2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第五节二次函数与幂函数

第五节二次函数与幂函数

1．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象





定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0)减，(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点
(1,1)

2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx＋c
a＞0
a＜0
图象


定义域
R
值域


单调性
在上递减，在上递增
在上递增，在上递减
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
图象特点
①对称轴：x＝－；
②顶点：

[小题体验]
1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A． B．4
C． D．
解析：选C　设f(x)＝xα，
∵图象过点，∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，
∴f(2)＝2－＝.
2．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．
解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴m＝2.
答案：2
3．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，所以≤2，即m≤16.
答案：(－∞，16]

1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[小题纠偏]
1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
答案：
2．给出下列命题：
①函数y＝2x是幂函数；
②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
③当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数；
④二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是.
其中正确的是________(填序号)．
答案：②


[题组练透]
1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝(　　)
A．3　　　　　　　　 　B．1－
C.－1 D．1
解析：选C　设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1.
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．1
C．1或－2 D．m≠
解析：选B　因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝1.
3．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C　从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．
4．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得－1≤a＜.
答案：
[谨记通法]
幂函数的指数与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.

[典例引领]
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解：法一：(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，
∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用两根式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[由题悟法]
求二次函数解析式的方法

[即时应用]
已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.

[锁定考向]
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用．
常见的命题角度有：
(1)二次函数的单调性问题；
(2)二次函数的最值问题；
(3)二次函数中恒成立问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：二次函数的单调性问题
1．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0)　　　　　　　 　B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
解析：选D　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围是[－3,0]．
角度二：二次函数的最值问题
2．若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1,2]上有最大值4，则a的值为________．
解析：∵f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
答案：或－3
角度三：二次函数中恒成立问题
3．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，
即x2－3x＋1－m＞0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m＞0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1＞0，得m＜－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
[通法在握]
1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．
2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键
(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
[演练冲关]
1．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
解析：选A　二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k＞0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k＜0时，＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得，实数k的取值范围为[2，＋∞)．
2．已知y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　)
A. B．
C. D．1
解析：选D　设x＜0，则－x＞0，
有f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2.又∵f(－x)＝f(x)，
∴当x＜0时，f(x)＝(x＋1)2，
∴该函数在上的最大值为1，最小值为0，
依题意，n≤f(x)≤m恒成立，
则n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值为1.
3．设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；

当t＞1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是(　　)
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选D　设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，所以y＝x.故选D.
2．(2018·丽水调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是(　　)
A．f(－1)　　　　　　　 　B．f(1)
C．f(2) D．f(5)
解析：选B　由f(2＋t)＝f(2－t)知函数y＝f(x)的图象对称轴为x＝2.当a＞0时，易知f(5)＝f(－1)＞f(1)＞f(2)；当a＜0时，f(5)＝f(－1)＜f(1)＜f(2)，故最小的不可能是f(1)．
3．(2018·金华模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则它的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析：选C　设幂函数f(x)＝xα，
∵f(x)的图象经过点，
∴2α＝，解得α＝－2，
则f(x)＝x－2＝，且x≠0，
∵y＝x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，
∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)．
4．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，
设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，
即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1,1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.
所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，
所以实数m的取值范围是(0,2)．
答案：(0,2)
5．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为________．
解析：∵函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图象的对称轴为直线x＝1，且f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
∴当a≥1时，f(a)＝(a－1)2＝4，
∴a＝－1(舍去)或a＝3；
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，
∴a＝1(舍去)或a＝－3；
当a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1时，f(1)＝0≠4.
故a的取值集合为{－3,3}．
答案：{－3,3}
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＜a＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：选A　根据题意，m－1＝1，∴m＝2，∴2n＝8，
∴n＝3，∴f(x)＝x3.
∵f(x)＝x3是定义在R上的增函数，
又－＜0＜＜0＝1＜ln π，
∴c＜a＜b.
2．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)

