2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第八章第三节圆的方程

第三节圆的方程


1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)
圆心：，
半径：
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[小题体验]
1．(2019·金华五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4　　　　 　B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：选B　法一：由题意可得圆心(0,1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝＝＝≤≤，当且仅当b＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r＝，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.
法二：易知直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图，当圆M与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.
2．(2018·浙江五校联考)若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C. D.
解析：选A　因为点在圆内，所以(2a)2＋(a＋1－1)2＜5，解得－1＜a＜1.故实数a的取值范围是(－1,1)．
3．(2018·湖州调研)若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆心C的坐标为________；圆C的一般方程是________．
解析：已知圆x2＋y2＋2x＝0的圆心坐标是(－1,0)、半径是1，设圆C的圆心(a，b)，则有由此解得a＝1，b＝2，即圆心C的坐标为(1,2)，因此圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.
答案：(1,2)　x2＋y2－2x－4y＋4＝0

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．
[小题纠偏]
(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
答案：(－2，－4)　5


[题组练透]
1．(2018·西安二模)已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是(　　)
A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0
B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0
解析：选C　⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝16，故圆心是(2,3)，半径是4，点M(－2,0)是⊙C外一点，显然直线x＋2＝0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P(a，b)，则直线MP的斜率是，直线MP的方程是bx－(a＋2)y＋2b＝0，故解得故切线方程是7x＋24y＋14＝0，故选C.
2．(2018·永康模拟)设a∈R，则“a＞1”是“方程x2＋2ax＋y2＋1＝0的曲线是圆”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　因为方程是圆，所以可转化为(x＋a)2＋y2＝a2－1，即a2－1＞0，解得a＞1或a＜－1.所以当“a＞1”时，有a2－1＞0，得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的方程时，有a＞1或a＜－1，不一定得到a＞1.所以是充分不必要条件．
3．(2018·大连模拟)已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．
解析：圆C：x2＋y2－2y＝0，转化为x2＋(y－1)2＝1，则圆心(0,1)到直线y＝x－1的距离d＝＝，由于AB为圆的直径，则点A到直线的最小距离为－1，此时点B到直线的距离为＋1，|PA|2＋|PB|2＝(－1)2＋(＋1)2＝6，即|PA|2＋|PB|2的最小值为6.
答案：6
4．(2018·湖北八校联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1：2，则圆C的标准方程为________．
解析：∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得解得
∴圆C的标准方程为x2＋2＝.
答案：x2＋2＝
[谨记通法]
1．求圆的方程的2种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的3种方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[提醒]　解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

[锁定考向]
与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．
常见的命题角度有：
(1)斜率型最值问题；
(2)截距型最值问题；
(3)距离型最值问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：斜率型最值问题
1．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求的最大值和最小值．
解：可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－.∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
角度二：截距型最值问题
2．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
解：设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
角度三：距离型最值问题
3．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求的最大值和最小值．
解：＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，∴的最大值为＋1，最小值为－1.
[通法在握]
与圆有关的最值问题的3种常见转化方法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
[演练冲关]
1．(2018·义乌诊断)圆心在曲线y＝(x＞0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝25　　 　B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
解析：选D　设圆心坐标为C(a＞0)，则半径r＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号．
所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝，C(1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
2．(2019·镇海中学摸底)过动点P作圆：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|＝|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是________．
解析：根据题意，设P的坐标为(m，n)，圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为N，则N(3,4)．
PQ为圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线，则有|PN|2＝|PQ|2＋|NQ|2＝|PQ|2＋1，
又|PQ|＝|PO|，则有|PN|2＝|PO|2＋1，即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1，
变形可得3m＋4n＝12，即P在直线3x＋4y＝12上，则|PQ|的最小值即为点O到直线3x＋4y＝12的距离d＝＝，即|PQ|的最小值是.
答案：

