2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系


1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)

相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)

相离
外切
相交
内切
内含
图形





量的
关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d
＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
[小题体验]
1．(2018·宁波一中月考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1]　　　　　　 　B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C　由题意得圆心为(a,0)，半径为.圆心到直线的距离为d＝，由直线与圆有公共点可得≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.∴实数a的取值范围是[－3,1]．
2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是(　　)
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：选B　将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，又r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.
3．(2018·宁波调研)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________；|PQ|的最大值是________．
解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，分别为
(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝＝3.
所以|PQ|的最小值是3－5，|PQ|的最大值为3＋5.
答案：3－5　3＋5

1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．
2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
[小题纠偏]
1．过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．
解析：①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，
得k＝，
所以切线方程为4x－3y＋1＝0，
②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，也是圆的切线，
所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.
答案：x＝2或4x－3y＋1＝0
2．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.
答案：±2或0


[题组练透]
1．直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)
A．(，2)　　　　　　　　 　B．(，3)
C. D.
解析：选D　当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜.
2．(2018·大庆二模)已知P是直线l：kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积最小为2，则k的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D.
解析：选B　易知圆C的圆心C(0,1)，半径r＝1，∴S四边形PACB＝PA·AC＝PA＝＝，∴当|CP|最小，即CP⊥直线kx＋y＋4＝0时，四边形PACB的面积最小，由四边形PACB的面积最小为＝2，得|CP|min＝，由点到直线的距离公式得|CP|min＝＝，∵k＞0，∴k＝2.
3．(2018·衡水中学期中考试)若圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是________________．
解析：∵圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，且圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，∴2－≤|a|≤2＋，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．
答案：[－3，－1]∪[1,3]
[谨记通法]
判断直线与圆的位置关系一般有2种方法
(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．
(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．

[锁定考向]
与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：
(1)求圆的切线方程(切线长)；
(2)求弦长；
(3)由弦长及切线问题求参数．　　　 　
[题点全练]
角度一：求圆的切线方程(切线长)
1．(2018·金华调研)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)
A．2x＋y－5＝0　　　　　　 　B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：选B　∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
∴切线的斜率为－2，
∴圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
角度二：求弦长
2．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.
∵圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2.
答案：2
角度三：由弦长及切线问题求参数
3．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设圆心C(2,3)到直线y＝kx＋3的距离为d，若|MN|≥2，
则d2＝r2－2≤4－3＝1，
即≤1，解得－≤k≤.
[通法在握]
1．圆的切线方程的2种求法
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
[提醒]　若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．弦长的2种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
[演练冲关]
1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
解析：选D　由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，可知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得d＝＝1，解得k＝－或k＝－.
2．(2018·山西三地五校联考)过原点且与直线x－y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋(y－)2＝7所截得的弦长为________．
解析：由题意可得l的方程为x－y＝0，
∵圆心(0，)到l的距离d＝＝1，
∴所求弦长l＝2＝2＝2.
答案：2

[典例引领]
(2018·浙江五校联考)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解：因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为，，
(1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10.
(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
故两圆的公共弦的长为2＝2.
[由题悟法]
解决圆与圆位置关系问题的2大通法
(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
[即时应用]
1．(2018·嘉兴调研)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．1　　　　　　　　 　B．3
C. D．9
解析：选D　由题可知，圆C1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1.因为a，b∈R且ab≠0，所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a2＝，b2＝时等号成立．所以＋的最小值为9，故选D.
2．(2018·嘉兴高级中学模拟)圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交所得公共弦所在的直线方程为________；其长度为________．
解析：由题可得，公共弦所在直线方程为2x＋4y－5＝0，因为圆心(0,0)到直线的距离d＝＝，所以公共弦长为2 ＝.
答案：2x＋4y－5＝0　

