2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan_α  口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限 [小题体验]1．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______.答案：－2．若tan θ＝，则的值为________．答案：3．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝________.答案：－2．(1)sin＝________，(2)tan＝________.答案：(1)　(2)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为(　　)A．　　　　　　　　　 B．－C．－   D．解析：选A　sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝×＝.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－，则cos的值为(　　)A．   B．－C．   D．－解析：选B　因为sin(π＋α)＝－＝－sin α，所以cos＝－sin α＝－.3．已知tan＝，则tan＝________.解析：tan＝tan＝tan＝－tan＝－.答案：－4．(易错题)设f(α)＝，求f的值．解：∵f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝＝.5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.∴sin(3π＋α)·tan＝sin(π＋α)·＝sin α·tan＝sin α·＝sin α·＝cos α＝.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例引领]1．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为(　　)A．－　　　　　　　　 B．－C．   D．解析：选D　依题意得：＝5，∴tan α＝2.∴sin2α－sin αcos α＝＝＝＝.2．已知sin θ＝，cos θ＝(m≠0)，则tan(kπ＋θ)(k∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝，cos θ＝，所以sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，解得m＝8，所以sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝－.所以tan(kπ＋θ)(k∈Z)＝tan θ＝－.答案：－3．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝.又因为θ∈，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－.答案：－[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ[即时应用]1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)A．　　　　　　　　　　 　B．－C．   D．－解析：选D　法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝＝ ＝，所以tan α＝＝＝－.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝，则sin α－cos2β的最大值为(　　)A．－ B．－C．－   D．解析：选D　因为sin α＋sin β＝，所以sin α＝－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－≤sin β ≤1.所以sin α－cos2β＝－sin β－1＋sin2β＝2－，当sin β＝－时，sin α－cos2β有最大值.3．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)A．－   B．C．－   D．解析：选B　∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，①将①两边平方得1＋2sin αcos α＝，故2sin αcos α＝－.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.又∵＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos＝，且|α|＜，则tan α＝(　　)A．－　　　　　　　　　 B．C．－   D．解析：选C　因为cos＝－sin α＝，所以sin α＝－.因为|α|＜，所以α＝－，所以tan α＝tan＝－.2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)A．－ B．－C．   D．解析：选D　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为(　　)A． B．－C．   D．解析：选B　由题可得，sin α＋cos α＝，sin αcos α＝.所以sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝－＝1，解得a＝－.4．＝(　　)A．sin 2－cos 2   B．cos 2－sin 2C．±(sin 2－cos 2)   D．sin 2＋cos 2解析：选A　＝＝＝|sin 2－cos 2|.又∵＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0.∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．解析：∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.∴cos＝－sin A＝.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)A．   B．－C．   D．－解析：选B　因为tan(α－π)＝，所以tan α＝.又因为α∈，所以α为第三象限的角，sin＝cos α＝－.2．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 018)＝5，则f(2 019)的值是(　　)A．2   B．3C．4   D．5解析：选B　∵f(2 018)＝5，∴asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＋4＝5，即asin α＋bcos β＝1.∴f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为(　　)A．－   B．C．2 D．－解析：选B　由题意可得tan α＝2，所以cos＝－cos 2α＝－＝－＝.4．当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是(　　)A．1   B．－1C．±1   D．0解析：选B　∵sin＝，∴cos＝，∴在第一象限，且cos ＜sin，∴＝＝－1.5．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则＝(　　 )A．   B．C．   D．解析：选B　由5x2－7x－6＝0，得x＝－或x＝2.则sin α＝－.故原式＝＝＝.6．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　 )A．1＋   B．1－C．1±   D．－1－解析：选B　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.7．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．解析：由题意知，cos＝cos＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以＝＝＝＝.答案：9．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解：因为cos(75°＋α)＝，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－＝－.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－－＝－.10．已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－.∴原式＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.答案：2．已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f＋f的值．解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f＋f＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.