2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第三节函数的奇偶性及周期性

第三节函数的奇偶性及周期性




1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称

2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[小题体验]
1．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－，则f(1)的值是(　　)
A．－3　　　　　　　　　　 　B．－1
C．1 D．3
解析：选A　因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－＝－3，故选A.
2．(2018·台州月考)偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上单调递减，则有(　　)
A．f(－1)＞f＞f(－π)
B．f＞f(－1)＞f(－π)
C．f(－π)＞f(－1)＞f
D．f(－1)＞f(－π)＞f
解析：选A　由题意得，0＜1＜＜π＜4⇒f(－1)＝f(1)＞f＞f(π)＝f(－π)，故选A.
3．(2018·金华模拟)已知函数y＝f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－3，则f(6)＝____________，f(f(0))＝________________.
解析：∵当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－3，
∴f(6)＝log2(6＋2)－3＝3－3＝0，
f(0)＝1－3＝－2，
∵函数y＝f(x)为R上的偶函数，
∴f(f(0))＝f(－2)＝f(2)＝2－3＝－1.
答案：0　－1

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
[小题纠偏]
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－　　　　B.　　　　C.　　　　D．－
解析：选B　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
2．(2018·宁波模拟)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________.
解析：由题意a＝f(0)＝0，g(2x)＝f(x)，
所以g(－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，
所以f(g(－2))＝f(－4)＝－f(4)＝－25.
答案：0　－25



[题组练透]
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1) ；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝loga(x＋)(a＞0且a≠1)．
解：(1)因为f(x)有意义，则满足≥0，
所以－1＜x≤1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)为非奇非偶函数．
(2)法一：(定义法)
当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
法二：(图象法)
作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．

(3)因为所以－2≤x≤2且x≠0，
所以定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝，
所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．
(4)函数的定义域为R，
因为f(－x)＋f(x)
＝loga[－x＋]＋loga(x＋)
＝loga(－x)＋loga(＋x)
＝loga[(－x)(＋x)]
＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
[谨记通法]
判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法

(2)图象法

(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒]　(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

[典例引领]
(1)已知函数f(x)＝若对任意的n∈N*，定义fn(x)＝f{f[ff(x)]}，则f2 019(2)的值为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
解析：(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，
∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，
∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期T＝2，
∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1，
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1.
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.
答案：(1)C　(2)1 010
[由题悟法]
1．判断函数周期性的2个方法
(1)定义法．
(2)图象法．
2．周期性3个常用结论
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a.
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
[即时应用]
1．已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)等于(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选D　当x＞时，f＝f，即周期为1，则f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值为________．
解析：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝f(x)，
∴函数y＝f(x)的周期T＝4.
又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，
∴f(1)＝1，f(2)＝3，
f(3)＝－＝－1，
f(4)＝－＝－.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)
＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＋f(504×4＋2)
＝504＋1＋3
＝1 348.
答案：1 348
3．(2018·温州模拟)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝＋，则f(0)＋f(2 017)的最大值为________．
解析：因为f(x＋1)＝＋，
所以2＋2＝.
令g(x)＝f2(x)－f(x)，则g(x＋1)＋g(x)＝－，g(x＋2)＋g(x＋1)＝－，所以g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)是以2为周期的函数，g(2 017)＝g(1)，所以f(2 017)＝f(1)，f(0)＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝f(0)＋＋.令t＝≥0，则f(0)＝，t∈，所以f(0)＋f(1)＝1＋t±，令2t＝sin θ≥0，则f(0)＋f(1)＝1＋sin θ±cos θ＝1＋sin≤1＋.
故所求最大值为1＋.
答案：1＋

