2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第八章第六节椭圆

第六节椭__圆

1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性 质
范围
x∈[－a，a]
y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，
y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点，
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[小题体验]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选C　∵a2＝4＋22＝8，
∴a＝2，∴e＝＝＝.
2．已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0)，若该椭圆的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是________．
解析：由题可得，m2＜16，因为m＞0，所以0＜m＜4.故实数m的取值范围为(0,4)．
答案：(0,4)
3．(教材习题改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，
由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，
又x＞0，所以x＝，
∴点P坐标为或.
答案：或

1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
[小题纠偏]
1．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　)
A．5 B．3
C．5或3 D．8
解析：选C　当m＞4时，m－4＝1，
∴m＝5；当0＜m＜4时，4－m＝1，
∴m＝3，故m的值为5或3.
2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由椭圆方程知c＝＝1，
所以F1(－1,0)，F2(1,0)．
因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，
则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝，
所以y0＝±.
设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，
所以·＝y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，
故·的最大值为.


[题组练透]
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1　　　　　　　 　B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对
解析：选C　直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，
b＝2，c＝1，∴a2＝5，
所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2．(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为________________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2×2c，＝，
又c2＝a2－b2，
联立得a2＝8，b2＝6，
故椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
[谨记通法]
求椭圆标准方程的 2种常用方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)

[典例引领]
1．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)
A．9,12　　　　　　　　 　B．8,11
C．8,12 D．10,12
解析：选C　如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，
最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.
2．F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)
A．7 B.
C. D.
解析：选C　由题意得a＝3，b＝，c＝，
∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
∴|AF1|＝.
∴△AF1F2的面积
S＝××2×＝.
[由题悟法]
椭圆定义的应用技巧
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
求焦点三角形
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
[即时应用]
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A　由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A.
2．(2018·永康适应性测试)已知F1(－1,0)，F2(1,0)，且△PF1F2的周长为6，则动点P的轨迹C的方程为________．
解析：由F1(－1,0)，F2(1,0)，△PF1F2的周长为6，
得|PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|，∴点P的轨迹是F1，F2为焦点的椭圆(不包括左右顶点)．∵2a＝4，c＝1，
∴a＝2，b＝，∴轨迹C的方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)

[锁定考向]
椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，常见的命题角度有：
(1)求离心率的值或范围；
(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围．　　　 　
[题点全练]
角度一：求离心率的值或范围
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－　　　　　　　　 　B．2－
C. D.－1
解析：选D　在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，
不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，
则|PF2|＝1，|PF1|＝，
由椭圆的定义可知，方程＋＝1中，
2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1，
所以离心率e＝＝＝－1.
角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围
2．椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则m的最大值为________．
解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时等号成立，
即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
答案：25
[通法在握]
1．应用椭圆几何性质的2个技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
2．求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
[演练冲关]
1．(2018·瑞安期末)已知椭圆＋＝1(a＞0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以a2＝12＋4＝16，所以a＝4，所以离心率e＝＝＝.
2．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意，可设P.
因为在Rt△PF1F2中，
|PF1|＝，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，
所以＝.
又因为b2＝a2－c2，
所以c2＋2ac－a2＝0，
即e2＋2e－＝0，
解得e＝或e＝－，
又因为e∈(0,1)，所以e＝.
3．(2018·温州十校联考)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
解析：设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
将y2＝b2－x2代入①式解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，
∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
答案：

