2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第五章第二节平面向量的基本定理及坐标表示

第二节平面向量的基本定理及坐标表示


1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

[小题体验]
1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．
答案：－3
2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝________.
答案：(－6,19)
3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得所以
答案：　－
4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
答案：－1

1．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
[小题纠偏]
1．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.
答案：0
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3


[题组练透]
1．(2019·温州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－　　　　　B.－
C．－＋ D．－＋
解析：选C　如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，∴＝＝－＝－，
∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
2．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
解析：∵＝2，∴＝.
∵＝，∴＝(＋)，
∴＝－＝(＋)－
＝－.
又＝x＋y，
∴x＝，y＝－.
答案：　－
3.如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
解：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝，
得

①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，
即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，
所以＝－e1＋e2.
同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.
[谨记通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．

[题组练透]
1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为(　　)
A．(－3,4)　　　　　　　 　B．(3,4)
C．(3，－4) D．(－3，－4)
解析：选A　由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)，故选A.
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
解析：选B　设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以解得所以P.
3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴
解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

[典例引领]
1．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
答案：(2,4)
2．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－.
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
[由题悟法]
向量共线的充要条件
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)；
(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．
[即时应用]
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充要条件　　　　　　 　B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
2．(2018·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)∥(m－n)，则λ＝________.
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
又(m＋n)∥(m－n)，
所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.
答案：0
3．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
解析：∵a与b方向相反，∴可设a＝λb(λ＜0)，
∴a＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．
由|a|＝＝2，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，
故a＝(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
4．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案：

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1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)
A．(－2，－4)　　　　　　 　B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：选B　由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
2．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，
＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，
∵A，B，C三点共线，
∴∥，∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，
∴m＝1.故选A.
3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
解析：选A　由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.
4．(2019·舟山模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b共线，则m的值为________．
解析：由a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，又ma＋b与a－2b共线，所以－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4，解得m＝－.
答案：－
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，
即10x＝5，解得x＝.
答案：
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1．(2018·温州十校联考)已知a＝(－3,1)，b＝(－1,2)，则3a－2b＝(　　)
A．(7,1) B．(－7，－1)
C．(－7,1) D．(7，－1)
解析：选B　由题可得，3a－2b＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)．
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行，则A＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝.
3．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a等于(　　 )
A．2 B．1
C． D．
解析：选A　设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，∴解得∴C(3,3)．
又∵点C在直线y＝ax上，∴3＝a×3，∴a＝2.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
解析：选A　因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选C　如图，∵＝a，＝b，
∴＝＋＝＋＝a＋b.
∵E是OD的中点，
∴＝，
∴|DF|＝|AB|.∴＝＝(－)＝×＝－＝a－b，
∴＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b，故选C.
6．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________，若c＝xa＋yb，则x＋y的值为________．
解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1.因为c＝xa＋yb，所以(3,2)＝(x－2y,3x＋y)，即x－2y＝3,3x＋y＝2，解得x＝1，y＝－1，所以x＋y＝0.
答案：－1　0
7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
答案：k≠1
8.如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________．
解析：以A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，
则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x,2)，x∈[0,2]．
∴＝(2,2)，＝(2，－2)，＝(x,2)．
∵＝λ＋μ，∴∴
∴λ＋μ＝.令f(x)＝(0≤x≤2)，
∵f(x)在[0,2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝3，即λ＋μ的最大值为3.
答案：3
9．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
所以解得
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.

解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋＝b－a，
＝＋＝－b－＝a－b.
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1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，B(3,2)，C(1,1)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)内，设＝m－n(m，n∈R)，则2m＋n的最大值为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：选B　由已知得＝(1，－1)，＝(1,2)，设＝(x，y)，∵＝m－n，∴
∴2m＋n＝x－y.
作出平面区域如图所示，令z＝x－y，则y＝x－z，由图象可知当直线y＝x－z经过点B(3,2)时，截距最小，即z最大．
∴z的最大值为3－2＝1，即2m＋n的最大值为1.
2．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是(　　)
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
解析：选D　根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根据＋＝2，得＋＝2.线段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是线段AB的中点，则c＝，代入＋＝2得，＝0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不
正确；若C，D同时在线段AB上，则0＜c≤1,0＜d≤1，此时≥1，≥1，＋≥2，若等号成立，则只能c＝d＝1，根据定义，C，D是两个不同的点，矛盾，故选项C的说法也不正确；若C，D同时在线段AB的延长线上，即c＞1，d＞1，则＋＜2，与＋＝2矛盾，若c＜0，d＜0，则＋是负值，与＋＝2矛盾，若c＞1，d＜0，则＜1，＜0，此时＋＜1，与＋＝2矛盾，故选项D的说法是正确的．
3．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a＞0，b＞0.
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，
解得
故a＝2，b＝2.
(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，
因为a＞0，b＞0，所以2(a＋b)＝ab≤2，
即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8.
当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．