2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第三章　函数概念与基本初等函数Ⅰ3.4

§3.4　幂函数与二次函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解幂函数的概念，掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质．
2.了解幂函数的变化特征．
3.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．会解一元二次不等式.
以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.



1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象





性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)

2.二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象


定义域
R
R
值域


单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称

概念方法微思考
1．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．
提示　a>0且Δ≤0.

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)
(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　)
(3)函数y＝2是幂函数．(　×　)
(4)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)(　×　)
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)
(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)

题组二　教材改编
2．[P79B组T1]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　C
解析　由幂函数的定义，知
∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.
3．[P44A组T9]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．a≥3 B．a≤3
C．a<－3 D．a≤－3
答案　D
解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
题组三　易错自纠
4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　C
解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．
答案　－1
解析　函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，
∴ymin＝2－6＋3＝－1.
6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)
答案　>
解析　f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0.

题型一　幂函数的图象和性质
1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案　D
解析　设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)

A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
答案　B
解析　由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.
3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
答案　B
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
4．若<，则实数a的取值范围是________________________．
答案　(－∞，－1)∪
解析　不等式<等价于a＋1>3－2a>0或3－2a 思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
题型二　求二次函数的解析式
例1 (1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．
答案　f(x)＝x2－2x＋3
解析　由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.
(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
答案　x2＋2x
解析　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
思维升华 求二次函数解析式的方法

跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
答案　x2＋2x＋1
解析　设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
答案　x2－4x＋3
解析　因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.

题型三　二次函数的图象和性质

命题点1　二次函数的图象
例2 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

答案　C
解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
命题点2　二次函数的单调性
例3 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案　D
解析　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]．


引申探究
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案　－3
解析　由题意知f(x)必为二次函数且a<0，
又＝－1，∴a＝－3.
命题点3　二次函数的最值
例4 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
引申探究
将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．
解　f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.
(1)当－a<即a>－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5，
(2)当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，
综上，f(x)max＝
命题点4　二次函数中的恒成立问题
例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________．
答案　(－∞，－1)
解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，x∈[－1,1]，g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，所以m<－1.
(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．
答案　2
解析　令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2.
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．
跟踪训练2 (1)函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(　　)
A．b≥0 B．b≤0
C．b>0 D．b<0
答案　A
解析　∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x＝－在区间[0，
＋∞)的左边或－＝0，即－≤0，得b≥0.
(2)(2018·浙江名校协作体联考)y＝的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C．[－1,2] D．[0,2]
答案　D
解析　由已知，t＝2ax2＋4x＋a－1取遍[0，＋∞)上的所有实数，
当a＝0时，t＝4x－1能取遍[0，＋∞)上的所有实数，只需定义域满足.
当a≠0时，只需
解得0＜a≤2.综上，0≤a≤2.
(3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　由题意得a>－对1 又－＝－22＋，<<1，
∴max＝，∴a>.

数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用
研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．
例 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t<1
当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝


1．幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　∵y＝ (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，
∴m2－4m<0，即0 又∵函数的图象关于y轴对称且m∈Z，
∴m2－4m为偶数，∴m＝2.
2．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)
A．1或3 B．1 C．3 D．2
答案　B
解析　由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，
解得m＝1.
3．若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<0或a≥3 B．a≤0或a≥3
C．a<0或a>3 D．0 答案　A
解析　若ax2－2ax＋3>0恒成立，
则a＝0或可得0≤a<3，
故当命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题时，a<0或a≥3.
4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案　A
解析　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
5．函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为(　　)
A．{x|－22或x<－2}
C．{x|04或x<0}
答案　D
解析　函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，则b－2a＝0，故f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2)，因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2－x)>0的解集为{x|2－x>2或2－x<－2}＝{x|x<0或x>4}，故选D.


6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．[0,4] B.
C. D.
答案　D
解析　二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m∈.

7．已知P＝，Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是________．
答案　P＞R＞Q
解析　P＝＝3，根据函数y＝x3是R上的增函数，且＞＞，得3＞3＞3，
即P＞R＞Q.
8．(2018·台州路桥中学检测)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f(9)＝________.
答案　3
解析　设f(x)＝xα，因为它过点(2，)，
所以＝2α，所以α＝，所以f(x)＝，
所以f(9)＝＝3.
9．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是__________．
答案　[0,4]
解析　令f(x)＝－6，得x＝－1或x＝3；令f(x)＝2，得x＝1.又f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m＝－1，n＝1时，m＋n取得最小值0；当m＝1，n＝3时，m＋n取得最大值4.
10．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是__________．
答案　
解析　因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足
解得－ 11．(2018·湖州期中)已知函数f(x)＝x2－|x2－ax－2|，a为实数．
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[0,3]上的最小值和最大值；
(2)若函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，
f(x)＝
结合图象(图略)可知f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
f(x)在[0,3]上的最小值为f＝－，
f(x)在[0,3]上的最大值为f(3)＝5.
(2)令x2－ax－2＝0，∵Δ＝a2＋8＞0，
必有两根x1＝，x2＝，
∴f(x)＝
若函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，
则解得1≤a≤8.
12．(2019·台州质量评估)已知a＞0，b∈R，函数f(x)＝4ax2－2bx－a＋b，x∈[0,1]．
(1)当a＝b＝2时，求函数f(x)的最大值；
(2)证明：函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a.
(1)解　∵a＝b＝2，
∴f(x)＝8x2－4x＝82－，x∈[0,1]，
∴当x＝1时，f(x)max＝4.
(2)证明　由f(x)＝4a2－－a＋b，
当＜，即b＜2a时，
f(x)max＝f(1)＝4a－2b－a＋b＝3a－b＝|2a－b|＋a；
当≥，即b≥2a时，
f(x)max＝f(0)＝b－a＝|2a－b|＋a.
∴函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a.

13.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac； ②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0； ④5a 其中正确的是(　　)
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
答案　B
解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a 14．已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为(　　)
A．[－，] B．[1，]
C．[2,3] D．[1,2]
答案　B
解析　由于函数f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上递减，
∴t≥1.
∴当x∈[0，t＋1]时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.
又t≥1，∴1≤t≤.故选B.

15．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B等于(　　)
A．16 B．－16
C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16
答案　B
解析　令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)·x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.
f(x)与g(x)的图象如图．

由题意知H1(x)的最小值是f(a＋2)，
H2(x)的最大值为g(a－2)，
故A－B＝f(a＋2)－g(a－2)
＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.
16．若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解　f(x)＝
当x∈[1，＋∞)时，
f(x)＝x2－ax＋a＝2＋a－，
当x∈(－∞，1)时，
f(x)＝x2＋ax－a＝2－a－.
①当>1，即a>2时，f(x)在上单调递减，
在上单调递增，不符合题意；
②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意；
③当<0，即a<0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是[0,2]．