2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第五章第一节平面向量的概念及其线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算


1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的 单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[小题体验]
1．下列四个命题中，正确的命题是(　　)
A．若a∥b，则a＝b　　　　 　B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a|＝|b|
答案：D
2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)
A．共线 B．不共线
C．共线且同向 D．不一定共线
答案：D　
3．若D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)
A．－＋ B．－－
C． － D．＋
答案：A
4．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
答案：－

1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[小题纠偏]
1．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：2
2．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．
解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.
若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，
即a＝λb，且λ＞0，故q⇒/ p.
∴p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要


[题组练透]
1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
2．下列说法中错误的是(　　)
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
解析：选C　选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就一定不相等，故正确．
3．(易错题)给出下列命题：
①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则∥且||＝||，因此，＝.
③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是①②.
答案：①②

[谨记通法]
向量有关概念的5个关键点
(1)向量：方向、长度．
(2)非零共线向量：方向相同或相反．
(3)单位向量：长度是一个单位长度．
(4)零向量：方向没有限制，长度是0.
(5)相等相量：方向相同且长度相等．

[题组练透]
1．(2018·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　)
A． 　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：选D　因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.
2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选B　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.
3．(2019·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且＝＋，则实数m的值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选D　＝＋＝＋(－)＝m＋，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，因为 ＝，所以＝(1－λ)＋λ，则解得故选D.
[谨记通法]
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．

[典例引领]
1．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)·，则x的取值范围是(　　 )
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　设＝y，∵＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y) ，∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈，∵＝x＋(1－x)，∴x∈.
2．设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，
∴＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb同向，
∴存在实数λ(λ＞0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
解得或
又∵λ＞0，∴k＝1.
[由题悟法]
共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
[即时应用]
1．设向量a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B　因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线．设＝λ，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.
2．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．



解：(1)延长AD到G，
使＝，
连接BG，CG，得到▱ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
又因为，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2＋＝0，则＝(　　)
A．2－　　　　　 　B．－＋2
C.－ D．－＋
解析：选A　依题意，得＝＋＝＋2＝＋2(－)，所以＝2－.
2．(2019·石家庄质检)在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B　∵＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：选C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.
又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
4．(2018·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
解析：如图，因为＝，P是上一点．所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.
答案：
5．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．
解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，因为在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形ANDM为菱形，因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3.
答案：3

二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　 )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：选A　＝＋＋＝3a＋6b＝3.因为与有公共点A，所以A，B，D三点共线．
2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
解析：选B　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k.
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.
3．(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝(　　)
A.a＋b B．－a－b
C．－a＋b D.a－b
解析：选C　如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，所以＝＝(＋)＝＝－a＋b.
4．(2018·遂昌期初)已知a，b是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则实数t的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．1
C． D．
解析：选D　由题可设(a＋b)＝λa＋μtb，因为a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以＝λ，μ＝，所以＝t，解得t＝.
5．(2019·丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：选A　∵＋＋＝2＝2(－)，∴3＝－＝，∴∥，且方向相同，∴＝＝＝3，
∴S△PAB＝＝2.
6．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为________．
解析：设线段BC的中点为M，则＋＝2.
因为2＝＋，所以＝，
则＝＝(＋)＝＝＋.
由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.
答案：
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，
因此，||＝||＝2.
答案：2
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为________．
解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．
∴正确命题为②③④.
答案：3
9．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵＝2e1－8e2，
∴＝2.
又∵与有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，
∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
∴＝λ (λ∈R)，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得
解得k＝12.
10．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，OE―→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则(　　)
A．m＋n是定值，定值为2
B．2m＋n是定值，定值为3
C.＋是定值，定值为2
D.＋是定值，定值为3
解析：选D　因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ).又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D.
2．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若＝λ＋μ，则λ－μ＝________.

解析：如图，在平行四边形ABCD中，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋－，所以＝＋，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，所以λ－μ＝.
答案：
3．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.