2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第六节指数与指数函数

第六节指数与指数函数


1．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：
a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
②负分数指数幂：
a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象


定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1
在区间(－∞，＋∞)上是增函数
在区间(－∞，＋∞)上是减函数

[小题体验]
1．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)
A．－9　　　　　　　　　 　B．7
C．－10 D．9
解析：选B　原式＝26×－1＝23－1＝7.
2．函数f(x)＝3x＋1的值域为(　　)
A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．[1，＋∞)
解析：选B　∵3x＞0，∴3x＋1＞1，
即函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．
3．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝________.
答案：
4．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，
∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.
答案：(2,3)

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a＞1或0＜a＜1.
[小题纠偏]
1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)＝()n＝a.(　　)
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　)
(3)(－1)＝(－1)＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．若函数y＝(a－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
答案：(1,2)


[题组练透]
1．化简与求值：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)a·b－2·÷.
解：(1)原式＝1＋×－
＝1＋×－
＝1＋－
＝.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－ab－3÷(ab)＝－a·b
＝－·＝－.
2．若x＋x－＝3，则的值为________．
解析：由x＋x－＝3，得x＋x－1＋2＝9，
所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，
所以x2＋x－2＝47.
因为x＋x－＝(x＋x－)3－3(x＋x－)＝27－9＝18，所以原式＝＝.
答案：
[谨记通法]
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[典例引领]
1．函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)

解析：选D　函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，所以A项错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D.
2．已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
解析：①当0＜a＜1时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图a.若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0＜a＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a＜2，所以0＜a＜.

②当a＞1时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图b，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a＜2，此时无解．所以a的取值范围是.
答案：
[由题悟法]
指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[即时应用]
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A　将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)
A．a＜0，b＜0，c＜0　　　　 　B．a＜0，b＞0，c＞0
C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2
解析：选D　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0,0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.故选D.

[锁定考向]
高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．
常见的命题角度有：
(1)比较指数式的大小；
(2)简单指数方程或不等式的应用；
(3)探究指数型函数的性质．　　　 　
[题点全练]
角度一：比较指数式的大小
1．(2018·杭州模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c　　　　　　　 　B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析：选A　∵＞，y＝x在(0，＋∞)上是增函数，
∴b＝＞c＝，
∵＜，y＝x在R上是减函数，
∴a＝＞b＝，
∴a＞b＞c.故选A.
角度二：简单指数方程或不等式的应用
2．(2018·湖州模拟)已知函数f(x)＝m·9x－3x，若存在非零实数x0，使得f(－x0)＝f(x0)成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. B．
C．(0,2) D．[2，＋∞)
解析：选B　由题意得到f(－x)＝f(x)，
所以m·9－x－3－x＝m·9x－3x，
整理得到：m＝＝＜，
又m＞0，
所以实数m的取值范围是0＜m＜，故选B.
角度三：探究指数型函数的性质
3．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
∴
②÷①得a2＝4，又a＞0且a≠1，
∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知x＋x－m≥0
在(－∞，1]上恒成立可转化为m≤x＋x
在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是.
[通法在握]
应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略
题型
求解策略
比较幂值的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型函数的性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
[提醒]　在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．
[演练冲关]
1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：选C　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.
2．(2019·金华模拟)设函数f(x)＝则满足f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是________________________________________________________________________．
解析：由题意x＞0时，f(x)单调递增，故f(x)＞f(0)＝0，而x≤0时，f(x)＝0，
故若f(x2－2)＞f(x)，则x2－2＞x，且x2－2＞0，
解得x＞2或x＜－.
答案：(－∞，－)∪(2，＋∞)
3．函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调减区间为________．
解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．化简÷×的结果是(　　)
A．a　　　　　　　　　　 　B．b
C．ab D．ab2
解析：选A　原式＝÷×a
＝··a
＝a·a·a＝a.
2．已知a＝()，b＝2，c＝9，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A　a＝()＝2×＝2，b＝2，c＝9＝3，
由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，得a＜c，
由函数y＝2x在R上为增函数，得a＞b，
综上得c＞a＞b.
3．(2018·丽水模拟)已知实数a，b满足＞a＞b＞，则(　　)
A．b＜2 B．b＞2
C．a＜ D．a＞
解析：选B　由＞a，得a＞1，
由a＞b，得2a＞b，得2a＜b，
由b＞，得b＞4，得b＜4.
由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜2，
∴1＜a＜2,2＜b＜4.
取a＝，b＝，得＝ ＝，
有a＞，排除C；
b＞2，排除A；
取a＝，b＝得，＝ ＝ ，
有a＜，排除D，故选B.
4．(2017·宁波期中)若指数函数f(x)的图象过点(－2,4)，则f(3)＝________；不等式f(x)＋f(－x)＜的解集为____________．
解析：设指数函数解析式为y＝ax，因为指数函数f(x)的图象过点(－2,4)，所以4＝a－2，解得a＝，所以指数函数解析式为y＝x，所以f(3)＝3＝；
不等式f(x)＋f(－x)＜，即x＋2x＜，设2x＝t，不等式化为＋t＜，所以2t2－5t＋2＜0解得＜t＜2，即＜2x＜2，所以－1＜x＜1，所以不等式的解集为(－1,1)．
答案：　(－1,1)
5．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
解析：当a＞1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，
则a2－1＝2，∴a＝±.又∵a＞1，∴a＝.
当0＜a＜1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为减函数，
又∵f(0)＝0≠2，∴0＜a＜1不成立．
综上可知，a＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·贵州适应性考试)函数y＝ax＋2－1(a＞0且a≠1)的图象恒过的点是(　　)
A．(0,0) B．(0，－1)
C．(－2,0) D．(－2，－1)
解析：选C　法一：因为函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C正确．
法二：令x＋2＝0，x＝－2，得f(－2)＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C正确．
2．已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　)


