2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第四章三角函数、解三角形第6节

 第6节　正弦定理和余弦定理
考试要求　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin AB⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos Asin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2.(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A. B. C. D.
解析　在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，
由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝π.
答案　C
3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案　等腰三角形或直角三角形

4.(2018·烟台质检)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
解析　由正弦定理＝，得＝，
∴＝，∴b＝.
答案　D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A.4 B. C. D.2
解析　由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.
答案　A
6.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是________.
解析　由sin B＝2sin C，cos A＝，A为△ABC一内角，
可得b＝2c，sin A＝＝，
∴由a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得8＝4c2＋c2－3c2，
解得c＝2(舍负)，则b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.
答案　

考点一　利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝(　　)
A. B. C. D.
(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B. C. D.
解析　(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝，
结合b