2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第八章第八节抛物线

第八节抛物线


1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝
－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
[小题体验]
1．(2018·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－，则其焦点坐标为________，实数a的值为________．
解析：由题意得焦点坐标为，抛物线C的方程可化为x2＝y，由题意得－＝－，解得a＝1.
答案：　1
2．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝－4x或x2＝－8y
3．(教材习题改编)抛物线y＝4x2的焦点坐标为__________；准线方程为____________．
解析：抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.
答案：　y＝－

1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．
[小题纠偏]
1．平面内到点(1,1)与到直线x＋2y－3＝0的距离相等的点的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　　　　 　B．双曲线
C．抛物线 D．一条直线
答案：D
2．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－y.
∴2p＝，p＝，∴焦点为.
答案：


[典例引领]
1．(2019·温州十校联考)设抛物线C：y＝x2的焦点为F，直线l交抛物线C于A，B两点，|AF|＝3，线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，则|BF|＝(　　)
A.　　　　　　　　　 　B．5
C．4 D．3
解析：选B　抛物线C的方程可化为x2＝4y，由线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，可得|AF|＋|BF|＝8，又|AF|＝3，所以|BF|＝5.
2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B　依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5，故选B.
[由题悟法]
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
[即时应用]
1．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)


A. B.
C. D.
解析：选A　由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知其焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A.　　　　　　　　　 　B．2
C. D．3
解析：选B　由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.

[锁定考向]
抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现．
常见的命题角度有：
(1)求抛物线方程；
(2)抛物线的对称性．　　　 　
[题点全练]
角度一：求抛物线方程
1．(2019·台州重点校联考)已知直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－12x　　　　　　　 　B．y2＝－8x
C．y2＝－6x D．y2＝－4x
解析：选B　过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线定义知|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，则|AA1|＋|BB1|＝2＝8，解得p＝4，所以此抛物线的方程是y2＝－8x.

角度二：抛物线的对称性
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)
A．1 B.
C．2 D．3
解析：选B　双曲线的渐近线方程为y＝±x，
因为双曲线的离心率为2，
所以 ＝2，＝.由
解得或
由曲线的对称性及△AOB的面积得，
2×××＝，
解得p2＝，即p＝.
[通法在握]
求抛物线方程的3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
[演练冲关]
1．(2019·宁波质检)已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D　抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，设M，由中点坐标公式可知＋＝2×2，y1＋0＝2×2，解得p＝4.
2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线准线交于M，且FM＝3FP，则|FP|＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　设直线l的倾斜角为θ，如图所示，过点P作PN垂直准线于点N，由抛物线定义知|PN|＝|PF|.∵FM＝3FP，∴|FM|＝3|FP|，即|PM|＝2|PN|.在Rt△MNP中，cos∠MPN＝，∵PN∥x轴，∴cos θ＝，由抛物线焦半径的性质可得|PF|＝＝＝，即|FP|＝.

[典例引领]
(2018·长兴中学模拟)已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C1上一点，|PF|＝4，点P到y轴的距离等于3.
(1)求抛物线C1的标准方程；
(2)设A，B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线y＝x上，P(0,2)为定点，求△PAB面积的最大值．
解：(1)由题意，＋3＝4，∴p＝2，
所以抛物线C1的标准方程为y2＝4x.
(2)设直线AB：x＝ty＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程
消元化简得y2－4ty－4b＝0，
Δ＝16t2＋16b＞0.
且y1＋y2＝4t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2b＝4t2＋2b，
所以D(2t2＋b,2t)，2t2＋b＝2t.
由Δ＞0得0＜t＜2.
所以点P到直线AB的距离d＝＝，
所以|AB|＝＝4，
所以S△ABP＝|AB|d＝×4＝2·|2t2－4t|.
令m＝，
则m∈(0,1]，且S△ABP＝4m3.
由函数单调性可知，(S△ABP)max＝4.
[由题悟法]
解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式．
[即时应用]

