2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第三节三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质


1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
为增；为减
[2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减
为增
对称中心
(kπ，0)


对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ


[小题体验]
1．①y＝cos2x; ②y＝sin 2x; ③y＝tan 2x; ④y＝|sin x| 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．
答案：②
2．(教材习题改编)函数y＝－tan＋2的定义域为________________．
答案：

1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
[小题纠偏]
1．函数y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的单调性是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
答案：D
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析：由已知x∈，得2x－∈，
所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
答案：－


[题组练透]
1．函数y＝ 的定义域为________．
解析：由题可得所以有0＜sin x≤，
解得2kπ＜x≤2kπ＋或2kπ＋≤x＜2kπ＋π，k∈Z，
所以所求函数的定义域为.
答案：
2．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为______________．
解析：由得
∴－3≤x＜－或0＜x＜.
∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.
答案：∪
[谨记通法]
三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．

[典例引领]
1．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－　　　　　　　 　B．0
C．－1 D．－1－
解析：选A　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin∈.
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.
2．(2018·浙北联考)函数f(x)＝2cos2x＋5sin x－4的最小值为________，最大值为________．
解析：f(x)＝2cos2x＋5sin x－4＝－2sin2x＋5sin x－2＝－22＋.因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝－1时，f(x)有最小值－9；当sin x＝1时，f(x)有最大值1.
答案：－9　1
3．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为________________．
解析：设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
即sin xcos x＝，且－1≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.
∴函数的值域为[－1,1]．
答案：[－1,1]
4．(2019·平阳模拟)已知函数f(x)＝2asin＋a＋b(a＜0)的定义域为，值域为[－5,1]，则a＋b＝________.
解析：因为x∈，所以2x＋∈，所以sin∈.因为a＜0，所以f(x)∈[3a＋b，b]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a＋b＝－5，b＝1，所以a＝－2，所以a＋b＝－1.
答案：－1
[由题悟法]
三角函数最值或值域的3种求法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数．
[即时应用]
求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．
解：令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈.
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝时，ymax＝，
当t＝－时，ymin＝.
∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.


[锁定考向]
三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．
常见的命题角度有：
(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．　　　 　
[题点全练]
角度一：三角函数的周期性
1．(2019·湖州期末)函数y＝5sin的最小正周期为(　　)
A．6　　　　　　　　　　 B．－6
C． D．
解析：选A　函数的最小正周期为T＝＝6.
2．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A　∵f＝2，f＝0，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.
角度二：三角函数的对称性
3．(2018·嘉兴期末)函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程可以是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选A　由题可得，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.所以当k＝0时，函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝.
4．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.
解析：由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，
故φ＝kπ＋(k∈Z)．
答案：kπ＋(k∈Z)
角度三：三角函数的单调性
5．(2019·浦江模拟)已知函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且是偶函数，则(　　)
A．f(x)在内单调递减
B．f(x)在内单调递减
C．f(x)在内单调递增
D．f(x)在内单调递增
解析：选A　因为函数f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f(x)是偶函数，且|φ|＜，所以φ＝.所以
f(x)＝sin＝cos 2x，所以函数f(x)在内单调递减．
[通法在握]
1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[演练冲关]
1．(2019·舟山模拟)若函数f(x)＝sin(φ－x)是奇函数，则φ的值可能是(　　)
A． B．
C． D．π
解析：选D　因为函数f(x)是奇函数，所以φ＝kπ(k∈Z)．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.
2．若函数f(x)＝sin＋sin ωx(ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.
解析：f(x)＝sin＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T＝4，所以＝4，即ω＝.
答案：
3．函数y＝|tan x|在上的单调减区间为_______．
解析：如图，观察图象可知，y＝|tan x|在上的单调减区间为和.
答案：和

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．下列函数中，周期为π的奇函数为(　　)
A．y＝sin xcos x　　　　 　B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：选A　y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，B、C、D都不正确，选A.
2．函数y＝sin在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，∵ω＞0，∴当k＝0时，ωmin＝，故选D.
3．函数y＝ 的定义域为(　　)
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D．R
解析：选C　∵cos x－≥0，得cos x≥，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
4．(2018·浙江六校联考)函数y＝3sin x＋cos x的单调递增区间是________．
解析：化简可得y＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，又x∈，∴函数的单调递增区间是.
答案：
5．函数f(x)＝sin在上的值域是________．
解析：∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－，∴f(x)∈.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·诸暨模拟)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　)
A．3 B．2
C． D．
解析：选C　因为函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以f(x)max＝f＝sin＝1.又因为≥2×，所以0＜ω≤2，所以＝，解得ω＝.
2．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析：选C　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan在区间上单调递增，B错；最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝，所以它的图象关于对称．
3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)对任意x都有f＝f，则f的值为(　　)
A．2或0 B．－2或2
C．0 D．－2或0
解析：选B　因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，所以该函数图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　　 )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
解析：选A　∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝.
∵当x＝时，f(x)有最大值，
∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵－π＜φ≤π，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin，
令－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋6kπ≤x≤＋6kπ，k∈Z，
故f(x)的单调增区间为，k∈Z，
令k＝0，得x∈，
∵[－2π，0]⊆，故A正确．
5．已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．(0,2]
解析：选A　由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，
由题意知⊆，
∴∴≤ω≤，故选A.
6．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．
解析：由题意知，1＜＜2，即k＜π＜2k.又k∈N，所以k＝2或k＝3.
答案：2或3
7．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
解析：∵x∈，∴x＋∈，
∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴结合函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.
答案：
8．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝________.
解析：由题意得＝，T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，而x0∈，所以x0＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ，k∈Z，
∴cos φ＝0，∵0＜φ＜，∴φ＝.
(2)f(x)的图象过点时，sin＝，
即sin＝.
又∵0＜φ＜，∴＜＋φ＜π.
∴＋φ＝，φ＝.∴f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)当x∈时，≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若存在实数a，使函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间上取到最大值1，则实数a等于(　　)
A．1 B．
C． D．2
解析：选C　y＝－2＋＋a－.
当0≤x≤时，0≤cos x≤1，令t＝cos x，则0≤t≤1，
所以y＝－2＋＋a－，0≤t≤1.
①当0≤≤1，即0≤a≤2时，则当t＝，即cos x＝时，ymax＝＋a－＝1，解得a＝或a＝－4(舍去)，故a＝；
②当＜0，即a＜0时，则当t＝0，即cos x＝0时，
ymax＝a－＝1，解得a＝，由于a＜0，故这种情况不存在满足条件的a值；
③当＞1，即a＞2时，则当t＝1，即cos x＝1时，
ymax＝a＋a－＝1，解得a＝.由于＜2，
故这种情况下不存在满足条件的a值．
综上知，存在a＝符合题意．故选C.
2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．
解析：若①②成立，则ω＝＝2.令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|＜，故k＝0，则φ＝.此时f(x)＝sin.当x＝时，sin＝sin π＝0，所以f(x)的图象关于成中心对称；又f(x)在上是增函数，则f(x)在上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④.
答案：①②⇒③④或①③⇒②④
3．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解：已知函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a＞0时，得∴a＝3－3，b＝5.
②当a＜0时，得∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.