[锁定考向]
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．
常见的命题角度有：
(1)奇偶性的应用；
(2)单调性与奇偶性结合；
(3)周期性与奇偶性结合；
(4)单调性、奇偶性与周期性结合．　　　 　
[题点全练]
角度一：奇偶性的应用
1．(2018·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝(　　)
A．－2x　　　　　　　　　 　B．2－x
C．－2－x D．2x
解析：选C　x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.
角度二：单调性与奇偶性结合
2．(2019·嘉兴质检)已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为(　　)
A．{x|0＜x＜1或x＞2}　 　B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}
解析：选A　因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)＞0可转化为－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.
角度三：周期性与奇偶性结合
3．(2019·宁波月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选D　∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，
∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．
又∵函数f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)＞1，
∴a＞1，即a∈(1，＋∞)．
角度四：单调性、奇偶性与周期性结合
4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1)
C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0
解析：选C　由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.
由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(3)＝f(－1)．
又f(x)在[0,2)上单调递减，
所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，
所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，
即f(1)＜0＜f(3)．故选C.
[通法在握]
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
[演练冲关]
1．(2018·杭二一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为(　　)
A．y＝x＋1　　　　　　　 　B．y＝－x2
C．y＝ D．y＝x|x|
解析：选D　对于A，y＝x＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B，y＝－x2是偶函数，不满足条件．对于C，y＝是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D，设f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，则函数为奇函数，当x＞0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝－x2，此时为增函数，综上，y＝x|x|在R上为增函数．故选D.
2．(2018·台州测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[a－1，a＋1]，关于x 的不等式f(x2＋a)＞a2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2] B．(0,4]
C．(0，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C　当x≥0时，f(x)＝x2，
∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2，
∴f(x)＝
∴f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，
∵不等式f(x2＋a)＞a2f(x)＝f(ax)在x∈[a－1，a＋1]恒成立，∴x2＋a＞ax在x∈[a－1，a＋1]恒成立，
令g(x)＝x2－ax＋a，函数的对称轴为x＝，
当＜a－1，即a＞2时，不等式恒成立，可得g(a－1)＝(a－1)2－a(a－1)＋a＝1＞0恒成立；
当a－1≤≤a＋1，即－2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g＝2－a＋a＞0恒成立，
解得a∈(0,2]；
当＞a＋1，即a＜－2时，不等式恒成立，可得g(a＋1)＝(a＋1)2－a(a＋1)＋a＝2a＋1＞0，无解；综上，a＞0.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·浙江名校协作体联考)下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　　　 　B．y＝ex
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：选D　对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，y＝ex为非奇非偶函数，故不符合要求；
对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；
对于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，
∴y＝ex－e－x为奇函数，故选D.
2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
解析：选B　由已知得f(－)＝f()＝log2＝.
3．函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．2
解析：选B　由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.
∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，故选B.
4．(2019·绍兴六校联考)若函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，则实数a＝________.
解析：法一：(定义法)∵函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax，∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(ex＋1)＝ln＝ln＝－x，∴2a＝－1，解得a＝－.
法二：(取特殊值)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(－1)＝f(1)，∴ln(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝ln＝ln＝－1，∴a＝－.
答案：－
5．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________.
解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，
则f＝f＝f＝＋1＝.
答案：
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1．(2018·浙江名校协作体联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为(　　)
A．4 B．－4
C．6 D．－6
解析：选B　由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4，选B.
2．奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：选D　由函数f(x＋2)为偶函数可得，f(2＋x)＝f(2－x)．
又f(－x)＝－f(x)，故f(2－x)＝－f(x－2)，
所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)．
所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
故该函数是周期为8的周期函数．
又函数f(x)为奇函数，故f(0)＝0.
所以f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.
3．(2018·宁波适应性考试)若函数y＝f(x)是R上的偶函数，y＝g(x)是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是(　　)
A．函数y＝g(g(x))是偶函数，函数y＝f(x)＋g(x)是周期函数
B．函数y＝g(g(x))是奇函数，函数y＝f(x)g(x)不一定是周期函数
C．函数y＝f(g(x))是奇函数，函数y＝f(g(x))是周期函数
D．函数y＝f(g(x))是偶函数，函数y＝f(x)g(x)是周期函数
解析：选D　∵y＝f(x)是R上的偶函数，y＝g(x)是R上的奇函数，故有f(－x)＝f(x)，且g(－x)＝－g(x)．
则g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，
f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))；
故g(g(x))为奇函数，f(g(x))为偶函数，故排除A、C；
∵f(x)和g(x)都是周期函数，设它们的周期的最小公倍数为t，即f(x＋t)＝f(x)，g(x＋t)＝g(x)，
令n(x)＝f(x)g(x)，
则n(x＋t)＝f(x＋t)g(x＋t)＝f(x)g(x)＝n(x)，
∴n(x)＝f(x)g(x)一定为周期函数，故选D.
4．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则(　　)
A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
解析：选A　∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1＜2＜3，∴f(1)＞f(2)＝f(－2)＞f(3)，故选A.
5．(2018·温州十校联考)设函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＋x2＝2a时，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x＋sin πx－3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f＋f＋f＋…＋f＋f的值为(　　)
A．－4 035 B．4 035
C．－8 070 D．8 070
解析：选C　∵f(x)＝x＋sin πx－3，
∴当x＝1时，f(1)＝1＋sin π－3＝－2，
∴根据对称中心的定义，可得当x1＋x2＝2时，恒有f(x1)＋f(x2)＝－4，
∴f＋f＋f＋…＋f＋f
＝2 017×＋f
＝2 017×(－4)－2
＝－8 070.
6．(2018·贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________.
解析：由题意可得g(2)＝＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.
答案：－1
7．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)＞f(2x－1)，可得f(|x|)＞f(|2x－1|)．
当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－，因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)＞f(|2x－1|)，可得|x|＞|2x－1|，
两边平方可得x2＞(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.
所以x的取值范围为.
答案：
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：
9．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝.
(1)求当x＜0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)＜－.
解：(1)因为f(x)是奇函数，所以当x＜0时，
f(x)＝－f(－x)，－x＞0，
又因为当x＞0时，f(x)＝，
所以当x＜0时，f(x)＝－f(－x)
＝－＝.
(2)f(x)＜－，当x＞0时，即＜－，
所以＜－，所以＞，所以3x－1＜8，
解得x＜2，所以x∈(0,2)．
当x＜0时，即＜－，所以＞－，
所以3－x＞32，所以x＜－2，
所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，作出f(x)的图象如图所示，
结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·温州模拟)记max{x，y}＝若f(x)，g(x)均是定义在实数集R上的函数，定义函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}，则下列命题正确的是(　　)
A．若f(x)，g(x)都是单调函数，则h(x)也是单调函数
B．若f(x)，g(x)都是奇函数，则h(x)也是奇函数
C．若f(x)，g(x)都是偶函数，则h(x)也是偶函数
D．若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则h(x)既不是奇函数，也不是偶函数
解析：选C　对于A，如f(x)＝x，g(x)＝－2x都是R上的单调函数，
而h(x)＝不是定义域R上的单调函数，故A错误；
对于B，如f(x)＝x，g(x)＝－2x都是R上的奇函数，
而h(x)＝不是定义域R上的奇函数，故B错误；
对于C，当f(x)，g(x)都是定义域R上的偶函数时，
h(x)＝max{f(x)，g(x)}也是定义域R上的偶函数，故C正确；
对于D，如f(x)＝sin x是定义域R上的奇函数，g(x)＝x2＋2是定义域R上的偶函数，
而h(x)＝g(x)＝x2＋2是定义域R上的偶函数，故D错误．
2．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.