2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第一节函数及其表示

第一节函数及其表示


1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射

2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
[小题体验]
1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是(　　)
A．f(x)＝x2，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
D．f(x)＝，g(x)＝x－3
解析：选B　选项A中，f(x)＝x2与g(x)＝的定义域相同，但对应关系不同；选项B中，二者的定义域都为{x|x＞0}，对应关系也相同；选项C中，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝(x－1)0的定义域为{x|x≠1}；选项D中，f(x)＝的定义域为{x|x≠－3}，g(x)＝x－3的定义域为R.
2．若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是(　　)

解析：选B　根据函数的概念，任意一个x只能有唯一的y值和它对应，故排除C项；由定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}排除A、D两项，故选B.
3．函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
4．若函数f(x)＝则f(f(2))＝________.
解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，
所以f(f(2))＝1.
答案：1
5．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝________.
解析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，
∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x，
∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20.
答案：－20

1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．
2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．
[小题纠偏]
1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f(x)＝则f＝________，方程f(x)＝2的解为________．
解析：f＝f＝f(－1)＝0.
当x＞0时，log2x＝2，得x＝4；
当x≤0时，x2＋x＝2，得x＝－2或x＝1(舍去)．
所以f(x)＝2的解为－2或4.
答案：0　－2或4
2．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
解析：令t＝，
∴x＝.
∴f(t)＝＋.
∴f(x)＝(x≠0)．
答案：(x≠0)


[题组练透]
1．y＝ －log2(4－x2)的定义域是(　　)
A．(－2,0)∪(1,2)　　　 　B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
解析：选C　要使函数有意义，则
解得x∈(－2,0)∪[1,2)，
即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．
2．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
答案：[－1,2]
3．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________．
解析：若函数f(x)＝的定义域为实数集R，
则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，
即实数a的取值范围为[－2,2]．
答案：[－2,2]
[谨记通法]
函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

[典例引领]
(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
解：(1)(配凑法)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
(2)(换元法)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，又x＞0，所以t＞1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x＞1.
(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
所以f(x)的解析式是f(x)＝.
[由题悟法]
求函数解析式的4种方法

[即时应用]
1．已知函数f(x－1)＝，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝　　　　　　 　B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：选A　令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝，
即f(x)＝.
2．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝________.
解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得∴g(x)＝3x2－2x.
答案：3x2－2x
3．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
解析：∵2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
答案：2x－(x≠0)

[锁定考向]
高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．
常见的命题角度有：
(1)分段函数的函数求值问题；
(2)分段函数与方程、不等式问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：分段函数的函数求值问题
1．(2018·浙江五校联考)已知函数f(x)＝则f(－2)＋f(4)＝(　　)
A. B.
C．87 D.
解析：选B　由题意可得，f(－2)＋f(4)＝3－2＋4－4＝.
角度二：分段函数与方程、不等式问题
2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f(x)＝则不等式f(x)＜2的解集为(　　)
A．(－3,2) B．(－2,3)
C．(2,3) D．(－3，－2)
解析：选A　当x＜1时，f(x)＜2可化为log2(1－x)＜2，即0＜1－x＜4，解得－3＜x＜1；当x≥1时，f(x)＜2可化为3x－7＜2，即3x＜9，得1≤x＜2.综上，不等式f(x)＜2的解集为(－3,2)．
3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f(x)＝则f＝________，若f(f(a))＝1，则实数a的值为________．
解析：∵f＝1，∴f＝f(1)＝2.对f(f(a))＝当a＜时，f(a)＝3a－1＜1；当≤a＜1时，f(a)＝3a－1≥1；当a≥1时，f(a)＝2a≥2＞1，∴f(f(a))＝由f(f(a))＝1，得3(3a－1)－1＝1，∴a＝＜，符合题意；23a－1＝1，a＝＜，舍去；22a＝1不成立，舍去．故所求实数a的值为.
答案：2　
[通法在握]
1．分段函数的求值问题的解题思路
求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
[演练冲关]
1．已知f(x)＝则f(－2 019)＝________.
解析：因为当x＜0时，f(x)＝f(x＋3)，所以f(－2 019)＝f(－3×673)＝f(0)＝＋20－2＝0.
答案：0
2．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为________．
解析：当a＞0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
答案：－3
3．(2018·杭州七校联考)已知函数f(x)＝
若f(2－a2)＞f(|a|)，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，f(x)＝作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图象可知，函数f(x)在R上单调递增，由f(2－a2)＞f(|a|)，得2－a2＞|a|.当a≥0时，有2－a2＞a，即(a＋2)(a－1)＜0，解得－2＜a＜1，所以0≤a＜1；当a＜0时，有2－a2＞－a，即(a－2)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜2，所以－1＜a＜0.综上所述，实数a的取值范围是(－1,1)．
答案：(－1,1)

