教材链接高考——三角函数的图象与性质

[教材探究](必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)

题目9　已知函数y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x.

(1)求函数的递减区间；

(2)求函数的最大值和最小值.

题目10　已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4 x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.

[试题评析]　两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后利用三角函数的性质求解.

【教材拓展】 已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性.

解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，

f(x)＝4tan xcos xcos－

＝4sin xcos－

＝4sin x－

＝2sin xcos x＋2sin2x－

＝sin 2x－cos 2x

＝2sin.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，

得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).

设A＝，B＝，易知A∩B＝.

所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.

探究提高　1.将f(x)变形为f(x)＝2sin是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.

2.把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

【链接高考】 (2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值.

解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx＝

＝sin.

由题设知f＝0，

所以－＝kπ(k∈Z)，

故ω＝6k＋2(k∈Z).

又0＜ω＜3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin.

因为x∈，所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.

教你如何审题——三角变换、三角函数与平面向量的交汇

【例题】 (2019·青岛质检)已知向量m＝(2sin ωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(cos ωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sin B＝sin A，求·的值.

[审题路线]

[自主解答]

解　(1)f(x)＝m·n＝2sin ωxcos ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.

因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π.

又ω＞0，所以ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝2sin.

设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.

因为f(B)＝－2，所以2sin＝－2，

即sin＝－1，由于0<B<π，解得B＝.

因为BC＝，即a＝，又sin B＝sin A，

所以b＝a，故b＝3.

由正弦定理，有＝，解得sin A＝.

由于0＜A＜，解得A＝.

所以C＝，所以c＝a＝.

所以·＝cacos B＝××cos ＝－.

探究提高　1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.

2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.

【尝试训练】 已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.

(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值.

解　(1)f(x)＝2 cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，

令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴函数y＝f(x)的单调递减区间为(k∈Z).

(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，

∴cos＝－1，又＜2A＋＜，

∴2A＋＝π，即A＝.

∵a＝，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①

∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，

∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，②

由①②得b＝3，c＝2.

满分答题示范——解三角形

【例题】 (12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.

(1)求sin Bsin C；

(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.

[规范解答]

[高考状元满分心得]

❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出acsin B＝就有分，第(2)问中求出cos Bcos C－sin Bsin C＝－就有分.

❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得sin Csin B＝；第(2)问由余弦定理得b2＋c2－bc＝9.

❸计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos Bcos C－sin Bsin C＝－化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.

[构建模板]

【规范训练】 (2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC.

解　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.

由题设知，∠ADB<90°，

所以cos∠ADB＝＝.

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC

＝25＋8－2×5×2×＝25.

所以BC＝5.

1.已知函数f(x)＝sin x－2sin2.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最小值.

解　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－

＝2sin－，

所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.

当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.

所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.

2.(2019·济南调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2).

(1)求cos A的值；

(2)求sin(2B－A)的值.

解　(1)由asin A＝4bsin B，及＝，得a＝2b.

由ac＝(a2－b2－c2)，

及余弦定理，得cos A＝＝＝－.

(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，

得sin B＝＝.

由(1)知，A为钝角，所以cos B＝＝.

于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，

故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A

＝×－×＝－.

3.已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x(x∈R).

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC中线AD的长.

解　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝2sin.

∴T＝＝π.∴函数f(x)的最小正周期为π.

(2)由(1)知f(x)＝2sin，

∵在△ABC中f(A)＝2，∴sin＝1，

∴2A－＝，∴A＝.又cos B＝，∴sin B＝，

∴sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝，

在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，

∴a＝7，∴BD＝.

在△ABD中，由余弦定理得，

AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B

＝52＋－2×5××＝，

因此△ABC的中线AD＝.

4.(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝cos x(cos x＋sin x).

(1)求f(x)的最小值；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1，S△ABC＝，c＝，求△ABC的周长.

解　(1)f(x)＝cos x(cos x＋sin x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝＋sin.

当sin＝－1时，f(x)取得最小值－.

(2)f(C)＝＋sin＝1，∴sin＝，

∵C∈(0，π)，2C＋∈，∴2C＋＝，∴C＝.

∵S△ABC＝absin C＝，∴ab＝3.

又(a＋b)2－2abcos ＝7＋2ab，

∴(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，∴a＋b＋c＝4＋，

故△ABC的周长为4＋.

5.已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，B为锐角且m∥n.

(1)求角B的大小；

(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值.

解　(1)∵m∥n，

∴2sin B＝－cos 2B，

∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.

又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，

∴2B＝，∴B＝.

(2)∵B＝，b＝2，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得a2＋c2－ac－4＝0.

又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，

故S△ABC＝acsin B＝ac≤，

当且仅当a＝c＝2时等号成立，

即S△ABC的最大值为.

6.(2019·上海徐汇区二模)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sin B＋sin C－sin A)＝bsin C.

(1)求角A的大小；

(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋cos Bcos C的最大值.

解　(1)∵(a＋b＋c)(sin B＋sin C－sin A)＝bsin C，

∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.

∴由余弦定理，得cos A＝＝－.

又A∈(0，π)，所以A＝π.

(2)根据a＝，A＝π及正弦定理

得＝＝＝＝2，

∴b＝2sin B，c＝2sin C.

∴S＝bcsin A＝×2sin B×2sin C×＝sin Bsin C.

∴S＋cos Bcos C＝sin Bsin C＋cos Bcos C

＝cos(B－C).

故当B＝C＝时，S＋cos Bcos C取得最大值.