2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第八章第五节曲线与方程

第五节曲线与方程


1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．
若此方程组无解，则两曲线无交点．
[小题体验]
1．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．曲线C的方程是F(x，y)＝0
B．方程F(x，y)＝0的曲线是C
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上
解析：选C　原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则点M的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若点M的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法C，故选C.
2．(教材习题改编)和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为________．
解析：设点的坐标为(x，y)，
由题意知()2＋()2＝c，
即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，
即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.
答案：2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0

1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
[小题纠偏]
1．(教材习题改编)已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　　　　　　 　B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
解析：选C　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线．
2．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________．
解析：由正弦定理得－＝×，
即|AB|－|AC|＝|BC|，
故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．
即动点A的轨迹方程为－＝1(x＞0且y≠0)．
答案：－＝1(x＞0且y≠0)


[题组练透]
1．(2019·杭二月考)F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　　)
A．圆　　　　　　　　 　B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选A　如图，由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，
∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1，
∴△F1MP中，|PF1|＝|MP|且Q为MF1的中点．
在△F1MF2中，由三角形中位线定理，
得|OQ|＝|MF2|＝(|MP|＋|PF2|)，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|MP|＋|PF2|＝2a，
∴|OQ|＝(|MP|＋|PF2|)＝a，
可得动点Q的轨迹方程为x2＋y2＝a2，
∴点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆．故选A.
2．(2018·上虞期初)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，点P是动点，且直线AP与BP的斜率之积为－，则点P的轨迹方程为(　　)
A．3x2＋y2＝4 B．3x2＋y2＝1
C．x2＋3y2＝4 D．x2＋3y2＝1
解析：选C　设P(x，y)，由题可得，B(1，－1)．因为直线AP与BP的斜率之积为－，所以kAP·kBP＝·＝－，化简得x2＋3y2＝4.
3．(2018·金华五中模拟)已知|AB|＝3，A，B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，OP＝OA＋OB，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋＝1 B.＋y2＝1
C．x2＋＝1 D.＋y2＝1
解析：选C　设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)是所求曲线上任意一点，由OP＝OA＋OB，得所以又|AB|＝3，所以a2＋b2＝9，即9x2＋y2＝9，所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
[谨记通法]
直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略
(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽视．

[典例引领]
1．(2019·稽阳联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝25，M为圆C上一动点，定点A(－2,0)，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM＝2AP，AM·NP＝0，则点N的轨迹方程为(　　)
A.＋y2＝1　　　　　　　 B.＋x2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C　∵AM＝2AP，AM·NP＝0，∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|.∵|NC|＋|NM|＝5，∴|NC|＋|NA|＝5＞4，∴动点N的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且椭圆的长轴长为5，焦距为4，则a＝，c＝2，b＝，故点N的轨迹方程为＋＝1.
2．(2018·宁波月考)设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，
(1)当a＝3时，点P的轨迹是________；
(2)当a≠3时，点P的轨迹是________．
解析：∵a＋≥2 ＝6(a＞0)．
(1)当a＝3时，a＋＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，P点的轨迹为线段F1F2，
(2)当a≠3，a＞0时，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|.
由椭圆定义知点P的轨迹为椭圆．
答案：(1)线段F1F2　(2)椭圆
[由题悟法]
定义法求曲线方程的一般策略
(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．
(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
[即时应用]
已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2，则曲线Γ的方程为________．
解析：法一：设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.
法二：设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
则|y－(－3)|－＝2，
依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，
所以y＞－3，
所以＝y＋1，
化简，得曲线Γ的方程为x2＝4y.
答案：x2＝4y

[典例引领]
已知P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
解析：由于＝＋，
又＋＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.
答案：＋＝1
[由题悟法]
代入法求轨迹方程的4个步骤
(1)设点：设所求点坐标为(x，y)，与之相关点坐标为(x0，y0)．
(2)寻求关系：求出动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知动点满足的曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
(4)检验：说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
[即时应用]
已知曲线E：ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A，B，且＝－2.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程．
解：设A(x0，y0)，∵B(0,2)，M，
故＝，＝.
由于＝－2，
∴＝－2.
∴x0＝，y0＝－1，即A.
∵A，B都在曲线E上，
∴解得
∴曲线E的方程为x2＋＝1.

