2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第八节函数与方程

第八节函数与方程


1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
图象



与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0

[小题体验]
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)
A．(1,2)　　　　　　　　 　B．(2,3)
C.和(3,4) D．(4，＋∞)
解析：选B　易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.
2．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B　函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，
∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，
∴f(－1)·f(0)＜0，
∴函数f(x)有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.
3．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．
答案：

1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
[小题纠偏]
1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x＞2时，f(x)＝(x－2)2，则方程f(x)＝的所有实数根之和是(　　)
A．2 B．3
C．5 D．8
解析：选C　画出函数f(x)的图象，如图所示：

结合图象x＜2时，两根之和是2，
x＞2时，由(x－2)2＝，解得x＝3，
故方程f(x)＝的所有实数根之和是5，故选C.
2．给出下列命题：
①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；
②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)＜0；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点；
④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．
其中正确的是________(填序号)．
答案：③④


[题组练透]
1．已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1)　　　　　　　 　B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选B　∵a＞1,0＜b＜1，f(x)＝ax＋x－b，
∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，
由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B　函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．
解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，
f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，
∴f(1)·f(8)＜0，
又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
答案：存在

[谨记通法]
确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)＜0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．

[典例引领]
1．(2019·温州质检)已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：选C　如图，作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.

2．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A　由f(f(x))＋1＝0得f(f(x))＝－1，
由f(－2)＝f＝－1
得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝.
综上可得函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是4，故选A.
[由题悟法]
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
[即时应用]
1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　函数y＝f(x)＋x－4的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的交点的横坐标．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.

2．函数f(x)＝的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　当x＜0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)，所以当x＜0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝e2－4＞0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有2个零点，故选C.

[典例引领]
(2018·杭州七校联考)若函数f(x)＝m－x2＋2ln x在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为________．
解析：令f(x)＝m－x2＋2ln x＝0，则m＝x2－2ln x．令g(x)＝x2－2ln x，则g′(x)＝2x－＝，∴g(x)在上单调递减，在(1，e]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，又g＝4＋，g(e)＝e2－2，4＋＜5＜e2－2，∴g＜g(e)，数形结合知，若函数f(x)在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为.
答案：
[由题悟法]
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解

[即时应用]
1．(2018·浙江名校联考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k(x＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．[1,3)　　　　　　　 　B．(1,3]
C．[2,3) D．[1，＋∞)
解析：选A　函数g(x)＝f(x)－k(x＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，等价于直线y＝k(x＋1)与函数y＝f(x)的图象在(－∞，1]上有两个不同的交点．作出f(x)的大致图象如图所示，因为直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)，定点(－1,0)与点(1,2)和(0,3)连线的斜率分别为1和3，结合f(x)的图象可知k的取值范围是[1,3)．
2．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，
∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，
即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝2－，
∵x∈[－1,1]，∴2x∈，
∴2－∈.
∴实数a的取值范围是.
答案：

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1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)
A．y＝logx　　　　　　　 　B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
解析：选B　函数y＝logx在定义域上是减函数，y＝x2－在(－1,1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.
2．(2018·豫南十校联考)函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选A　因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝2＞0，则f(0)·f(1)＝－2＜0，且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．
3．(2018·宁波期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即0是函数f(x)的一个零点，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3为增函数．因为f(1)＝e1＋1－3＝e－2＞0，f＝e＋－3＝e－＜0，所以当x＞0时，f(x)有一个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点的个数为3.
4．已知函数f(x)＝g(x)＝则函数f(g(x))的所有零点之和是________．
解析：由f(x)＝0，得x＝2或x＝－2，由g(x)＝2，得x＝1＋，由g(x)＝－2，得x＝－，所以函数f(g(x))的所有零点之和是－＋1＋＝＋.
答案：＋
5．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则函数f(x)为开口向上的抛物线，且f(0)＝k2≥0，∴关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，即函数f(x)的零点位于[0,1)，(1，＋∞)上．故只需f(1)＜0即可，即1＋k－3＋k2＜0，解得－2＜k＜1.
答案：(－2,1)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·宁波高考模拟)设f(x)＝则函数y＝f(f(x))的零点之和为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C　令f(x)＝0，得x＝0或x＝1，∵f(f(x))＝0，∴f(x)＝0或f(x)＝1，由以上过程可知f(x)＝0的解为0,1，令f(x)＝1，得x＝－1或x＝2，∴f(f(x))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2.故选C.
2．(2019·绍兴模拟)设函数f(x)＝ln x－2x＋6，则f(x)零点的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B　法一：函数f(x)＝ln x－2x＋6的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－2＝，令f′(x)＝0，得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．因为f＝－4－＜0，f＝5－ln 2＞0，f(e2)＝8－2e2＜0，所以函数f(x)在，上各有一个零点，所以函数f(x)的零点个数为2.
法二：令f(x)＝0，则ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x(x＞0)，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2.

