2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝.

2．诱导公式

[小题体验]

1．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______.

答案：－

2．若tan θ＝，则的值为________．

答案：

3．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．

解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°

＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.

答案：0

1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．

特别注意函数名称和符号的确定．

2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．

3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．

[小题纠偏]

1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝________.

答案：－

2．(1)sin＝________，

(2)tan＝________.

答案：(1)　(2)

[题组练透]

1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为(　　)

A．　　　　　　　　　 B．－

C．－   D．

解析：选A　sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝×＝.

2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－，则cos的值为(　　)

A．   B．－

C．   D．－

解析：选B　因为sin(π＋α)＝－＝－sin α，

所以cos＝－sin α＝－.

3．已知tan＝，则tan＝________.

解析：tan＝tan

＝tan

＝－tan＝－.

答案：－

4．(易错题)设f(α)＝，求f的值．

解：∵f(α)＝

＝＝

＝，

∴f＝＝＝＝.

5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．

解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.

∴sin(3π＋α)·tan

＝sin(π＋α)·＝sin α·tan

＝sin α·＝sin α·＝cos α＝.

[谨记通法]

1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”

2．利用诱导公式化简三角函数的要求

(1)化简过程是恒等变形；

(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．

[典例引领]

1．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B．－

C．   D．

解析：选D　依题意得：＝5，∴tan α＝2.

∴sin2α－sin αcos α＝

＝＝＝.

2．已知sin θ＝，cos θ＝(m≠0)，则tan(kπ＋θ)(k∈Z)的值为________．

解析：因为sin θ＝，cos θ＝，所以sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，解得m＝8，所以sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝－.所以tan(kπ＋θ)(k∈Z)＝tan θ＝－.

答案：－

3．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．

解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝.

又因为θ∈，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，

所以sin θ－cos θ＝－.

答案：－

[由题悟法]

同角三角函数基本关系式的应用技巧

[即时应用]

1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)

A．　　　　　　　　　　 　B．－

C．   D．－

解析：选D　法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝＝ ＝，

所以tan α＝＝＝－.

法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.故选D.

2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝，则sin α－cos2β的最大值为(　　)

A．－ B．－

C．－   D．

解析：选D　因为sin α＋sin β＝，所以sin α＝－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－≤sin β ≤1.所以sin α－cos2β＝－sin β－1＋sin2β＝2－，当sin β＝－时，sin α－cos2β有最大值.

3．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)

A．－   B．

C．－   D．

解析：选B　∵＜α＜，

∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，

∴cos α－sin α＞0，

又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，

∴cos α－sin α＝.

4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α－cos α＝________.

解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，①

将①两边平方得1＋2sin αcos α＝，故2sin αcos α＝－.

∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.

又∵＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝.

答案：

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos＝，且|α|＜，则tan α＝(　　)

A．－　　　　　　　　　 B．

C．－   D．

解析：选C　因为cos＝－sin α＝，所以sin α＝－.因为|α|＜，所以α＝－，所以tan α＝tan＝－.

2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)

A．－ B．－

C．   D．

解析：选D　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，

∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.

∵|θ|＜，∴θ＝.

3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为(　　)

A． B．－

C．   D．

解析：选B　由题可得，sin α＋cos α＝，sin αcos α＝.所以sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝－＝1，解得a＝－.

4．＝(　　)

A．sin 2－cos 2   B．cos 2－sin 2

C．±(sin 2－cos 2)   D．sin 2＋cos 2

解析：选A　

＝＝

＝|sin 2－cos 2|.

又∵＜2＜π，

∴sin 2＞0，cos 2＜0.

∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.

5．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．

解析：∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.

∴cos＝－sin A＝.

答案：

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)

A．   B．－

C．   D．－

解析：选B　因为tan(α－π)＝，

所以tan α＝.

又因为α∈，

所以α为第三象限的角，

sin＝cos α＝－.

2．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 018)＝5，则f(2 019)的值是(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析：选B　∵f(2 018)＝5，

∴asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＋4＝5，

即asin α＋bcos β＝1.

∴f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝－1＋4＝3.

3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为(　　)

A．－   B．

C．2 D．－

解析：选B　由题意可得tan α＝2，

所以cos＝－cos 2α＝－＝－＝.

4．当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是(　　)

A．1   B．－1

C．±1   D．0

解析：选B　∵sin＝，

∴cos＝，

∴在第一象限，且cos ＜sin，

∴＝＝－1.

5．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则

＝(　　 )

A．   B．

C．   D．

解析：选B　由5x2－7x－6＝0，得x＝－或x＝2.

则sin α＝－.故原式＝＝＝.

6．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　 )

A．1＋   B．1－

C．1±   D．－1－

解析：选B　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝.

∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，

∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.

7．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．

解析：由题意知，cos＝cos

＝－cos＝－a.

sin＝sin＝cos＝a，

所以cos＋sin＝0.

答案：0

8．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则＝________.

解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以＝＝＝＝.

答案：

9．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．

解：因为cos(75°＋α)＝，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－＝－.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－－＝－.

10．已知sin(3π＋θ)＝，求＋

的值．

解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－.

∴原式＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝18.

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1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.

解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.

答案：

2．已知f(x)＝(n∈Z)．

(1)化简f(x)的表达式；

(2)求f＋f的值．

解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，

f(x)＝

＝＝＝sin2x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，

f(x)＝

＝

＝

＝

＝sin2x，

综上得f(x)＝sin2x.

(2)由(1)得f＋f

＝sin2＋sin2

＝sin2＋sin2

＝sin2＋cos2＝1.