[典例引领]
已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，
则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[由题悟法]
与圆有关的轨迹问题的4种求法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
[即时应用]
已知Rt△ABC中，A(0,0)，B(6,0)，求直角顶点C的轨迹方程．
解：法一：依题意，顶点C的轨迹是以AB为直径的圆，且去掉端点A，B，则圆心坐标为(3,0)，半径为3，
故直角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝9(y≠0)．
法二：设顶点C的坐标为(x，y)，
由于AC⊥BC，故kAC·kBC＝－1，
∴·＝－1，∴x2＋y2－6x＝0，
即直角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝9(y≠0)．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·温州模拟)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△ABC的外接圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5　　　　 　B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5
解析：选D　由题意知AB⊥AC，∴AB·AC＝0，即－4－2a＝0，∴a＝－2.而BC的中点坐标为(－3,0)，即三角形外接圆圆心为(－3,0)，半径r＝＝＝，∴△ABC 外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
2．(2019·金华九校联考)若直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上，即－2a－2b＋2＝0，解得b＝1－a，∴ab＝a(1－a)＝－2＋≤，当且仅当a＝时等号成立，因此ab的取值范围是.
3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A　设圆上任一点为Q(x0，y0)，
PQ的中点为M(x，y)，则
解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
4．(2018·珠海四校4月联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选B　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得
由①②得a－b－2＝0，④
由③④得
将a＝1，b＝－1代入①得r＝，
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
5．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，则该圆的方程为________；若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．
解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，
得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.
半径r＝|CA|＝＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋()2＜10，解得0＜m＜4.
答案：(x－2)2＋y2＝10　(0,4)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．方程y＝表示的曲线是(　　)
A．上半圆　　　　　　　 　B．下半圆
C．圆 D．抛物线
解析：选A　由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．
2．(2018·嘉兴七校联考)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析：选A　已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
3．(2018·杭州一模)已知两条直线l1：x－y＋2＝0与l2：x－y－6＝0被圆C截得的线段长均为2，则圆C的面积为(　　)
A．5π B．4π
C．3π D．2π
解析：选A　∵直线l1：x－y＋2＝0与l2：x－y－6＝0平行，且截圆C所得的弦长均为2，∴圆心到两直线的距离相等，又知两平行直线间的距离d＝＝4，即圆心到直线l1的距离为2，则圆的半径r＝＝，∴圆C的面积S＝πr2＝5π.
4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
5．(2018·浙江名校联盟调研)已知直角三角形ABC的斜边AB，且A(－1,0)，B(3,0)，则直角边BC的中点的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＋4x＋3＝0
B．x2＋y2＋4x＋3＝0(y≠0)
C．x2＋y2－4x＋3＝0
D．x2＋y2－4x＋3＝0(y≠0)
解析：选D　设直角边BC的中点为P(x，y)，因为B(3,0)，所以C(2x－3,2y)．因为AC⊥BC，所以·＝(2x－2)·(2x－6)＋4y2＝0，化简得x2＋y2－4x＋3＝0.因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.即x2＋y2－4x＋3＝0(y≠0)．
6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________．
解析：设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝＝5.
而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，
∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
故|PM|＋|PN|的最小值为5－4.
答案：5－4
7．(2018·丽水调研)已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________．
解析：过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，
∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
由于直线过圆心C(2,1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y－0＝x－1，即为x－y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0　x－y－1＝0

8．(2018·深圳3月联考)如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
解：(1)∵kAB＝－，AB⊥BC，∴kCB＝，
∴BC边所在直线的方程为y＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)在BC边所在直线方程中，令y＝0，得C(4,0)，
∴圆心M(1,0)，
又∵AM＝3，
∴圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)∵M(1,0)，圆N过点P(－1,0)，
∴PN是该圆的半径，
又∵动圆N与圆M内切，
∴MN＝3－PN，即MN＋PN＝3.
∴点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆．
∴a＝，c＝1，b＝＝，
∴所求轨迹方程为＋＝1.
9．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值．
解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝≤2，
解上式得，16－2≤t≤16＋2，
所以所求的最大值为16＋2.
(2)记点Q(－2,3)，
因为表示直线MQ的斜率k，
所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得≤2.
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
10．(2019·恩施重点中学联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴，且y轴和直线x－y＋2＝0均与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN为锐角，求实数m的取值范围．
解：(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意得解得
则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)将y＝x＋m代入圆C的方程，
消去y并整理得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0.
令Δ＝4(m－2)2－8m2＞0，得－2－2＜m＜－2＋2，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2－m，x1x2＝.
易知PM＝(x1，y1－1)，PN＝(x2，y2－1)，
依题意，得PM·PN＞0，
即x1x2＋(x1＋m－1)(x2＋m－1)＞0⇒m2＋m－1＞0，
解得m＜或m＞.
故实数m的取值范围是
∪.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6，若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得＋＝0，则m的取值范围为________．
解析：曲线C：x＝－是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP∈[－2,0]，对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得＋＝0，
则A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，
∴m＝∈[2,3]．
答案：[2,3]
2．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．
(2)由(1)知曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆．
由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝ ＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，此时|CQ|＝＝4，
故|QM|的最小值为＝4.