2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第七章第二节空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l
2．空间几何体的表面积与体积公式
　　　 名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
[小题体验]
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A．20π　　 B．24π　　　　C．28π　　　　D．32π
解析：选C　由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.
2．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.
答案：3
3．若球O的表面积为4π，则该球的体积为________．
解析：由题可得，设该球的半径为r，则其表面积为S＝4πr2＝4π，解得r＝1.所以其体积为V＝πr3＝π.
答案：π

1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．
2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．
3．易混侧面积与表面积的概念．
[小题纠偏]
1．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．
答案：2∶3　1∶1
2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．

解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝3×4×2＋2×2×2＋4×2×2＋4×6＋×(2＋6)×2×2＝72＋16.
答案：72＋16


[题组练透]
1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)
A．8＋2
B．11＋2
C．14＋2
D．15
解析：选B　由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
2．(2018·浙江新高考联盟高三期初联考)如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于(　　)

A．34＋6　　　　　 　 B．44＋12
C．34＋6 D．32＋6
解析：选A　由三视图知几何体底面是一个长为6，宽为2的矩形，高为4的四棱锥，所以该几何体的表面积为×6×2＋×6×4＋2××2×5＋6×2＝34＋6，故选A.
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为(　　)

A．6＋4＋2
B．8＋4
C．6＋6
D．6＋2＋4
解析：选A　由三视图可知该棱锥为如图所示的四棱锥P­ABCD，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝×2×2＝2，S△PBC＝×2×2×sin 60°＝2，S四边形ABCD＝2×2＝4，故该棱锥的表面积为6＋4＋2.
[谨记通法]
几何体的表面积的求法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理．

[典例引领]
1．(2018·金华高三期末考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A.　　　　　　　　 　 B.
C. D.
解析：选D　由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示．底面ABCD的面积为2×2＝4，高PO＝，故该几何体的体积V＝×4×＝.
2．(2018·宁波十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，表面积等于________．

解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为×π×22×3＝6π，
表面积为2××π×22＋4×3＋π×2×3＝10π＋12.
答案：6π　12＋10π
[由题悟法]
有关几何体体积的类型及解题策略
常见类型
解题策略
球的体积问题
直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径
锥体、柱体的体积问题
根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解
以三视图为载体的几何体体积问题
将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解
不规则几何体的体积问题
常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解
[即时应用]
1．(2018·杭州高级中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．1 B.
C. D.
解析：选C　由题可得，该几何体是一个四棱锥，底面是上下底边分别为1和2，高为1的直角梯形，又四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为V＝××(1＋2)×1×1＝.
2．(2019·台州高三适考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，几何体中最长棱的长是________．

解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥M­A1B1N，如图所示，M是棱AB上靠近点A的一个三等分点，N是棱C1D1的中点，所以VM­A1B1N＝××2×2×2＝.又A1B1＝2，A1N＝B1N＝＝，A1M＝＝，B1M＝＝，MN＝＝
，所以该几何体中最长棱的长是.
答案：　
3.(2018·温州高三一模)如图，一个简单几何体的三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积为________，表面积为________．


解析：如图，还原三视图为正四棱锥，易得正四棱锥的高为，底面积为1，体积V＝×1×＝；易得正四棱锥侧面的高为＝1，所以表面积S＝4××1×1＋1＝3.
答案：　3

[锁定考向]
与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．
常见的命题角度有：
(1)球与柱体的切、接问题；
(2)球与锥体的切、接问题．　
[题点全练]
角度一：球与柱体的切、接问题
1.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　)
A.π　　　　　　　 B.
C. D.π
解析：选C　平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以内切圆的半径r＝×tan 30°＝，
所以S＝πr2＝π×＝π.
2．(2018·金华一模)一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积为V2，则的值为________．
解析：如图，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，球O的半径为r，∴球O的体积V1＝πr3，圆柱内除了球之外的几何体体积 V2＝πr2×2r－πr3＝πr3，
∴＝＝2.
答案：2
角度二：球与锥体的切、接问题
3．(2018·绍兴质检)四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是(　　)
A．6 B．5
C. D.
解析：选D　过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题知，四棱锥P­ABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点．设PH＝h，易知Rt△PMO∽Rt△PHF，所以＝，即＝，解得h＝.
4．(2018·嘉兴一模)如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为(　　)

A. B．8π
C．9π D.
解析：选D　如图，该几何体为三棱锥A­BCD，设三棱锥外接球的球心为O，O1，O2分别为△BCD，△ABD的外心，依题意得，OO1＝AB＝，O1D＝CD＝，∴球的半径R＝＝ ，∴该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝.
[通法在握]
解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：

[演练冲关]
1．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为(　　)
A．20π B.
C．5π D.
解析：选D　由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1，其高h＝1，∴球半径为R＝＝＝，∴该球的体积V＝πR3＝×3π＝.
2．(2018·镇海期中)一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体体积的最大值为________．
解析：由题可得，要使正方体可以在纸盒内任意转动，则只需该正方体在正四面体的内接球内即可．因为正四面体的棱长为6，所以其底面正三角形的高为3，正四面体的高为2，则该正四面体的内球的半径为，设该正方体的边长为a，要满足条件，则a≤，即a≤.所以正方体的最大体积为V＝a3≤2.
答案：2