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　　 　B．相交但不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
解析：选B　由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝＜且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．
2．(2018·洛阳一模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，设p：0＜r≤3，q：圆上至多有两个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B　圆心C到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2，当0＜r＜1时，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，圆上恰有一个点到直线的距离为1；当1＜r＜3时，圆上有两个点到直线的距离为1.∴当q成立时，0＜r＜3，而p：0＜r≤3，∴q⇒p，而p⇒/ q，∴p是q的必要不充分条件，故选B.
3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选C　圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.
4．(2018·绍兴五校联考)已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(　　)
A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0
B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0
C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0
D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0
解析：选D　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标分别为(2，)，(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心O到直线l的距离d＝，由平面几何知识得|PQ|＝2，则S△OPQ＝×|PQ|·d＝×2×d＝≤ ＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值.因为2＜，所以S△OPQ的最大值为，此时2＝，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0.故选D.
5．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________.
解析：设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝.
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|＝≥ ＝，即切线长的最小值为.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析：选B　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝ .∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.
2．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A　因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，
所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为，
因为直线l与圆C相切．
所以＝，解得k＝±1，
因为k＜0，所以k＝－1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0.
圆心D(2,0)到直线l的距离d＝＝＜，
所以直线l与圆D相交．
3．(2018·温州调研)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－
解析：选B　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
4．(2018·台州调研)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1 相外切，则ab的最大值为(　　)
A.　　　　　　　　 　B.
C. D．2
解析：选C　由圆C1与圆C2相外切，
可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，
根据基本不等式可知ab≤2＝，
当且仅当a＝b＝时等号成立，即ab的最大值为.
5．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为(　　)
A. B．－
C．± D．－
解析：选B　由S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB
＝sin∠AOB，
可知当∠AOB＝时，△AOB的面积最大，为.
此时点O到直线AB的距离d＝.
设直线AB的方程为y＝k(x－)(k＜0)，
即kx－y－k＝0.
则d＝＝，解得k＝－.
6．(2019·台州模拟)已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝k2－2k＋3的公共点，则ab的最大值为(　　)
A．15 B．9
C．1 D．－
解析：选B　由题意得≤，且k2－2k＋3＞0，解得－3≤k≤1.因为2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3＝32－，所以当k＝－3时，2ab取得最大值18，即ab取得最大值9.
7．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，
所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，
由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，
由点到直线的距离公式可得＝，
解得a＝0或a＝6.
答案：0或6
8．(2018·衡水周测)若点P在圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝1上，点Q在圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4上，则|PQ|的最小值是________．
解析：因为圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝1的圆心坐标为C1(2,2)，半径r1＝1，圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心坐标为C2(－2，－1)，半径r2＝2，则|C1C2|＝5＞2＋1，所以两圆的位置关系是相离．又点P在圆C1上，点Q在圆C2上，则|PQ|的最小值是|C1C2|－(r1＋r2)＝5－3＝2.
答案：2
9．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
解：(1)证明：因为不论k为何实数，直线l总过定点P(0,1)，而|PC|＝＜2，所以点P(0,1)在圆C的内部．所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.
10．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．
解：把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，
设l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴切线l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．3
C. D.
解析：选A　x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，化为标准形式为(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，化为标准形式为x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，
则＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，
所以＋＝
＝
≥＝1，
当且仅当＝，即a＝±b时取等号，
故＋的最小值为1.
2．(2018·宁波十校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a,0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB成立．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
故当点N为(4,0)时，使得x轴平分∠ANB.

命题点一　直线的方程、两条直线的位置关系
1．(2013·天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D.
解析：选C　由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.
2．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　由题知点P(cos θ，sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．
又直线x－my－2＝0恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.
3．(2016·上海高考)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为________．
解析：因为l1∥l2，
所以两直线的距离d＝＝.
答案：
命题点二　圆的方程、直线与圆的位置关系
1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D　圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　∵A(1,0)，B(0，)，C(2，)，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，又等边△ABC的高为，故中心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝.
3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，
从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，
∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴OH为直角梯形ABDC的中位线，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
答案：4
4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的橫坐标为________．
解析：法一：设A(a,2a)，则a＞0.
又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0.
由题意知C.
由
解得或∴D(1,2)．
又·＝0，＝(5－a，－2a)，
＝，
∴(5－a，－2a)·＝a2－5a－＝0，解得a＝3或a＝－1.
又∵a＞0，∴a＝3.
法二：如图，∵AB为圆C的直径，∴AD⊥BD，
∴BD为B到直线l的距离，
且BD＝＝2.
∵CD＝AC＝BC，CD⊥AB，
∴AB＝BD＝2，
设A(a,2a)，a＞0，
则AB＝＝2，
解得a＝－1或a＝3.
又∵a＞0，∴a＝3.
答案：3
5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
6．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
解析：设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.
又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，
所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．
又点P在圆x2＋y2＝50上，
由
解得x＝－5或x＝1，
结合图象，可得－5≤x≤1，
故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．
答案：[－5，1]
7．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，
则解得
所以圆的标准方程为2＋y2＝.
答案：2＋y2＝
8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.
由|AB|＝2得2＋()2＝12，
解得m＝－.
又直线l 的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.
答案：4
9．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.
10．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．