选C.

题型三　函数图象的应用

命题点1　研究函数的性质
例2 (1)设函数f(x)＝(x－a)|x－a|＋b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是(　　)
①对任意实数a，b，函数y＝f(x)在R上是单调函数；
②对任意实数a，b，函数y＝f(x)在R上都不是单调函数；
③对任意实数a，b，函数y＝f(x)的图象都是中心对称图象；
④存在实数a，b，使得函数y＝f(x)的图象不是中心对称图象．
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
答案　A
解析　函数y＝x|x|为R上的奇函数且为增函数，函数f(x)＝(x－a)|x－a|＋b的图象是由函数y＝x|x|的图象平移得到的，因此，其单调性和对称性不变，故①③正确，故选A.
(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0 答案　9
解析　作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0
若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，
从图象分析应有f(m2)＝2，∴log3m2＝－2，∴m2＝.
从而m＝，n＝3，故＝9.

命题点2　解不等式
例3　函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________________．

答案　∪
解析　当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)在x∈[0,4]上的图象知，
当1 所以在[－4,0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为∪.
命题点3　求参数的取值范围
例4 (1)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
答案　(0,1]
解析　作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，

由图可知k∈(0,1]．
(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案　[－1，＋∞)
解析　如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．

思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．
(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．
跟踪训练2 (1)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是__________．

答案　(－1,0)∪(1，]
解析　由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.
在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．

(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
答案　
解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.


高考中的函数图象及应用问题
高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．
一、函数的图象和解析式问题
例1 (1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)


答案　B
解析　当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C；
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2<1＋，
∴f (2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
答案　A
解析　由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
(3)(2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)


答案　B
解析　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴<，∴e－>，排除C选项．故选B.
二、函数图象的变换问题
例2 已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)


答案　D
解析　方法一　先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；
然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；
再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
方法二　先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
方法三　当x＝0时，y＝－f(2－0)＝－f(2)＝－4.故选D.
三、函数图象的应用
例3 (1)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是____________．
答案　(3，＋∞)
解析　在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.

(2)不等式3sin－x<0的整数解的个数为________．
答案　2
解析　不等式3sin－x<0，即3sin 设f(x)＝3sin，g(x)＝x，
在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，
由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x) 所以不等式3sin－x<0的整数解的个数为2.

(3)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是__________．
答案　(2,2 021)
解析　函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1 所以2

1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是(　　)


答案　D
解析　由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，
令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x.
∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．
∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B.
令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，
∴当k＝1时，x＝，故排除C.故选D.
2.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　)


答案　C
解析　当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.
3．已知函数f(x)＝logax(0

答案　A
解析　方法一　先作出函数f(x)＝logax(00时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x<0时的图象，故选A.
方法二　∵|x|＋1≥1,0 ∴f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)≤0，故选A.
4.若函数f(x)＝ 的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)

A．－ B．－
C．－1 D．－2
答案　C
解析　由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
5．(2018·宁波模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
答案　A
解析　当x≤0时，f(x)＝2－x－1，当0 类推有f(x)＝f(x－1)＝22－x－1，x∈(1,2]，…，也就是说，x>0的部分是将x∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．

若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
6.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)

A．f(x)＝x2－2ln|x| B．f(x)＝x2－ln|x|
C．f(x)＝|x|－2ln|x| D．f(x)＝|x|－ln|x|
答案　B
解析　由图象知，函数f(x)是偶函数，四个选项都是偶函数，故只需考虑x>0时的图象即可．对于选项A，当x>0时，f(x)＝x2－2ln x，所以f′(x)＝2x－＝，所以f(x)在x＝1处取得极小值，故A错误；对于选项B，当x>0时，f(x)＝x2－ln x，所以f′(x)＝2x－＝，所以f(x)在x＝处取得极小值，故B正确．对于选项C，当x>0时，f(x)＝x－2ln x，所以f′(x)＝1－＝，所以f(x)在x＝2处取得极小值，故C错误．对于选项D，当x>0时，f(x)＝x－ln x，所以f′(x)＝1－＝，所以f(x)在x＝1处取得极小值，故D错误，故选B.
7．函数f(x)＝则f(－1)＝________，若方程f(x)＝m有两个不同的实数根，则m的取值范围为________．
答案　2－　(0,2)
解析　f(－1)＝＝2－.作出函数f(x)的图象，如图，当x<0时，f(x)＝2－ex∈(1,2)，∴当x≤1时，f(x)∈[0,2)，当x≥1时，f(x)≥0，若方程f(x)＝m有两个不同的实数根，则0
8．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为______________．
答案　{x|x≤0或1 解析　画出f(x)的大致图象如图所示．

不等式(x－1)f(x)≤0可化为或
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1 9．(2018·杭州模拟)给定min{a，b}＝已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为__________．
答案　(4,5)
解析　作出函数f(x)的图象，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．

10．已知定义在R上的函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
答案　0
解析　方程f(x)＝c有三个不同的实数根等价于y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，画出函数f(x)的图象(图略)，易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根为0，令lg|x|＝1，解得x＝－10或10，故方程f(x)＝c的另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.
11．函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．
答案　6
解析　作出函数y＝ln|x－1|的图象，又y＝－2cos πx的最小正周期为T＝2，如图所示，

两图象都关于直线x＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.
12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当实数m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，

由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；
当0 函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．
(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0]．

13．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
答案　D
解析　函数f(x)的图象如图实线部分所示，且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，
＋∞)上是增函数，又0<|x1|<|x2|，

∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
14．已知函数f(x)＝，g(x)＝1＋，若f(x) 答案　∪
解析　f(x)＝
g(x)＝作出两函数的图象如图所示．

当0≤x<1时，由－1＋＝x＋1，解得x＝；当x>1时，由1＋＝x＋1，解得x＝.结合图象可知，满足f(x)
15．已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是__________．
答案　
解析　由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)(x∈[0,6])的图象至少有3个公共点．函数y＝f(x)的图象如图所示，由图知k的取值范围是.

16．已知函数f(x)＝g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围．
解　对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，即f(x)max≤g(x)min.
观察f(x)＝的图象可知，

当x＝时，函数f(x)max＝.
因为g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，
所以g(x)min＝|k－2|，所以|k－2|≥，
解得k≤或k≥.
故实数k的取值范围是∪.