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1．(2019·杭州调研)函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(　　)
A．(2,3)　　　　　　　 　B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
解析：选D　由题意，得解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)．
2．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选B　令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
3．(2018·萧山质检)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　)
A．－ B．2
C．4 D．11
解析：选C　∵f(1)＝12＋2＝3，∴f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.
4．已知f(x)满足f＝lg x，则f＝________.
解析：令－1＝－，得x＝10，
∴f＝lg 10＝1.
答案：1
5．(2018·绍兴模拟)设函数f(x)＝则f＝________，方程f(f(x))＝1的解集为____________．
解析：∵f＝ln＜0，
∴f＝f＝eln ＝.
∵x＜0时，0＜ex＜1，x＝0时，ex＝1，
∴当f(x)≤0时，
由方程f(f(x))＝1，可得f(x)＝0，
即ln x＝0，解得x＝1.
当f(x)＞0时，由方程f(f(x))＝1，
可得lnf(x)＝1，f(x)＝e，
即ln x＝e，解得x＝ee.
答案：　{1，ee}
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1．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－2或2 D．
解析：选B　当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，
即x＝4，解得x0＝2.
当x＜0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－x＝4，无解．
所以x0＝2，故选B.
2．(2019·台州模拟)已知f(x)＝(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　)
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选B　由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3，②
联立①②，结合0＜a＜1，得a＝，b＝1，
所以f(x)＝
则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
3．(2018·金华模拟)函数f(x)＝＋lg的定义域为(　　)
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
解析：选C　要使函数有意义，则
即
∴3＜x≤4或2＜x＜3，
即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．
4．(2018·金华联考)若函数f(x)的定义域是[1,2 019]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0,2 018] B．[0,1)∪(1,2 018]
C．(1,2 019] D．[－1,1)∪(1,2 018]
解析：选B　由题知，1≤x＋1≤2 019，解得0≤x≤2 018，又x≠1，所以函数g(x)＝的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．
5．(2019·义乌质检)已知函数f(x)＝
的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B.
C. D.
解析：选C　由题意知y＝ln x(x≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f(x)的值域为R，则必有y＝(1－2a)x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a＞0，且a≥－1，解得－1≤a＜，故选C.
6．(2018·湖州月考)定义在R上的函数g(x)满足：g(x)＋2g(－x)＝ex＋－9，则g(x)＝________.
解析：∵g(x)＋2g(－x)＝ex＋－9，　①
∴g(－x)＋2g(x)＝e－x＋－9，
即g(－x)＋2g(x)＝2ex＋－9，②
由①②联立解得g(x)＝ex－3.
答案：ex－3
7．(2018·嘉兴高三测试)已知a为实数，设函数f(x)＝则f(2a＋2)的值为________．
解析：∵函数f(x)＝而2a＋2＞2，
∴f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a.
答案：a
8．(2018·稽阳联考)已知f(x)＝若f＝，则a＝________；若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝
∴f＝－＋1＝，
则f＝f＝＋－a＝＋8－a＝，得a＝8.
由y＝x＋1，x≤0，得y≤1；
由y＝x＋－a，x＞0，得y≥4－a，
∵f(x)的值域为R，∴4－a≤1，解得a≥3.
答案：8　[3，＋∞)
9．记[x]为不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f(x)＝则f(f(－1.2))＝________，f(x)≤3的解集为________．
解析：根据[x]的定义，得f(f(－1.2))＝f(2.44)＝2[2.44]－1＝3.
当x≥1时，由f(x)＝2[x]－1≤3，
得[x]≤2，所以x∈[1,3)；
当x＜1时，由f(x)＝x2＋1≤3，
得－≤x＜1.故原不等式的解集为[－，3)．
答案：3　[－，3)
10．如图，已知A(n，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOC的面积．
解：(1)因为B(1,4)在反比例函数y＝上，所以m＝4，
又因为A(n，－2)在反比例函数y＝＝的图象上，所以n＝－2，
又因为A(－2，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b上的点，联立方程组解得
所以y＝，y＝2x＋2.
(2)因为y＝2x＋2，令x＝0，得y＝2，所以C(0,2)，所以△AOC的面积为：S＝×2×2＝2.
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1．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为(　　)
A．－ B．－
C．－或－ D．或－
解析：选B　当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－，所以a的值为－，故选B.
2．设函数f(x)＝若f(m)＞f(－m)，则实数m的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝当m＞0时，f(m)＞f(－m)，即－ln m＞ln m，即ln m＜0，解得0＜m＜1；
当m＜0时，f(m)＞f(－m)，即ln(－m)＞－ln(－m)，
即ln(－m)＞0，解得m＜－1.
综上可得，m＜－1或0＜m＜1.
答案：(－∞，－1)∪(0,1)
3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：
y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，
∴y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．