2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第四章三角函数、解三角形第6节

 第6节　正弦定理和余弦定理
考试要求　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
[微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A 基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2.(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A. B. C. D.
解析　在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，
由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝π.
答案　C
3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案　等腰三角形或直角三角形

4.(2018·烟台质检)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
解析　由正弦定理＝，得＝，
∴＝，∴b＝.
答案　D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A.4 B. C. D.2
解析　由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.
答案　A
6.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是________.
解析　由sin B＝2sin C，cos A＝，A为△ABC一内角，
可得b＝2c，sin A＝＝，
∴由a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得8＝4c2＋c2－3c2，
解得c＝2(舍负)，则b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.
答案　

考点一　利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝(　　)
A. B. C. D.
(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B. C. D.
解析　(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝，
结合b (2)∵(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
∴由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.
所以cos A＝＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(3)因为a2＋b2－c2＝2abcos C，且S△ABC＝，
所以S△ABC＝＝absin C，所以tan C＝1.
又C∈(0，π)，故C＝.
答案　(1)75°　(2)B　(3)C
规律方法　1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A. B. C. D.
(2)(2019·北京海淀区二模)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为(　　)
A. B. C. D.6
(3)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)
A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定
解析　(1)由题意得sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，
∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
则sin C(sin A＋cos A)＝sin Csin＝0，
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin＝0，
又因为A∈(0，π)，所以A＋＝π，所以A＝.
由正弦定理＝，得＝，
则sin C＝，又C∈(0，π)，得C＝.
(2)由2cos2－cos 2C＝1，
可得2cos2－1－cos 2C＝0，
则有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0，
解得cos C＝或cos C＝－1(舍)，
由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，①
又a－b＝1，②
联立①，②得a＝4，b＝3，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，则c＝.
(3)∵bsin A＝×＝，∴bsin A ∴满足条件的三角形有2个.
答案　(1)B　(2)A　(3)B
考点二　判断三角形的形状
【例2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析　(1)由 又B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以sin C 即sin(A＋B) 所以sin Acos B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
答案　(1)A　(2)B
规律方法　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 若将本例(2)中条件变为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，判断△ABC的形状.
解　∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，
∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
∴△ABC为等腰或直角三角形.
考点三　和三角形面积、周长有关的问题　多维探究
角度1　与三角形面积有关的问题
【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.
解　(1)由sin A＋cos A＝0及cos A≠0，
得tan A＝－，又0 所以A＝.
由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos .
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD与△ACD面积的比值为＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
角度2　与三角形周长有关的问题
【例3－2】 (2018·上海嘉定区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A.若a＝4，则△ABC周长的最大值为________.
解析　由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0 由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3，
则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，
∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.
答案　12
规律方法　1.对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【训练3】 (2019·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0.
(1)求B；
(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋2，求△ABC的面积.
解　(1)由已知及正弦定理得
(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，
(sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0，
sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0，
又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，
∴cos B＝－，∵0 (2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2accos B.
∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.
∵a＋b＋c＝3＋2，b＝3，∴a＋c＝2，
∴ac＝3，∴S△ABC＝acsin B＝×3×＝.

[思维升华]
1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.
2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.
3.在△ABC中，若a2＋b2 [易错防范]
1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.
另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.
2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A. B. C.2 D.3
解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3.
答案　D
2.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析　因为cos2＝，
所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，
所以＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形.
答案　B
3.(2019·石家庄一模)在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为(　　)
A. B.2 C.3 D.4
解析　在△ABC中，AB＝2，C＝，
则＝＝＝4，
则AC＋BC＝4sin B＋4sin A
＝4sin＋4sin A＝2cos A＋6sin A
＝4sin(A＋θ)，
所以AC＋BC的最大值为4.
答案　D
4.(2019·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，则c＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
解析　在△ABC中，A＝，b＝6，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A，即a2＝36＋c2－6c，①
又＝2sin Asin B，∴＝2ab，
即cos C＝＝，∴a2＋36＝4c2，②
由①②解得c＝4或c＝－6(不合题意，舍去).因此c＝4.
答案　C
5.(2018·全国Ⅰ卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D.
解析　由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C及正弦定理，
得2sin Bsin C＝4sin Asin Bsin C，
易知sin Bsin C≠0，∴sin A＝.
又b2＋c2－a2＝8，
∴cos A＝＝，则cos A>0.
∴cos A＝，即＝，则bc＝.
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝××＝.
答案　B
二、填空题
6.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析　由＝，得sin B＝sin A＝，
又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴c2－2c－3＝0，解得c＝3.
答案　　3
7.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________.
解析　由＝⇒＝⇒a＝c，①
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②
联立①，②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝且B为锐角知cos B＝，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
答案　
8.若不等式ksin2B＋sin Asin C>19sin Bsin C对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________.
解析　由正弦定理得kb2＋ac>19bc，即k>，∴k>，因为c 因此k≥100，即k的最小值为100.
答案　100
三、解答题
9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高.
解　(1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0.
(1)若B＝，求A，C；
(2)若C＝，c＝14，求S△ABC.
解　(1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sin A－1＝0，
于是sin A＝1或sin A＝－(舍).
因为0 又A＋B＋C＝π，
所以C＝π－－＝.
(2)由题意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196，①
由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，
因为a＋b>0，
所以a－2b＝0，即a＝2b，②
联立①②解得b＝2，a＝4.
所以S△ABC＝absin C＝14.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)
A.4π B.8π C.9π D.36π
解析　由题意及正弦定理得
2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2Rsin C＝2.
又cos C＝及C∈(0，π)，知sin C＝.
∴2R＝＝6，R＝3.
故△ABC外接圆面积S＝πR2＝9π.
答案　C
12.(2019·武汉模拟)在△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为(　　)
A.6sin＋3 B.6sin＋3
C.2sin＋3 D.2sin＋3
解析　设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin.
于是△ABC的周长为2＋3＝2sin＋3.
答案　C
13.(2019·长春一模)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.
解析　因为cos A＝sin Acos C，
所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B，
所以＝，
又＝，a＝2，
所以＝，得tan A＝，
又A∈(0，π)，则A＝，
由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤12(当且仅当b＝c＝2时取等号)，
从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.
答案　3
14.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.
解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得bsin A＝asin B，
又由bsin A＝acos，
得asin B＝acos，
即sin B＝cos，可得tan B＝.
又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a 因此sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.
新高考创新预测
15.(数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.
解析　根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，
由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，
所以S△ABC＝
＝＝.
答案