解析：选B　由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0,0＜a＜1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k＞－1，所以－1＜k＜0.函数y＝ax＋k的图象可以看成把y＝ax的图象向右平移－k个单位得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，故选B.
3．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　依题意，a应满足
解得＜a≤.
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)
A．偶函数，在[0，＋∞)单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
解析：选C　易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，而－x＜0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，而－x＞0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.
5．(2018·温州月考)若函数f(x)＝ae－x－ex为奇函数，则f(x－1)＜e－的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选D　由于函数f(x)为R上奇函数，所以f(0)＝0⇒a＝1，所以f(x)＝－ex，
由于ex为增函数，而为减函数，
所以f(x)＝－ex是减函数，
又因为f(－1)＝e－，由f(x－1)＜e－可得f(x－1)＜f(－1)，x－1＞－1⇒x＞0，故选D.
6．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝a－x＝x，且f(－2)＞f(－3)，
所以函数f(x)在定义域上单调递增，
所以＞1，
解得0＜a＜1.
答案：(0,1)
7．(2018·温州模拟)已知函数f(x)＝设a＞b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．
解析：依题意，在坐标平面内画出函数y＝f(x)的大致图象，结合图象可知b∈，bf(a)＝bf(b)＝b(b＋1)＝b2＋b∈.
答案：
8．若不等式x2＋ax＜2x＋a－2恒成立，则a的取值范围是________．
解析：由指数函数的性质知y＝x是减函数，
因为x2＋ax＜2x＋a－2恒成立，
所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，
所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，
所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，
即(a－2)(a－2＋4)＜0，
即(a－2)(a＋2)＜0，
故有－2＜a＜2，即a的取值范围是(－2,2)．
答案：(－2,2)
9．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，
所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，
要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．
故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.
10．已知函数f(x)＝a|x＋b|(a＞0，b∈R)．
(1)若f(x)为偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)．
即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.
(2)记h(x)＝|x＋b|＝
①当a＞1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
∴－b≤2，b≥－2.
②当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a＞1且b≥－2.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·杭州模拟)已知定义在R上的函数g(x)＝2x＋2－x＋|x|，则满足g(2x－1)＜g(3)的x的取值范围是________．
解析：∵g(x)＝2x＋2－x＋|x|，∴g(－x)＝2x＋2－x＋|－x|＝2x＋2－x＋|x|＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，当x≥0时，g(x)＝2x＋2－x＋x，则g′(x)＝(2x－2－x)·ln 2＋1＞0，则函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g(2x－1)＜g(3)等价于g(|2x－1|)＜g(3)，∴|2x－1|＜3，即－3＜2x－1＜3，解得－1＜x＜2，即x的取值范围是(－1,2)．
答案：(－1,2)
2．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.
从而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，
从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.
故k的取值范围为.