如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．
(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；
(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．
解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)．
因为线段AB的中点在直线y＝2上，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
所以2y0k＝4.
又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.
(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消去x，得y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)＞0.
|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝·
＝4(m2＋1)．
所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，
所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·湖州质检)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝4x　　　　　　　 　B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
解析：选D　∵AB⊥x轴，且AB过点F，∴AB是焦点弦，∴|AB|＝2p，∴S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或p＝－12(舍去)，∴直线AB的方程为x＝2，∴以直线AB为准线的抛物线的标准方程是y2＝－8x，故选D.
2．(2018·江山质检)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为(　　)
A. B．1
C．2 D．3
解析：选C　由抛物线的定义可知，4＋＝5，解得p＝2.
3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由抛物线y2＝4x知焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1,2)，所以kAF＝＝－，所以直线AF的倾斜角为.
4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C：y2＝2x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝(　　)
A．8 B．2
C．4 D．8
解析：选B　法一：由题意可得p＝，F.不妨设点P在x轴上方，由抛物线定义可知|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|，设直线PQ的倾斜角为θ，则tan θ＝，∴θ＝，由抛物线焦半径的性质可知，|PF|＝＝＝2，|QF|＝＝＝，∴|MN|＝|PQ|sin θ＝(|PF|＋|QF|)·sin＝×＝4，∴S△MFN＝|MN|·p＝×4×＝2.
法二：由题意可得F，直线PQ的方程为y＝＝x－，与抛物线方程y2＝2x联立，得2＝2x，即3x2－5x＋＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋＝，∵直线PQ的斜率为，∴直线PQ的倾斜角为.∴|MN|＝|PQ|sin ＝×＝4，∴S△MFN＝×4×＝2.
5．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为________．
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＝，
解得xP＝1，
所以y＝4，所以|yP|＝2.
答案：2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　)
A．y＝0 B．x2＋y2＝1
C．x2＝4y D．y2＝4x
解析：选C　设动圆圆心M(x，y)，则＝|y＋1|，解得x2＝4y.
2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝(x－1)与抛物线C交于A，B两点(A在x轴上方)．若AF＝mFB，则m的值为(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：选D　直线方程为x＝y＋1，代入y2＝4x可得y2－y－4＝0，则yA＝2，yB＝－，所以|yA|＝3|yB|，因为AF＝mFB，所以m＝3.
3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x2＝4y，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角为30°，则的值等于(　　)
A．3 B.
C．2 D.
解析：选A　由题可得，F(0,1)，设l：y＝x＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x，化简得3y2－10y＋3＝0，解得y1＝3，y2＝.由抛物线的定义可知＝＝＝3.
4．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)
A．8 B.
C．10 D.
解析：选B　依题意可知焦点F，准线方程为y＝－，延长PM交准线于点H(图略)．
则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－，
|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，
即求|PF|＋|PA|的最小值．
因为|PF|＋|PA|≥|FA|，
又|FA|＝ ＝10.
所以|PM|＋|PA|≥10－＝，故选B.
5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则OM·MF＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选A　设M(m，)，抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|＝|MF|＝，所以m2＋2pm＝　①，m＋＝　②，由①②解得m＝，p＝2，所以M，F(1,0)，所以OM＝，MF＝，故OM·MF＝－2＝－.
6．(2018·宁波期初)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，若点M在抛物线上，|MF|＝4，O为坐标原点，则∠MFO＝________.