[典例引领]
(2018·浙江名校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，直线y＝1与C的两个交点间的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)分别过F1，F2作l1，l2满足l1∥l2，设l1，l2与C的上半部分分别交于A，B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．
解：(1)易知椭圆过点，所以＋＝1，①
又＝，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，
设直线l1：x＝my－1，它与椭圆C的另一个交点为D.
与椭圆C的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
则Δ＝144(m2＋1)＞0，
|AD|＝·，
又F2到l1的距离为d＝，
所以S△ADF2＝×|AD|×d＝.
令t＝≥1，则S△ADF2＝，
因为y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，S△ADF2取得最大值3.
又S四边形ABF2F1＝·d
＝(|AF1|＋|DF1|)·d＝|AB|·d＝S△ADF2，
所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.
[由题悟法]
1．直线与椭圆的位置关系的解题策略
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝ (k为直线斜率)．
2．直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
涉及问题
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式
(直线与椭圆有两交点)
中点弦或弦的中点
点差法(结果要检验)
[即时应用]
(2017·浙江新高考联盟)椭圆C1 ：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点与抛物线C2 ：y2＝2px(p＞0)的焦点重合， 曲线C1与C2相交于点.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过右焦点F2的直线l(与x轴不重合)与椭圆C1交于A，C两点，线段AC的中点为G，连接OG并延长交椭圆C1于B点(O为坐标原点)，求四边形OABC的面积S的最小值．
解：(1)∵点在y2＝2px上，
∴＝2×p×，解得p＝2，
∴椭圆C1的右焦点为(1,0)，
∴解得
∴椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)设直线AC的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，C(x2，y2)，G(x0，y0)，
联立消去x，
整理得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝.
由弦长公式可得|AC|＝·|y1－y2|
＝
＝·
＝.
由中点坐标公式可知，y0＝－，
x0＝my0＋1＝
∴G.
∴直线OG的方程为y＝－x，代入＋＝1，整理得x2＝，∴B，
故B到直线AC的距离d1＝＝，
O到直线AC的距离d2＝，
∴S＝·|AC|·(d1＋d2)＝··＝6× ＝6≥3，当且仅当m＝0时取得最小值．
综上所述，四边形OABC的面积S的最小值是3.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．“2＜m＜6”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　若方程＋＝1表示椭圆．
则有∴2＜m＜6且m≠4.
故“2＜m＜6”是“＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．
2．(2019·湖州一中月考)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C　法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，故c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2，
由c2＝a2－b2，得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
法二：设所求椭圆方程为＋＝1(k＜9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝5或k＝21(舍)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
3．(2019·丽水质检)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选D　法一：不妨设点A在点B上方，由题意知F2(1，0)，将F2的横坐标代入方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)．故选D.
法二：由椭圆的通径公式得|AB|＝＝3，则S△ABF1＝×2×3＝3，而△ABF1的周长C周＝4a＝8，由S△ABF1＝C周·r得r＝，故选D.
4．(2018·长兴中学适应测试)已知椭圆C：＋＝1，则该椭圆的长轴长为________；焦点坐标为________．
解析：长轴长为2a＝8，c2＝16－9＝7，所以c＝，所以焦点坐标为(0，－)和(0，)．
答案：8　(0，－)和(0，)
5．(2018·宁波五校联考)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________；离心率为________．
解析：因为椭圆的左焦点为F1(－4,0)，所以25－m2＝42，解得m＝3.所以离心率为e＝＝.
答案：3　
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·丽水高三质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线x＝b在第一象限交于点P，若直线OP的倾斜角为30°，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意可得P，因为直线OP的倾斜角为30°，所以＝＝tan 30°，所以e＝.故选B.
2．(2018·东阳调研)椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
两式相减得ax－ax＝－(by－by)，
即＝－1，∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
3．(2019·德阳模拟)设点P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，如果|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)
A．24 B．12
C．8 D．6
解析：选C　∵点P为椭圆C：＋＝1上一点，
|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
又∵|F1F2|＝2c＝10，
∴△PF1F2是直角三角形，
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为G，
∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8，故选C.
4．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
解析：选A　当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
5.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8.由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.
6．(2018·达州模拟)以圆x2＋y2＝4与x轴的交点为焦点，以抛物线y2＝10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　根据题意，圆x2＋y2＝4与x轴的交点为(±2,0)，抛物线y2＝10x的焦点为，即椭圆的焦点为(±2,0)，椭圆的一个顶点为，则椭圆中c＝2，a＝，则椭圆的离心率e＝＝＝.
7．(2019·温州模拟)设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________________．
解析：由题意知|AF2|＝|BF2|＝|AB|＝|AF1|＋|BF1|，　①又由椭圆的定义知|AF2|＋|AF1|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，　②联立①②，解得|AF2|＝|BF2|＝|AB|＝a，|AF1|＝|BF1|＝a，所以S△F2AB＝|AB|·|AF2|sin 60°＝4，所以a＝3，|F1F2|＝|AB|＝2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝6，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.
解析：由椭圆＋＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点．在△ABC中，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c＝|AB|＝6，a＋b＝|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理可得＝＝＝3.
答案：3
9．(2018·新乡一模)已知直线l：y＝2x－2与椭圆Ω：＋＝1(m≠0)交于A，B两点．
(1)求Ω的离心率；
(2)若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点，求Ω的方程及圆C的标准方程．
解：(1)e＝ ＝ ＝ ＝.
(2)由得17x2－32x＋16－4m2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝322－68(16－4m2)＞0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
由已知得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋4(x1－1)(x2－1)＝5x1x2－4(x1＋x2)＋4＝0，
即5×－4×＋4＝0，
解得m2＝1，且满足Δ＝322－68(16－4m2)＞0，
故Ω的方程为＋y2＝1.
设圆C的圆心坐标为(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝2(x0－1)＝－.
由x1x2＝＝，
得|AB|＝·＝.
故圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝2，
即2＋2＝.
10．(2018·天津高考)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，|AB|＝.
(1)求椭圆的方程．
(2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
又|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，
由题意知，x2＞x1＞0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．
因为△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，
所以|PM|＝2|PQ|，
所以x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.
易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，
由方程组消去y，可得x2＝.
由方程组消去y，可得x1＝ .
由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，
两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，
解得k＝－或k＝－.
当k＝－时，x2＝－9＜0，不合题意，舍去；
当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．
所以k的值为－.
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1．(2018·绍兴一中质检)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　依题意，知b＝2，kc＝2.
设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，
解得d2≤.又因为d＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，
解得0＜e≤.
2.(2018·杭州模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点O的直线l，与该椭圆交于P，Q两点，直线OP，PQ，OQ的斜率依次为k1，k(k≠0)，k2，满足k1,2k，k2依次成等差数列，求△OPQ面积的取值范围．
解：(1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则解得所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为 y＝kx＋m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y，
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，
且x1＋x2＝，x1x2＝.
因为k1,2k，k2依次成等差数列，
所以k1＋k2＝4k，即＋＝4k，
所以＝2k，即＝2k，解得m2＝.
所以|PQ|＝|x1－x2|＝·＝·，O到直线PQ的距离d＝，
所以S△OPQ＝·d·|PQ|＝.
令＝t，t＞1，
则S△OPQ＝＝，
因为t＞1时，t＋＞2，
所以0＜＜1，

所以△OPQ面积的取值范围为(0,1)．