2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第六节简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换

[题组练透]

1．化简：cos2－cos2＝________.

解析：原式＝－＝＝－sin 2x.

答案：－sin 2x

2．化简：(0＜θ＜π)．

解：原式＝

＝cos·＝.

∵0＜θ＜π，∴0＜＜，∴cos＞0，∴原式＝－cos θ.

[谨记通法]

1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则

2．三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．如“题组练透”第2题．

[锁定考向]

研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．

常见的命题角度有：

(1)给值求值；

(2)给角求值；

(3)给值求角．　　　 　

[题点全练]

角度一：给值求值

1．(2018·宁波十校联考)已知tan＝3，则sin 2α的值为(　　)

A．－　　　　　　　　　 B．

C．－   D．

解析：选B　因为tan＝＝3，所以tan α＝.所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.

2．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.

解析：∵α∈，tan α＝2，∴sin α＝，cos α＝，

∴cos＝cos αcos＋sin αsin

＝×＝.

答案：

角度二：给角求值

3．化简：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.

解析：sin 50°(1＋tan 10°)

＝sin 50°

＝sin 50°×

＝sin 50°×

＝＝＝＝1.

答案：1

角度三：给值求角

4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝(　　)

A．　　　　　　　　　　 　B．－

C．   D．－

解析：选D　因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＜1，

所以0＜α＜，

又因为tan 2α＝＝＝＜1，

所以0＜2α＜，

所以tan(2α－β)＝＝＝1.

因为0＜β＜π，所以－π＜2α－β＜，

所以2α－β＝－，故选D.

[通法在握]

三角函数求值的3类求法

(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．

[演练冲关]

1.的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　　　 　B．－1

C.   D．－

解析：选D　原式＝＝＝－.

2．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)

A．   B．－

C．   D．－

解析：选D　cos 2α＝sin

＝sin

＝2sincos

代入原式，得6sincos＝sin，

∵α∈，∴cos＝，

∴sin 2α＝cos

＝2cos2－1＝－，故选D.

3．(2019·慈溪模拟)设α为锐角，若cos＝，则sin＝________.

解析：因为α为锐角，且cos＝，

所以sin＝.

所以sin＝sin

＝sin 2cos－cos 2sin

＝sincos－

＝××－×

＝－＝.

答案：

[典例引领]

(2016·北京高考)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)的单调递增区间．

解：(1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx

＝sin 2ωx＋cos 2ωx

＝sin，

所以f(x)的最小正周期T＝＝.

依题意，得＝π，

解得ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝sin.

函数y＝sin x的单调递增区间为

(k∈Z)．

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以f(x)的单调递增区间为

(k∈Z)．

[由题悟法]

三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．

[即时应用]

(2019·温州模拟)已知函数f(x)＝4cos xcos＋1.

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

解：(1)f＝4coscos＋1＝4××＋1＝－2.

(2)因为f(x)＝4cos xcos＋1

＝4cos x＋1

＝－2cos2x－sin 2x＋1

＝－sin 2x－cos 2x

＝－2sin，

所以f(x)的最小正周期为π.

由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．已知cos＝，则sin 2x＝(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C．－ D．－

解析：选C　∵sin 2x＝cos＝2cos2－1，

∴sin 2x＝－.

2．若tan θ＝，则＝(　　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：选A　＝＝tan θ＝.

3．化简：＝(　　)

A．1   B．

C． D．2

解析：选C　原式＝

＝＝＝，故选C.

4．(2018·杭州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为(　　)

A．－   B．

C．－   D．

解析：选D　由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±，

所以tan 2θ＝＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，

所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝，

所以sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)

＝×＝.

5．(2018·浙江三地市联考)在△ABC中，已知cos A＝，tan(A－B)＝－，则tan C＝________.

解析：在△ABC中，因为cos A＝，所以tan A＝.因为tan(A－B)＝－，所以tan(B－A)＝，所以tan B＝tan(B－A＋A)＝＝＝2.所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝－＝.

答案：

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin等于(　　)

A．－ B．－

C．   D．

解析：选B　∵a⊥b，

∴a·b＝4sin＋4cos α－

＝2sin α＋6cos α－

＝4sin－＝0，

∴sin＝.

∴sin＝－sin＝－.

2．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)

A．－2 B．－1

C．－   D．

解析：选A　由题意，可得cos 2α＝－，则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.

3.的值是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　原式＝

＝

＝＝.

4．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　由题意知，sin A＝－cos B cos C＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，

在等式－cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C两边同除以cos B cos C得tan B＋tan C＝－，

又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，

即tan A＝1，所以A＝.

5．若tan α＝3，则sin的值为(　　)

A．－  B.

C.  D.

解析：选A　∵sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－，

∴sin＝sin 2α＋cos 2α＝×＝－.

6．函数y＝sin＋cos 2x的单调递增区间为________，最大值为________．

解析：因为y＝sin＋cos 2x

＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x

＝cos 2x－sin 2x＝cos，

由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，

故单调递增区间为，k∈Z，最大值为.

答案：，k∈Z　

7．(2019·柯桥模拟)设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan＝，则cos β＝________.

解析：因为tan＝，所以tan α＝＝＝.又因为α∈(0，π)，所以sin α＝，cos α＝.因为sin(α＋β)＝＜sin α，所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝－.

答案：－

8.＝________.

解析：原式＝

＝＝

＝＝＝－4.

答案：－4

9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．

解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.

∴tan(α＋β)＝＝＝1.

∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜，∴α＋β＝.

10．(2019·绍兴模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若x0∈，且f(x0)＝，求f(2x0)的值．

解：(1)因为f(x)＝sin xcos x－cos2x＋

＝sin 2x－cos 2x＝sin，

所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)因为x0∈，所以2x0－∈.

又因为f(x0)＝sin＝，

所以2x0－＝，即2x0＝.

所以f(2x0)＝f＝sin＝－.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．若tan α＝2tan，则＝(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选C　∵cos＝cos＝sin，

∴原式＝＝

＝.

又∵tan α＝2tan，∴原式＝＝3.

2．(2019·桐乡模拟)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈，则A＋B＝________.

解析：由题可得，tan A＋tan B＝－3a＜－6，tan Atan B＝3a＋1＞7，所以tan A＜0，tan B＜0，所以A，B∈.因为tan(A＋B)＝＝＝1，且A＋B∈(－π，0)，所以A＋B＝－.

答案：－

3．(2019·杭州模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋m的图象经过点.

(1)求函数f(x)的解析式及最大值；

(2)若f＝，α∈，求sin α的值．

解：(1)∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－1＋m＝sin＋m－1，

∴f＝sin＋m－1＝0，解得m＝1，

∴f(x)＝sin，

当2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值 .

(2)∵f＝sin＝，∴sin＝，

∵α∈，∴α－∈，

∴cos＝ ＝，

∴sin α＝sin＝sin＋·cos＝＝.