解析：由题可得，p＝2，焦点在y轴正半轴，所以F(0,1)．
因为|MF|＝4，所以M(±2，3)．
所以tan∠MFO＝－tan(π－∠MFO)＝－＝－，
所以∠MFO＝.
答案：
7．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为________．
解析：如图，由题可知F，设P点坐标为(y0＞0)，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2时等号成立，所以直线OM的斜率的最大值为.
答案：
8．(2018·嵊州一模)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝________.
解析：设点A在第一象限，B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋.由y2＝4x，得p＝2，因为|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，所以x2＝2，则y＝4x2＝4×2＝8，所以y2＝－2，由得y2－4my－4＝0，则y1y2＝－4，所以y1＝，由y＝4x1，得x1＝.过点A作AA′垂直于准线x＝－1，垂足为A′，过点B作BB′垂直于准线x＝－1，垂足为B′，易知△CBB′∽△CAA′，所以＝＝.又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，所以＝＝.
答案：
9．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.
(1)设A(x0，x)(x0≠0)，求直线AB的方程；
(2)求的值．
解：(1)因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0，
所以直线AB的方程为y－x＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x.
(2)由(1)得，点B的纵坐标yB＝－x，
所以AB的中点坐标为.
设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋.
由得m2y2＋(mx0－1)y＋＝0.
因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2.
由根与系数的关系，
得y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3y＝.
所以y＝＝，
解得mx0＝－3±2.
所以点D的纵坐标yD＝－＝，
故＝＝4±6.
10．(2018·台州模拟)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p＞0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O为坐标原点)．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．
解：(1)由题意知F1(1,0)，F2，则＝，
∵F1F2⊥OP，
∴·＝·(－1，－1)＝1－＝0，
∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.
(2)设过点O的直线为y＝kx(k＜0)，
联立得M，
联立得N(4k,4k2)，
从而|MN|＝·＝·，
又点P到直线MN的距离d＝，
故S△PMN＝···
＝＝
＝2，
令t＝k＋(t≤－2)，
则S△PMN＝2(t－2)(t＋1)≥8，
当t＝－2，即k＝－1时，S△PMN取得最小值．
即当过点O的直线为y＝－x时，△PMN面积的最小值为8.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)，点M是抛物线的准线与y轴的交点，过点A(0，λp)(λ∈R)的动直线l交抛物线于B，C两点．
(1)求证：MB·MC≥0，并求等号成立时实数λ的值；
(2)当λ＝2时，设分别以OB，OC(O为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D，求|DO|＋|DA|的最大值．
解：(1)由题意知动直线l的斜率存在，且过点A(0，λp)，
则可设动直线l的方程为y＝kx＋λp，
代入x2＝2py(p＞0)，消去y并整理得x2－2pkx－2λp2＝0，
Δ＝4p2(k2＋2λ)＞0，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2λp2，
y1y2＝(kx1＋λp)(kx2＋λp)＝k2x1x2＋λpk(x1＋x2)＋λ2p2＝λ2p2，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2λp＝2pk2＋2λp＝2p(k2＋λ)．
因为抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，
所以点M的坐标为，
所以MB＝，MC＝，
所以MB·MC＝x1x2＋
＝x1x2＋y1y2＋(y1＋y2)＋
＝－2λp2＋λ2p2＋[2p(k2＋λ)]＋
＝p2≥0，
当且仅当k＝0，λ＝时等号成立．
(2)由(1)知，当λ＝2时，x1x2＝－4p2，y1y2＝4p2，
所以OB·OC＝x1x2＋y1y2＝0，
所以OB⊥OC.
设直线OB的方程为y＝mx(m≠0)，
与抛物线的方程x2＝2py联立可得B(2pm,2pm2)，
所以以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2pmx－2pm2y＝0.
因为OB⊥OC，
所以直线OC的方程为y＝－x.
同理可得以OC为直径的圆的方程为
x2＋y2＋x－y＝0，
即m2x2＋m2y2＋2pmx－2py＝0，
将两圆的方程相加消去m，得x2＋y2－2py＝0，
即x2＋(y－p)2＝p2，
所以点D的轨迹是以OA为直径的圆，
所以|DA|2＋|DO|2＝4p2，
由≥2，
得|DA|＋|DO|≤2p，
当且仅当|DA|＝|DO|＝p时，等号成立．
故(|DA|＋|DO|)max＝2p.
2.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
因为点P(1,2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，
解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
所以＝－，所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
所以kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．