2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第四章三角函数、解三角形第5节

 第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．

知 识 梳 理
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x
－
－＋

－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径

4.三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
[微点提醒]
1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.
3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强).
4.交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)
解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.(必修4P56T3改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，4π， B.2，，
C.2，，－ D.2，4π，－
解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
答案　C
3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.
解析　设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，
所以y＝sin＋6.
因为当x＝2时，y＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)，可取φ＝－.
所以y＝sin＋6＝6－cosx.
答案　y＝6－cosx

4.(2019·北京通州区模拟)函数y＝2cos的部分图象是(　　)

解析　由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C.
答案　A
5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
答案　D
6.(2018·济南模拟改编)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
答案　

考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x




π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z).
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ(k∈Z).
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝(k∈Z)，解得θ＝－(k∈Z).
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
规律方法　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)(2018·青岛调研)若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是(　　)
A.2 B. C. D.
解析　(1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确.
(2)y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.
∴2是ω的一个可能值.
答案　(1)D　(2)A
考点二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.

(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为(　　)

A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析　(1)由题图可知A＝，
法一　＝－＝，
所以T＝π，故ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)，
又对应五点法作图中的第三个点，
因此2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z).
又|φ|<，所以φ＝.故f(x)＝sin.
法二　以为第二个“零点”，为最小值点，
列方程组解得
故f(x)＝sin.
(2)T＝2＝π＝，∴ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ).
由五点作图法知A是第二点，得2×＋φ＝，
2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，∴f(x)＝sin.
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
答案　(1)f(x)＝sin　(2)C
规律方法　1.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定.
2.y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为(　　)

A. B. C. D.
(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则f(x)图象的对称轴方程是________.

解析　(1)由题图知，T＝2＝π，
∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos 2x，
∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，
则由图象知，f＝－2cos＝2.
∴＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z).
又0<φ<，所以φ＝.
(2)由图象知A＝2，
又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝.
又×ω＋＝2π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin，
令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
∴f(x)＝2sin的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
答案　(1)C　(2)x＝＋(k∈Z)
考点三　y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用　多维探究
角度1　三角函数模型的应用
【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米.

解析　以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一周，设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)，

又周期T＝12，所以θ＝t，
则f(t)＝3＋2sin＝3－2cos t(t≥0)，
当t＝40 s时，f(t)＝3－2cos＝4.
答案　4
角度2　三角函数性质与图象的综合应用
【例3－2】 已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.
解　(1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋(2sin2ωx－1)
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.
由最小正周期为π，得ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
整理得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；
所以g(x)＝2sin 2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.
所以b的最小值为4π＋＝.
规律方法　1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析　因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f(x)＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
答案　20.5
(2)已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
①函数f(x)的最小正周期；
②函数f(x)的单调区间；
③函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解　①因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝5(sin 2x－cos 2x)＝5sin，
所以函数的最小正周期T＝＝π.
②由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的递增区间为
(k∈Z).
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的递减区间为
(k∈Z).
③由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).

[思维升华]
1.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.
2.由图象确定函数解析式
解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.
[易错防范]
1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域.

逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.
类型1　三角函数的周期T与ω的关系
【例1】 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A.98π B.π C.π D.100π
解析　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
答案　B
评析　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系.
类型2　三角函数的单调性与ω的关系
【例2】 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A.0≤ω≤ B.0≤ω≤
C.≤ω≤3 D.≤ω≤3
解析　令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω>0，所以k≥0，
又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.
故≤ω≤3.
答案　D
评析　根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围.
类型3　三角函数对称性、最值与ω的关系
【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)
(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
解析　(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，
令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).
当k＝0时，≤π，即≤ω，
当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.
综上，≤ω≤.
(2)显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥.
答案　(1)　(2)
评析　这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A.y＝2sin
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
解析　由题图可知，A＝2，T＝2＝π，
所以ω＝2，由五点作图法知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
答案　A
2.(2019·杭州期中)将函数y＝sin·cos的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是(　　)
A.－ B.－ C. D.
解析　将y＝sincos＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin，由题意得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，当k＝－1，0，1时，φ的值分别为－，，，φ的取值不可能是－.
答案　B
3.(2019·咸阳模拟)已知点P(，－)是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，若∠MPN＝60°，则该函数的最小正周期是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析　由P是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与P相邻的两个最高点，知|MP|＝|NP|，
又∠MPN＝60°，所以△MPN为等边三角形.
由P(，－)，得|MN|＝×2＝6.
∴该函数的最小正周期T＝6.
答案　D
4.(2018·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
解析　y＝sin＝sin 2，将其图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象.由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，可知函数y＝sin 2x在区间上单调递增.
答案　A
5.(2019·张家界模拟)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意得，f(x)＝2sin，
则g(x)＝2sin，
从而2sin＝2sin＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，
所以当2t－＝－2t＋π＋2kπ(k∈Z)时，即t＝＋(k∈Z)，实数tmin＝π.
答案　B
二、填空题
6.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.

y＝sin.
答案　y＝sin
7.(2018·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f＝________.

解析　由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2.
∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos ＝.
答案　
8.已知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.
解析　依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z).
∴ω＝8k＋ (k∈Z)，
因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以－≤，即ω≤12，
令k＝0，得ω＝.
答案　
三、解答题
9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差.
解　(1)f(8)＝10－cos－sin
＝10－cos －sin ＝10－×－＝10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f(t)＝10－2(cost＋sint)
＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解　(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin ＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，
所以g(x)＝f＝sin＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·天津和平区调研)已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为(　　)
A.－2 B.－1 C.－ D.－
解析　∵x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z).
∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，
∴g(x)＝－2sin在上的最小值为g＝－1.
答案　B
12.函数f(x)＝220sin 100πx－220sin，且已知对任意x∈R，有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x2－x1|的最小值为(　　)
A.50π B. C. D.440
解析　f(x)＝220sin 100πx－220sin
＝220
＝220
＝220
＝220×sin，
则由对任意x∈R，有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立得当x＝x2时，f(x)取得最大值，当x＝x1时，f(x)取得最小值，所以|x2－x1|的最小值为T＝×＝(T为f(x)的最小正周期)，故选C.
答案　C
13.(2019·广东省际名校联考)将函数f(x)＝1－2·cos2x－(sin x－cos x)2的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若x∈，则函数g(x)的单调递增区间是________.
解析　∵f(x)＝1－2cos2 x－(sin x－cos x)2
＝sin 2x－cos 2x－＝2sin－，
∴g(x)＝2sin－＝2sin－，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∵x∈，
∴函数g(x)在上的单调递增区间是.
答案　
14.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值.
解　(1)设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知
A＝1，＝－＝，
即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又过点，
由0＝sin可得＋φ＝2kπ(k∈Z)，
则φ＝2kπ－(k∈Z)，因为|φ|＜，所以φ＝－，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)根据条件得g(x)＝sin，
当x∈时，4x＋∈，
所以当x＝时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝.
新高考创新预测
15.(多填题)已知函数f(x)＝2sin cos ＋2cos2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x∈时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2＝________，f(x1＋x2)＝________.
解析　函数f(x)＝2sin cos ＋2cos2－1＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.
由T＝＝π，可得ω＝2，∴f(x)＝2sin.
∵x∈，∴≤2x＋≤，∴－1≤f(x)≤2.
画出f(x)的图象(图略)，结合图象知x1＋x2＝，
则f(x1＋x2)＝f＝2sin＝2sin ＝1.
答案　　1