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1．(2018·浙江名校联考)“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　由题可得，球的三个视图都是圆，所以三视图完全相同；三视图完全相同的几何体除了球，还有正方体，所以是必要不充分条件．
2．(2018·长兴中学适应性测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．64 B．72
C．80 D．112
解析：选C　由题可得，该几何体是一个棱长为4的正方体与一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥的组合体，所以其体积为V＝43＋×42×3＝80.
3．(2019·杭二月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．π＋ B．2π＋
C．2π＋ D．π＋
解析：选A　由三视图知，该几何体的上半部分是一个三棱锥，下半部分是一个圆柱．由题图中的数据知V圆柱＝π×12×1＝π，三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，故其高即为三棱锥的高，故三棱锥的高为，由于三棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，因此两直角边长都是，则底面三角形的面积是××＝1，故V三棱锥＝×1×＝，故该几何体的体积为π＋.
4．(2018·嘉兴模拟)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a＝________，该几何体的表面积为________．


解析：由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为2、高为a的等腰三角形，高为3.因为其体积为3，所以V＝×2a×3＝3a＝3，解得a＝.所以该几何体的表面积为S＝2××2×＋2×3×3＝2＋18.
答案：　2＋18
5．(2018·丽水模拟)若三棱锥P­ABC的最长的棱PA＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是________，表面积是________．
解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R＝PA＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V＝×π×13＝π，表面积S＝4πR2＝4π.
答案：π　4π
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1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)
A．7　　　　　　　　　　　 　 B．6
C．5 D．3
解析：选A　设圆台较小底面半径为r，
则另一底面半径为3r.
由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π B．12π
C．8π D．10π
解析：选B　设圆柱的轴截面的边长为x，
则x2＝8，得x＝2，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2
＝12π.故选B.
3．(2018·温州十校联考)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是(　　)
A．4 B.
C．8 D.
解析：选B　由题可得，该几何体是一个底面为长方形的四棱锥，所以其体积为V＝×4×2×2＝.
4．(2018·兰州实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为(　　)

A.π B.
C．3π D．3
解析：选A　由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为，故体积为π3＝π，故选A.
5．(2018·宁波十校联考)如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)

A．2 B.
C．2 D.
解析：选C　由题可得，该几何体是水平放置的四棱锥，其底面是一个直角梯形．所以其最长的棱的长度为＝2.



6.(2018·宁波一模)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　由三视图得，该几何体是从四棱锥P­ABCD中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，则所求的体积V＝×2×2×2－×π×12×2＝.
7．(2018·衢州调研)已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________；表面积是________．

解析：该几何体是一个三棱锥，其高为2，其底面是一个等腰直角三角形，腰长为，所以其体积为V＝××()2×2＝，表面积为S＝×2×＋×()2＋×2×2＋××＝3＋＋.
答案：　3＋＋
8．(2018·杭州模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝3，BC＝2，则棱锥O­ABCD的体积为________．
解析：依题意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱锥O­ABCD的高等于＝，
所以棱锥O­ABCD的体积等于×3×2×＝.
答案：
9．(2019·舟山六校联考)某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，正视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积为________．

解析：由三视图可知，该四面体是四面体ABCD，如图，其中，BE⊥底面ACD，AD＝DC＝BE＝2，则该四面体的体积为××2×2×2＝.
答案：
10．(2018·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．
解析：如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，为底面边长为2，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝25π.
答案：25π
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1．(2018·广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为(　　)

A. B.
C. D.
解析：选C　由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为，故选C.
2．(2018·温州一模)三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为(　　)

A．4π B．2π
C．4π D．2π
解析：选A　三棱锥的直观图如图，设H为三棱锥P­ABC外接球的球心，O1为△PAC外接圆的圆心，O2为△ABC外接圆的圆心，取AC的中点O，连接PO，HO1，O2H，HB，结合三视图易知OO1＝PO＝，O2B＝AB＝×＝.∵平面PAC⊥平面ABC，HO2⊥平面ABC，HO2⊄平面PAC，∴HO2∥平面PAC，∵PO⊥平面ABC，∴OO1∥HO2，连接OO2，易知OO2∥HO1，∴四边形HO1OO2为平行四边形，∴HO2＝OO1＝.在Rt△HO2B中，HB＝＝，即三棱锥P­ABC外接球的半径为，故所求体积为×π×()3＝4π.
3．已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB＝AC＝3，BC＝3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥D ­ABC体积的最大值．
解：如图，在△ABC中，
∵AB＝AC＝3，BC＝3，
∴由余弦定理可得
cos A＝＝－，
∴sin A＝.
设△ABC外接圆O′的半径为r，
则＝2r，得r＝3.
设球的半径为R，连接OO′，BO′，OB，则R2＝2＋32，解得R＝2.
由图可知，当点D到平面ABC的距离为R时，三棱锥D ­ABC的体积最大，
∵S△ABC＝×3×3×＝，
∴三棱锥D ­ABC体积的最大值为××3＝.