2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第四章三角函数、解三角形第4节

 第4节　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质.

知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
[微点提醒]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)
解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1
C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2
解析　最小正周期T＝＝π，最大值A＝2－1＝1.故选A.
答案　A
3.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.
解析　由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，
得＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝－tan的单调递减区间为
(k∈Z).
答案　(k∈Z)

4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A.4π B.2π C.π D.
解析　由题意T＝＝π.
答案　C
5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.
解析　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.
答案　A
6.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________.
解析　由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1.所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝－.
答案　－

考点一　三角函数的定义域
【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________.
(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________.
解析　(1)由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z).
(2)由＋2cos x≥0，得cos x≥－，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x≥－的解集为，故原不等式的解集为.

(3)由题意，得由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ 答案　(1)D　(2)　(3)∪∪
规律方法　1.三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图象求解.
【训练1】 (1)函数y＝的定义域为________.
(2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为______.
解析　(1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
.

(2)要使函数有意义必须有
即解得(k∈Z)，
所以2kπ 答案　(1)
(2)
考点二　三角函数的值域与最值
【例2】 (1)y＝3sin在区间上的值域是________.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________.
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
解析　(1)当x∈时，2x－∈，
sin∈，故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
(2)由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos x＋＝－(cos x－)2＋1.
∵x∈，∴cos x∈[0，1].
∴当cos x＝，即x＝时，f(x)max＝1.
(3)设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤，
所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
所以函数的值域为.
答案　(1)　(2)1　(3)
规律方法　求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【训练2】 (1)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)(2019·临沂模拟)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________.
解析　(1)由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，又sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝1时函数的最大值为5.
(2)由x∈，知x＋∈.因为x＋∈时，f(x)的值域为，所以由函数的图象知≤a＋≤，所以≤a≤π.
答案　(1)B　(2)
考点三　三角函数的单调性　多维探究
角度1　求三角函数的单调区间
【例3－1】 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函数y＝sin的单调递减区间为________.
解析　(1)由kπ－<2x－ (2)y＝－sin，它的减区间是y＝sin的增区间.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故其单调递减区间为，k∈Z.
答案　(1)B　(2)，k∈Z
角度2　利用单调性比较大小
【例3－2】 已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
解析　令2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝2cos在上是减函数，
∵－<<<<，
∴f>f>f.
答案　A
角度3　利用单调性求参数
【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A. B. C. D.π
解析　f(x)＝cos x－sin x＝cos，
由题意得a>0，故－a＋<，
因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，
所以解得0 答案　A
规律方法　1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【训练3】 (1)设函数f(x)＝sin，x∈，则以下结论正确的是(　　)
A.函数f(x)在上单调递减
B.函数f(x)在上单调递增
C.函数f(x)在上单调递减
D.函数f(x)在上单调递增
(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.
(3)(一题多解)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析　(1)由x∈，得2x－∈，此时函数f(x)先减后增；由x∈，得2x－∈，此时函数f(x)先增后减；由x∈，得2x－∈，此时函数f(x)单调递减；由x∈，得2x－∈，此时函数f(x)先减后增.
(2)sin 68°＝cos 22°，又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.
(3)法一　由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二　由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋6k(k∈Z)，所以当k＝0时，ω＝.
答案　(1)C　(2)sin 68°>cos 23°>cos 97°　(3)
考点四　三角函数的周期性、奇偶性、对称性　多维探究
角度1　三角函数奇偶性、周期性
【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)(2019·杭州调研)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　(1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
(2)f(x)＝sin－cos
＝2sin，
由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.
答案　(1)B　(2)A
规律方法　1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
角度2　三角函数图象的对称性
【例4－2】 (1)已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin x＋acos x的图象(　　)
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x＝对称 D.关于直线x＝对称
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A.11 B.9 C.7 D.5
解析　(1)因为函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，
所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，
函数g(x)的对称轴方程为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称.
(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z).
又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.
答案　(1)C　(2)B
规律方法　1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
2.对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.
【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
(2)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A.f(x)的一个周期为－2π
B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝
D.f(x)在单调递减
解析　(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝＝sin x·cos x＝sin 2x，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确.
B项，因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确.
C项，f(x＋π)＝cos，将x＝代入得到f＝cos＝0，所以x＝是f(x＋π)的一个零点，C项正确.
D项，因为f(x)＝cos的递减区间为 (k∈Z)，递增区间为 (k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误.
答案　(1)C　(2)D

[思维升华]
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cos t)的性质.
3.数形结合是本节的重要数学思想.
[易错防范]
1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.
3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2017·山东卷)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
解析　∵y＝2＝2sin，
∴T＝＝π.
答案　C
2.(2019·石家庄检测)若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解析　因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.
答案　C
3.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)
A. B. C.2 D.3
解析　∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案　B
4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f(x)＝2sin ωx－cos ωx(ω>0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为(　　)
A. B.－ C.2 D.－2
解析　依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，即ω＝，所以f(1)＝2sin －cos ＝2.
答案　C
5.若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x10，则f(x)可以为(　　)
A.f(x)＝cos B.f(x)＝|sin(π＋x)|
C.f(x)＝－tan x D.f(x)＝1－2cos22x
解析　∵f(x)＝cos＝－sin x为奇函数，∴排除A；f(x)＝－tan x为奇函数，∴排除C；f(x)＝1－2cos22x＝－cos 4x为偶函数，且单调增区间为(k∈Z)，排除D；f(x)＝|sin(π＋x)|＝|sin x|为偶函数，且在上单调递增.
答案　B
二、填空题
6.(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
答案　
7.函数y＝cos的单调递减区间为________.
解析　由y＝cos＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为(k∈Z).
答案　(k∈Z)
8.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
解析　由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝.
答案　
三、解答题
9.(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.
解　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
故实数m的最小值为.
10.(2019·北京通州区质检)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
解　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，
∴ω＝2，于是f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
注意到x∈，所以令k＝0，
得函数f(x)在上的单调递增区间为；
同理，其单调递减区间为.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.若对于任意x∈R都有f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，则函数f(2x)图象的对称中心为(　　)
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析　因为f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，
所以f(－x)＋2f(x)＝3cos x＋sin x.
解得f(x)＝cos x＋sin x＝sin，
所以f(2x)＝sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z).
所以f(2x)图象的对称中心为(k∈Z).
答案　D
12.(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－
C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝
解析　∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
答案　A
13.已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的单调递减区间是________.
解析　因为x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，
所以sin＝1，解得φ＝2kπ－(k∈Z).
不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
答案　(k∈Z)
14.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.
解　(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.
∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
∴cos(x1－x2)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
新高考创新预测
15.(思维创新)已知函数f(x)＝sin，若对任意的实数α∈，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f(α)＋f(β)＝0，则实数m的最小值是________.
解析　因为α∈，所以α－∈，则f(α)＝sin∈，因为对任意的实数α∈，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f(α)＋f(β)＝0，所以f(β)在[0，m]上单调，且f(β)∈，则sin∈，则β－∈，所以β∈，即实数m的最小值是.
答案