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1．(2018·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＝4y　　　　　　　　 　B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
解析：选A　设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
∵·＝·，
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，
∴动点P的轨迹方程为x2＝4y.
2．方程x＝所表示的曲线是(　　)
A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分
C．圆的一部分 D．直线的一部分
解析：选B　x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．
3．(2018·奉化期末)已知△ABC中，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，则△ABC的重心G的轨迹方程为(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝9x2＋12x＋3
C．y＝3x2＋4x＋1 D．y＝3x2＋1
解析：选B　设△ABC的重心G(x，y)，C(x1，y1)，则有x＝，y＝，所以有x1＝3x＋2，y1＝3y＋2，因为点C在曲线y＝3x2－1上移动，所以有3y＋2＝3(3x＋2)2－1，化简得y＝9x2＋12x＋3.
4．(2019·韶关模拟)设M是圆O：x2＋y2＝9上的动点，直线l过M且与圆O相切，若过A(－2,0)，B(2,0)两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是(　　)
A.－＝1(y≠0) B.－＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
解析：选C　设A，B两点到直线l的距离分别为d1，d2，则d1＋d2＝2r＝6，又A，B两点在抛物线上，由定义可知|AF|＋|BF|＝6＞|AB|，所以由椭圆定义可知，动点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为6，焦距为4的椭圆(不包括与x轴的交点)．则a＝3，c＝2，b＝，故抛物线焦点F的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
5．已知定点A(4,0)和圆x2＋y2＝4上的动点B，动点P(x，y)满足＋＝2，则点P的轨迹方程为___________；该轨迹所围区域的面积为________．
解析：设B(x0，y0)，由得
代入圆方程得(2x－4)2＋4y2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
该轨迹是以(2,0)为圆心，半径为1的圆，所以所围区域的面积为π.
答案：(x－2)2＋y2＝1　π
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1．已知方程ax2＋by2＝1的曲线经过点(0,2)与(1，)，则a＋b为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选B　由题意得解得
∴a＋b＝，故选B.
2．(2018·嘉兴一中质检)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)
A．任意实数a，方程表示椭圆
B．存在实数a，方程表示椭圆
C．任意实数a，方程表示双曲线
D．存在实数a，方程表示抛物线
解析：选B　当a＞0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.
3．(2018·江西金太阳联考)过点A(0,1)作直线与圆(x－2)2＋y2＝1交于B，C两点，在线段BC上取满足BP∶PC＝AB∶AC的动点P的轨迹是一条直线l的一部分，则轨迹的长度为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意知，过点A的直线斜率存在且不为0.设过点A(0,1)的直线方程为y＝kx＋1，联立圆的方程整理得(1＋k2)x2＋(2k－4)x＋4＝0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，P(x，y)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由BP∶PC＝AB∶AC，得＝，所以x＝＝，y＝kx＋1＝，消去k，得直线l的方程为2x－y－3＝0，根据弦长公式得轨迹长为.
4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析：选D　因为M为AQ垂直平分线上一点，
则|AM|＝|MQ|，
所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，
故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝，c＝1，
则b2＝a2－c2＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
5．(2019·临汾模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆C上关于长轴对称的两点，若直线AM与BN相交于点P，则点P的轨迹方程是(　　)
A．x＝±a(y≠0) B．y2＝2b(|x|－a)(y≠0)
C．x2＋y2＝a2＋b2(y≠0) D.－＝1(y≠0)
解析：选D　由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，
设M(x0，y0)，N(x0，－y0)，y0≠0，P(x，y)，y≠0，
则直线PA的斜率k＝，
则直线PA的方程为y＝(x＋a)，①
同理，直线PB的斜率k＝，
直线PB的方程为y＝(x－a)，②
①②相乘得y2＝(x2－a2)，
由＋＝1，得y＝(a2－x)，
则y2＝(x2－a2)，整理得－＝1(a＞b＞0，y≠0)，
故点P的轨迹方程是－＝1(a＞b＞0，y≠0)．
6．已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，则动圆圆心Q的轨迹方程为__________________．
解析：设Q(x，y)．因为动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，
所以2＋|x|2＝|AQ|2，
所以|x|2＋22＝(x－2)2＋y2，整理得y2＝4x.
所以动圆圆心Q的轨迹方程是y2＝4x.
答案：y2＝4x
7．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
8．(2019·浙江百校联考)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且经过点，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点F与椭圆的一个焦点重合．过F的直线与抛物线C2交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C2的切线l1，l2，则直线l1，l2的交点Q的轨迹方程为__________．
解析：设椭圆的半焦距为c，则＝，即a＝c，则b＝c，故椭圆C1的方程为＋＝1，将代入，得c2＝1，所以椭圆C1的方程为＋＝1，焦点坐标为(0，±1)，故抛物线C2的方程为x2＝4y.设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入抛物线C2的方程得x2－4kx－4＝0，设M，N，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，因为y＝，所以y′＝，故直线l1的斜率为，l1的方程为y－＝(x－x1)，即y＝x－，同理，直线l2的方程为y＝x－，
由得
即直线l1，l2的交点Q为(2k，－1)，
故点Q的轨迹方程为y＝－1.
答案：y＝－1
9．已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于x轴，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求点P的轨迹方程．
解：设点P的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)．
∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
∵M是线段PP′的中点，
∴把代入＋＝1，
得＋＝1，即x2＋y2＝36.
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝36.
10.如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC ，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程．
解：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，
所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．
设曲线M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，
则a2＝4，b2＝a2－12＝3，
所以曲线M：＋＝1(y≠0)为所求．
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1．(2018·辽宁葫芦岛调研)在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2,0)，G，M为平面上的两点且满足＋＋＝0，＝＝，∥，则顶点C的轨迹为(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)
B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)
D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
解析：选B　设C(x，y)(y≠0)，则由＋＋＝0，
即G为△ABC的重心，得G.
又＝＝，
即M为△ABC的外心，
所以点M在y轴上，
又∥，则有M.
所以x2＋2＝4＋，
化简得＋＝1，y≠0.
所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点)．
2．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
解：由题意知F，设直线l1的方程为y＝a，直线l2的方程为y＝b，则ab≠0，
且A，B，P，Q.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：R，
由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，
则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，
S△PQF＝.
由题意可得|b－a|＝，
所以x1＝1或x1＝0(舍去)．
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE，可得＝(x≠1)．
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，
满足方程y2＝x－1.所以所求的轨迹方程为y2＝x－1.