解析：选D　由A、C、D知，f(0)＝c＜0.
∵abc＞0，∴ab＜0，
∴对称轴x＝－＞0，知A、C错误，D符合要求．
由B知f(0)＝c＞0，
∴ab＞0，
∴x＝－＜0，B错误．故选D.
3．(2018·诸暨月考)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：选B　∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，
∴解得n＝1.
4．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c　　　　　　　 　B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：选D　∵y＝x(x＞0)是增函数，∴a＝＞b＝.∵y＝x是减函数，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c.
5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．[0,4]　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈.
6．(2018·宁波模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m＋1]时，使得f(x)≤0恒成立，则b的取值范围为________．
解析：设f(x)＝x2＋ax＋b＝0，有两根x1，x2，
∴4b＜a2，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，
∵对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m＋1]时，使得f(x)≤0恒成立，
∴(x1－x2)2≥1恒成立，∴a2－1≥4b，
∴b≤－，故b的取值范围为.
答案：
7．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
解析：因为函数f(x)是奇函数，
所以当x＜0时，－x＞0，
所以f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，
而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，
所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.
答案：0
8．已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0，则实数a的取值范围是________．
解析：Δ＝4(a－2)2－4a＝4a2－20a＋16＝4(a－1)(a－4)．
(1)若Δ＜0，即1＜a＜4时，x2－2(a－2)x＋a＞0在R上恒成立，符合题意；
(2)若Δ＝0，即a＝1或a＝4时，方程x2－2(a－2)x＋a＞0的解为x≠a－2，
显然当a＝1时，不符合题意，当a＝4时，符合题意；
(3)当Δ＞0，即a＜1或a＞4时，因为x2－2(a－2)x＋a＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，
所以解得3＜a≤5，
又a＜1或a＞4，所以4＜a≤5.
综上，实数a的取值范围是(1,5]．
答案：(1,5]
9．(2018·杭州五校联盟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的表达式；
(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]内的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(－1＋x)＝f(－1－x)，
可得f(x)的图象关于x＝－1对称，
∴设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h，
∵函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋，
∴|x1－x2|＝＝ ＝2，
解得a＝－h＝1，
∴f(x)＝x2＋2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]递增，
又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x＝2－，
∴≤－1，即k≤0，
综上，实数k的取值范围为(－∞，0]．
10．(2017·绍兴期中)已知函数f(x)＝－x2＋2bx＋c，设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值为M.
(1)若b＝2，试求出M；
(2)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求k的最大值．
解：(1)当b＝2时，函数f(x)＝－x2＋2bx＋c＝－x2＋4x＋c＝－(x－2)2＋4＋c，所以函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，
则M是g(－1)和g(1)中较大的一个，
又g(－1)＝|－5＋c|，g(1)＝|3＋c|，
则M＝
(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x－b)2＋b2＋c|，
①当|b|＞1时，y＝g(x)在区间[－1,1]上是单调函数，
则M＝max{g(－1)，g(1)}，
而g(－1)＝|－1－2b＋c|，g(1)＝|－1＋2b＋c|，
则2M ≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|＞4，可知M ＞2.
②当|b|≤1时，函数y＝g(x)的对称轴x＝b位于区间[－1，1]之内，
此时M＝max{g(－1)，g(1)，g(b)}，
又g(b)＝|b2＋c|，
a．当－1≤b≤0时，有f(1)≤f(－1)≤f(b)，
则M＝max{g(b)，g(1)}≥(g(b)＋g(1))≥|f(b)－f(1)|＝(b－1)2≥；
b．当0＜b≤1时，有f(－1)≤f(1)≤f(b)．
则M＝max{g(b)，g(－1)}≥(g(b)＋g(－1))≥|f(b)－f(－1)|＝(b＋1)2≥.
综上可知，对任意的b，c都有M≥.
而当b＝0，c＝时，g(x)＝在区间[－1,1]上的最大值M＝，
故M ≥k对任意的b，c恒成立的k的最大值为.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为(　　)
A．[－，] B．[1， ]
C．[2,3] D．[1,2]
解析：选B　由于函数f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，
函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，
所以t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，0距对称轴x＝t最远，故要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只要f(0)－f(t)≤2即可，即1－(t2－2t2＋1)≤2，
求得－≤t≤.
再结合t≥1，可得1≤t≤.故选B.
2．(2018·金华期末)已知f(x)＝mx2＋(1－3m)x＋2m－1.
(1)设m＝2时，f(x)≤0的解集为A，集合B＝(a,2a＋1](a＞0)．若A⊆B，求a的取值范围；
(2)求关于x的不等式f(x)≤0的解集S；
(3)若存在x＞0，使得f(x)＞－3mx＋m－1成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵m＝2，∴f(x)＝mx2＋(1－3m)x＋2m－1＝2x2－5x＋3.又f(x)≤0，
∴(x－1)(2x－3)≤0，
∴1≤x≤，∴A＝.
∵A⊆(a,2a＋1](a＞0)，
∴且a＞0，∴≤a＜1.
故a的取值范围为.
(2)∵f(x)＝mx2＋(1－3m)x＋2m－1，f(x)≤0，
∴(x－1)[mx－(2m－1)]≤0，
当m＜0时，S＝(－∞，1]∪；
当m＝0时，S＝(－∞，1]；
当0＜m＜1时，S＝；
当m＝1时，S＝{1}；
当m＞1时，S＝.
(3)∵f(x)＞－3mx＋m－1，∴m＞－.
令g(x)＝－＝－(x＞0)，
∵x＞0，∴x＋≥2，∴0＜≤，
∴－≤g(x)＜0，
∵存在x＞0，使得f(x)＞－3mx＋m－1成立，
∴m＞[g(x)]min，∴m＞－.
∴实数m的取值范围是.