2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第四章三角函数、解三角形第7节

 第7节　解三角形的实际应用
考试要求　能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.

知 识 梳 理
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
[微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.(　　)
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　)
解析　(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2.(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
解析　由正弦定理得＝，
又∵∠ABC＝30°，
∴AB＝＝＝50(m).
答案　A
3.(必修5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.

解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，
AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.
答案　a

4.(2018·济南月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
解析　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
答案　D
5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
解析　如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S6＝6××12×sin 60°＝.

答案　
6.(2019·天津和平区调研)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________.

解析　因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
所以sin＝，
所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理，
得BD＝
＝＝.
答案　

考点一　求距离、高度问题　多维探究
角度1　测量高度问题
【例1－1】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

解析　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300(m).
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m).
答案　100
规律方法　1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.
2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
【训练1】 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A.5 B.15 C.5 D.15
解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝15.
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
答案　D
角度2　测量距离问题
【例1－2】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)

解　在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，
所以AB＝BD＝1 km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝ km，
在△ACD中，
由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，
得9＝3＋CD2＋2×CD，
即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝ km，
BC＝BD＋CD＝ km，
两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，
即2.5千米，而<＝＝2.5，
所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.
规律方法　1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
【训练2】 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.

解析　设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°.
由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，
整理，得36x2－9x－10＝0，
解得x＝或x＝－(舍).
所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.
答案　
考点二　测量角度问题
【例2】 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？


解　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，

依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
规律方法　1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)

A.30° B.45° C.60° D.75°
解析　依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，
又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝
＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案　B
考点三　正(余)弦定理在平面几何中的应用
【例3】 (2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).

(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
解　(1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝4，
所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝，
于是的长为·4＝π.
(2)设∠AOC＝θ，θ∈，则∠BOC＝－θ，
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝×4×4sin θ＋×4×4·sin＝24sin θ＋8cos θ＝16sin，
由于θ∈，
所以θ＋∈，
当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16.
规律方法　1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.
【训练4】 (2019·临沂检测)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.

(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的长.
解　(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝，
因为B＝，BE＝1，CE＝，
所以sin∠BCE＝＝＝.
(2)因为∠CED＝B＝，所以∠DEA＝∠BCE，
所以cos∠DEA＝＝
＝＝.
因为A＝，所以△AED为直角三角形，又AE＝5，
所以ED＝＝＝2.
在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×＝49.所以CD＝7.

[思维升华]
　利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.
[易错防范]
在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)
A. km B. km C. km D.2 km
解析　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，
∴AC＝2×＝(km).

答案　A
2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
解析　对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离.
答案　D
3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析　如图所示，易知，

在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里).
答案　A
4.(2019·深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为(　　)
A. m B. m C. m D. m
解析　如图所示.

在Rt△ACD中可得CD＝＝BE，
在△ABE中，由正弦定理得＝，
则AB＝，所以DE＝BC＝200－＝(m).
答案　A
5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A.240(－1)m B.180(－1)m
C.120(－1)m D.30(＋1)m
解析　如图，

∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).
答案　C
二、填空题
6.如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.

解析　在△ACD中，由余弦定理可得
cos C＝＝，
则sin C＝.
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
则AB＝＝＝.
答案　
7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.

解析　连接OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.
在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°，即OC＝50.
答案　50
8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________.

解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.
由正弦定理，得＝
⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
答案　
三、解答题
9.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取＝1.4，＝1.7)

解　如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m).

又在△ABC中，＝，
所以BC＝×sin 15°＝10 500(－).
因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC
＝10 500(－)×＝10 500(－1)
≈7 350(m).
故山顶的海拔高度为10 000－7 350＝2 650(m).
10.在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.
解　设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3.
又由正弦定理，得sin B＝＝＝，
由题设知0 所以cos B＝＝＝.
在△ABD中，因为AD＝BD，
所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.
由正弦定理，得AD＝＝＝＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为(　　)

A.210(＋)米 B.140米
C.210米 D.20(－)米
解析　由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，
即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米).
在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，
由正弦定理：＝.
可得CH＝AC·＝140(米).
答案　B
12.(2019·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗.

解析　依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理可知＝，
∴AC＝·sin∠CEA＝20 m.
∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30 m.
∵国歌时长为50 s，∴升旗速度为＝0.6 m/s.
答案　0.6
13.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.

解析　如图，连接AC，

由余弦定理可知AC＝＝，
故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，
由＝，
得AD＝＝，
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2).
答案　
14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长.
解　(1)∵AD∶AB＝2∶3，
∴可设AD＝2k，AB＝3k(k>0).
又BD＝，∠DAB＝，∴由余弦定理，
得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，
解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
∴sin∠DBC＝，∴＝，
∴CD＝＝.