3．(2017·金华期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝(x－2)(x－3)＋0.02，则关于y＝f(x)在R上零点的说法正确的是(　　)
A．有4个零点其中只有一个零点在(－3，－2)内
B．有4个零点，其中两个零点在(－3，－2)内，两个在(2,3)内
C．有5个零点都不在(0,2)内
D．有5个零点，正零点有一个在(0,2)内，一个在(3，＋∞)内
解析：选C　根据对称性可以分三种情况研究：
①x＞0的情况，f(x)是把抛物线y＝(x－2)(x－3)(与x轴交点为2,3)向上平移了0.02，则与x轴交点变到(2,3)之间了，所以在(2,3)之间有两个零点．
②当x＜0时，f(x)＝－(x＋2)(x＋3)－0.02，根据对称性(－3，－2)之间也有两个零点．
③f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0(奇函数特性)，所以有五个零点，故选C.
4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．
∴k×1－＞0，解得k＞.

当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，∴m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是.
5．(2018·湖南考前演练)设x0是函数f(x)＝2x－|log2x|－1的一个零点，若a＞x0，则f(a)满足(　　)
A．f(a)＞0 B．f(a)＜0
C．f(a)≥0 D．f(a)≤0
解析：选A　当x＞1时，f(x)＝2x－log2x－1，易证2x＞x＋1＞x.又函数y＝2x的图象与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，所以2x＞x＋1＞x＞log2x，从而f(x)＞0.故若a＞1，有f(a)＞0；若0＜a≤1，因为当0＜x≤1时，f(x)＝2x＋log2x－1，显然f(x)单调递增，又f(1)＝1＞0，f＝－2＜0，所以x0是f(x)唯一的零点，且0＜x0＜1，所以f(a)＞0，故选A.
6．(2018·余杭地区部分学校测试)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有三个不等的实数根，则a的取值范围为________；不等式f(f(x))≥1的解集为____________．
解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示，方程f(x)＝a有三个不等的实数根，即直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象知a∈(0,1)．设f(x)＝t，则不等式f(f(x))≥1可转化为f(t)≥1，故得t＝0或t≥2，由f(x)＝0得x＝±1，由f(x)≥2得x≥log23＋1，所以f(f(x))≥1的解集为{－1,1}∪[log23＋1，＋∞)．
答案：(0,1)　{－1,1}∪[log23＋1，＋∞)
7．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是______．
解析：函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)，y＝m的交点有3个．画出函数y＝f(x)的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m的取值范围是(0,1)．
答案：(0,1)
8．(2019·台州三校适考)已知f(x)＝x＋－2，若关于x的方程f(|2x－1|)－k＝0有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为________．
解析：令t＝|2x－1|(x≠0)，则方程f(|2x－1|)－k＝0可化为方程f(t)－k＝0，作出函数y＝|2x－1|(x≠0)的大致图象如图所示，结合图象分析可知，关于t的方程f(t)－k＝0在(0,1)上有两个不同的实数解．f(t)－k＝0可化为t2＋(3k－2)t＋1－2k＝0，记g(x)＝x2＋(3k－2)x＋1－2k，则g(x)在(0,1)上有两个不同的零点，
所以
解得所以实数k的取值范围为.
答案：
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.
证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g＜0.
又函数g(x)在上是连续曲线，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
10．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
(1)若f(x)≤0的解集A⊆{x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)＝f(x)＋|x2－1|在区间(0,3)内有两个零点x1，x2(x1＜x2)，求实数a的取值范围．
解：(1)若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)＝4(a－2)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜2；
若A≠∅，则⇒⇒2≤a≤.
综上得－1＜a≤.故实数a的取值范围为.
(2)g(x)＝x2－2ax＋a＋2＋|x2－1|
＝
若a＝0时，g(x)＝无零点；
若a≠0时，由于h(x)＝－2ax＋a＋3在(0,1)单调，所以在(0,1)内h(x)至多只有一个零点．
记φ(x)＝2x2－2ax＋a＋1.
①若0＜x1＜1,1≤x2＜3，
则⇒⇒
⇒3＜a≤.
经检验a＝时，φ(x)的零点为，3∉[1,3)，所以a≠.
所以3＜a＜.
②若1≤x1＜x2＜3，
则⇒⇒
1＋＜a≤3.
综合①②得，实数a的取值范围是.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－4mx－m，其中m≠0.若函数g(x)在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．{－1}∪ B.
C．{－1}∪ D.
解析：选C　作出函数y＝f(x)的大致图象，如图所示．函数g(x)的零点个数⇔函数y＝f(x)的图象与直线y＝4mx＋m的交点个数．直线y＝4mx＋m过点，当直线y＝4mx＋m过点(1,1)时，m＝；当直线y＝4mx＋m与曲线y＝－1(－1＜x＜0)相切时，设切点为，由y′＝－得切线的斜率为－，则－＝，
解得x0＝－，所以4m＝－＝－4，得m＝－1.结合图象可知当m≥或m＝－1时，函数g(x)在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．
2．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
解：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.
∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝－4ln x
＝x－－4ln x－2(x＞0)，
∴g′(x)＝1＋－＝.
令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)

极大值

极小值

当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.
又∵g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．